11. (2025·甘肃兰州华侨教育集团期中改编)请根据图示的对话解答下列问题.

(1)$a=$,$b=$.
(2)已知$|m-a|+|b+n|=0$,求$m,n$的值.

(1)$-2$ $-3$
[解析]$\because a$ 与2互为相反数,而2的相反数是$-2$,$\therefore a=-2.$
$\because b$ 与3互为相反数,而$-3$的相反数是3,$\therefore b=-3.$
(2)$\because |m-a|+|b+n|=0,$
$\therefore m-a=0,b+n=0,$
又$a=-2,b=-3,$
$\therefore m=-2,n=3.$

【分析】
本题分为两小问，第(1)问利用相反数的定义，互为相反数的两数和为0，直接计算a、b的值；第(2)问利用绝对值的非负性，几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，结合已求出的a、b的值，即可求出m、n的值。
【解析】
(1) 根据相反数的定义：若两个数互为相反数，则它们的和为0。
因为a与2互为相反数，所以$a + 2 = 0$，解得$a = -2$；
因为b与3互为相反数，所以$b + 3 = 0$，解得$b = -3$。
(2) 由于绝对值具有非负性，即对于任意实数x，$|x| ≥ 0$，因此$|m - a| ≥ 0$，$|b + n| ≥ 0$。
已知$|m - a| + |b + n| = 0$，要使两个非负数的和为0，必须每个非负数都为0，即：
$\begin{cases} m - a = 0 \\ b + n = 0 \end{cases}$
将$a = -2$，$b = -3$代入上述方程组：
对于$m - a = 0$，得$m - (-2) = 0$，即$m + 2 = 0$，解得$m = -2$；
对于$b + n = 0$，得$-3 + n = 0$，解得$n = 3$。
【答案】
(1) $-2$，$-3$；(2) $m = -2$，$n = 3$
【知识点】
相反数、绝对值的非负性
【点评】
本题属于基础题，考查相反数的定义和绝对值的非负性，解题思路清晰，只要掌握相关概念即可正确解答，适合初中低年级学生巩固基础。
【难度系数】
0.7

12. 分类讨论思想 已知点 A 在数轴上对应的数为 a，点 B 在数轴上对应的数为 b，且$|a+4|+$$|b-1|=0$，A，B 之间的距离记作$|AB|$。
(1) 求 A，B 之间的距离$|AB|$；
(2) 设点 P 在数轴上对应的数为 x，当$|PA|-$$|PB|=2$时，求 x 的值。
精题详解

(1)因为$|a+4|+|b-1|=0$,
所以$a+4=0,b-1=0$,
所以$a=-4,b=1$,所以$|AB|=5.$
(2)$|PA|-|PB|=2$,即点 $P$ 到点 $A$ 的距离比点 $P$ 到点 $B$ 的距离大 2 个单位长度.
画数轴如下：

若点 $P$ 在点 $A$ 的左侧,则点 $P$ 到点 $B$ 的距离大于点 $P$ 到点 $A$ 的距离,不符合题意；
若点 $P$ 在点 $A$ 和点 $B$ 之间,由题知$|AB|=5,5-2=3,3÷2=1.5$,则点 $P$ 与点 $A$ 的距离为 3.5 个单位长度,与点 $B$ 的距离为 1.5 个单位长度时,符合题意,此时 $x=-0.5$；
若点 $P$ 在点 $B$ 右侧,$|PA|-|PB|=5$,不符合题意.

【分析】
本题分为两小问，第(1)问利用绝对值的非负性求解点A、B对应的数，再根据数轴上两点间距离公式计算距离；第(2)问结合数轴，分点P在点A左侧、A和B之间、点B右侧三种情况讨论，利用绝对值的几何意义列方程求解，核心是掌握绝对值的性质与分类讨论思想。
【解析】
(1) 根据绝对值的非负性：若两个非负数的和为0，则每个非负数都为0。
已知$|a+4|+|b-1|=0$，可得：
$a+4=0 \implies a=-4$，
$b-1=0 \implies b=1$。
数轴上两点间的距离为对应数差的绝对值，因此$|AB|=|1 - (-4)|=5$。
(2) 设点P对应的数为$x$，由绝对值的几何意义得：$|PA|=|x+4|$，$|PB|=|x-1|$，结合$|PA|-|PB|=2$分情况讨论：
① 若点P在点A左侧（$x＜-4$）：
$|PA|=-x-4$，$|PB|=1-x$，则$|PA|-|PB|=-5 ≠ 2$，不符合；
② 若点P在A、B之间（$-4＜x＜1$）：
$|PA|=x+4$，$|PB|=1-x$，则$(x+4)-(1-x)=2$，解得$x=-0.5$，符合条件；
③ 若点P在点B右侧（$x＞1$）：
$|PA|=x+4$，$|PB|=x-1$，则$|PA|-|PB|=5 ≠ 2$，不符合。
综上，$x=-0.5$。
【答案】
(1) 5；(2) $x=-0.5$
【知识点】
绝对值的非负性，数轴两点距离，分类讨论思想
【点评】
本题是数轴与绝对值结合的典型题，考查绝对值性质、数轴距离公式及分类讨论思想，需全面分析点的位置避免漏解，能锻炼学生的逻辑分析能力。
【难度系数】
0.5

13. 中考新考法 新定义问题 对于数轴上的两点 $P,Q$
给出如下定义:$P,Q$ 两点到原点 $O$ 的距离之差的绝对值称为 $P,Q$ 两点的绝对距离,记为$|POQ|.$
例如:$P,Q$ 两点表示的数,如图(1)所示,则$|POQ| = |PO - QO| = |3 - 1| = 2$.$A,B$ 两点表示的数如图(2)所示:

(1)求 $A,B$ 两点的绝对距离;
(2)若 $C$ 为数轴上一点(不与点 $O$ 重合),且$|AOB| = 2|AOC|$,求点 $C$ 表示的数.
精题详解

(1)$|AOB|=|OA-OB|=|1-3|=2$.
即 $A,B$ 两点的绝对距离为 2.
(2)因为$|AOB|=2,|AOB|=2|AOC|$,
所以$|AOC|=1.$
又点 $A$ 所表示的数是 1,即 $OA=1$,
所以$|AOC|=|OA-OC|=1$,即$|1-OC|=1$,
所以$OC=0$或$OC=2.$
又点 $C$ 不与点 $O$ 重合,所以$OC=2.$
所以点 $C$ 表示的数为$-2$或$2.$
→点C可以在点O左,右两侧

【分析】首先明确题目中“绝对距离”的定义：数轴上两点到原点的距离之差的绝对值，即对于两点X、Y，|XOY|=|XO - YO|（XO为点X到原点的距离，YO为点Y到原点的距离）。解题时，先根据数轴确定各点到原点的距离，再结合定义和已知条件逐步计算：第(1)问直接代入定义计算A、B的绝对距离；第(2)问先求出|AOB|，再根据等式求出|AOC|，结合定义列方程，结合C不与O重合的条件确定点C表示的数。
【解析】
(1) 由图(2)可知，点A表示的数是1，故OA=1；点B表示的数是3，故OB=3。
根据绝对距离的定义：|AOB|=|OA - OB|=|1 - 3|=2。
因此A、B两点的绝对距离为2。
(2) 已知|AOB|=2，且|AOB|=2|AOC|，代入得2=2|AOC|，解得|AOC|=1。
又点A到原点的距离OA=1，根据绝对距离定义：|AOC|=|OA - OC|=|1 - OC|，因此|1 - OC|=1。
解此方程：
当1 - OC=1时，OC=0；
当1 - OC=-1时，OC=2。
因为点C不与点O重合，所以OC=0舍去，故OC=2。
数轴上到原点距离为2的点有两个，分别在原点两侧，因此点C表示的数为2或-2。
【答案】
(1) A、B两点的绝对距离为2；(2) 点C表示的数为-2或2。
【知识点】
数轴、绝对值、新定义问题
【点评】
本题为新定义问题，核心是准确理解“绝对距离”的定义，结合数轴上点到原点的距离（即绝对值）解题，需注意点C不与原点重合的限制，避免漏解，整体难度适中。
【难度系数】
0.6