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1. 已知三角形的三边长分别为3,5,x,则x不可能是(
A.3
B.5
C.7
D.8
D
).A.3
B.5
C.7
D.8
答案
本题考查三角形的三边关系,根据“三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边”先求出x的取值范围,再根据取值范围选择.
解析:
∵5-3＜x＜5+3,
∴2＜x＜8.故选D.
解析:
∵5-3＜x＜5+3,
∴2＜x＜8.故选D.
2. 作$△ ABC$边$BC$上的高$AD$,下列作法正确的是(
A.
B
).A.
答案
本题考查垂线的作法.
解析:A. AD 不是△ABC 边 BC 上的高,不符合题意;B. AD 是△ABC 边 BC 上的高,符合题意;C. AD 不是△ABC 边 BC 上的高,不符合题意;D. AD 不是△ABC 边 BC 上的高,不符合题意.故选B.
解析:A. AD 不是△ABC 边 BC 上的高,不符合题意;B. AD 是△ABC 边 BC 上的高,符合题意;C. AD 不是△ABC 边 BC 上的高,不符合题意;D. AD 不是△ABC 边 BC 上的高,不符合题意.故选B.
3. 若$a^2 - a - 1 = 0$,则代数式$a(a - 1)(a + 1) - a$的值是(
A.1
B.-1
C.2
D.-2
A
).A.1
B.-1
C.2
D.-2
答案
本题考查代数式化简求值,整体代入法.
解析:
∵a² - a - 1 = 0,
∴a² - a = 1,
∴a(a - 1)(a + 1) - a = (a² - a)(a + 1) - a = a + 1 - a = 1.故选A.
解析:
∵a² - a - 1 = 0,
∴a² - a = 1,
∴a(a - 1)(a + 1) - a = (a² - a)(a + 1) - a = a + 1 - a = 1.故选A.
4. 已知$x,y,z$满足$\begin{cases}4x + 3y + z = 7, \\2x - 3y - 13z = -1,\end{cases}$则$2x + y - z$的值为( ).
A.2
B.3
C.4
D.5
A.2
B.3
C.4
D.5
答案
本题考查解三元一次方程组,关键是先将x,y用含z的代数式表示,再代入求解.
解析$\begin{cases}4x + 3y + z = 7①, \\2x - 3y - 13z = -1②,\end{cases}$ ① + ②得,6x - 12z = 6,化简得x = 1 + 2z,把x = 1 + 2z代入①得,4(1 + 2z) + 3y + z = 7,化简得y = 1 - 3z,把x = 1 + 2z,y = 1 - 3z代入2x + y - z得,2(1 + 2z) + 1 - 3z - z = 2 + 4z + 1 - 3z - z = 3.故选B.
解析$\begin{cases}4x + 3y + z = 7①, \\2x - 3y - 13z = -1②,\end{cases}$ ① + ②得,6x - 12z = 6,化简得x = 1 + 2z,把x = 1 + 2z代入①得,4(1 + 2z) + 3y + z = 7,化简得y = 1 - 3z,把x = 1 + 2z,y = 1 - 3z代入2x + y - z得,2(1 + 2z) + 1 - 3z - z = 2 + 4z + 1 - 3z - z = 3.故选B.
5. 下列三角形一定为直角三角形的有(
①△ABC三个内角的关系为∠A + ∠B = ∠C;②△ABC三个内角的关系为∠A = $\frac{1}{2}$∠B = $\frac{1}{3}$∠C;
③三角形的三个内角之比为2:3:4;④三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角之和为180°.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
).①△ABC三个内角的关系为∠A + ∠B = ∠C;②△ABC三个内角的关系为∠A = $\frac{1}{2}$∠B = $\frac{1}{3}$∠C;
③三角形的三个内角之比为2:3:4;④三角形的一个外角和与它不相邻的两个内角之和为180°.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
本题考查直角三角形的判定,三角形的内角和定理,三角形的外角性质.
解析①
∵∠A + ∠B + ∠C = 180°,∠A + ∠B = ∠C,
∴2∠C = 180°,
∴∠C = 90°,故①中三角形一定是直角三角形;②
∵∠A = $\frac{1}{2}$∠B = $\frac{1}{3}$∠C,
∴∠B = 2∠A,∠C = 3∠A.
∵∠A + ∠B + ∠C = 180°,
∴∠A + 2∠A + 3∠A = 180°,
∴∠A = 30°,
∴∠B = 2∠A = 60°,∠C = 3∠A = 90°,故②中三角形一定是直角三角形;③设三角形的三个内角分别为2α,3α,4α,根据三角形的内角和定理得,2α + 3α + 4α = 180°,得α = 20°,
∴2α = 40°,3α = 60°,4α = 80°,故③中三角形不是直角三角形;④设△ABC中与∠C相邻的外角为β,依题意得β + ∠A + ∠B = 180°,根据三角形的外角性质得,β = ∠A + ∠B,
∴2β = 180°,
∴β = 90°.
∵∠C + β = 180°,
∴∠C = 90°,故④中三角形一定是直角三角形.综上所述,一定为直角三角形的有①②④,共3个.故选C.
解析①
∵∠A + ∠B + ∠C = 180°,∠A + ∠B = ∠C,
∴2∠C = 180°,
∴∠C = 90°,故①中三角形一定是直角三角形;②
∵∠A = $\frac{1}{2}$∠B = $\frac{1}{3}$∠C,
∴∠B = 2∠A,∠C = 3∠A.
∵∠A + ∠B + ∠C = 180°,
∴∠A + 2∠A + 3∠A = 180°,
∴∠A = 30°,
∴∠B = 2∠A = 60°,∠C = 3∠A = 90°,故②中三角形一定是直角三角形;③设三角形的三个内角分别为2α,3α,4α,根据三角形的内角和定理得,2α + 3α + 4α = 180°,得α = 20°,
∴2α = 40°,3α = 60°,4α = 80°,故③中三角形不是直角三角形;④设△ABC中与∠C相邻的外角为β,依题意得β + ∠A + ∠B = 180°,根据三角形的外角性质得,β = ∠A + ∠B,
∴2β = 180°,
∴β = 90°.
∵∠C + β = 180°,
∴∠C = 90°,故④中三角形一定是直角三角形.综上所述,一定为直角三角形的有①②④,共3个.故选C.
6. 如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A₁，∠A₁BC的平分线与∠A₁CD的平分线交于点A₂，……，$∠A_{n-1}BC$的平分线与$∠A_{n-1}CD$的平分线交于点Aₙ，E为BA延长线上一动点，连接EC，∠AEC的平分线与∠ACE的平分线交于点M，设∠BAC=α. 下列结论正确的是(
A.$∠A_{n}=\frac{α}{2^{n-1}}$
B.$∠A_{n}=\frac{α}{2^{n+1}}$
C.∠M + ∠A₁的值为定值
D.∠M - ∠A₁的值为定值
·55·
C
).A.$∠A_{n}=\frac{α}{2^{n-1}}$
B.$∠A_{n}=\frac{α}{2^{n+1}}$
C.∠M + ∠A₁的值为定值
D.∠M - ∠A₁的值为定值
·55·
答案
本题考查角平分线的性质,三角形的外角性质,三角形的内角和定理.
解析
∵BA₁是∠ABC的平分线,CA₁是∠ACD的平分线,
∴∠A₁BC = $\frac{1}{2}$∠ABC,∠A₁CD = $\frac{1}{2}$∠ACD. 又
∵∠A₁CD = ∠A₁BC + ∠A₁,
∴$\frac{1}{2}$∠ACD = $\frac{1}{2}$∠ABC + ∠A₁,
∴∠A₁ = $\frac{1}{2}$(∠ACD - ∠ABC),
∴∠A₁ = $\frac{1}{2}$∠BAC. 又
∵∠BAC = α,
∴∠A₁ = $\frac{α}{2}$. 同理可得,∠A₂ = $\frac{1}{2}$∠A₁ = $\frac{1}{2}×\frac{α}{2} = \frac{α}{2^2}$,∠A₃ = $\frac{1}{2}$∠A₂ = $\frac{1}{2}×\frac{α}{2^2} = \frac{α}{2^3}$,…,
∴∠Aₙ = $\frac{α}{2^n}$,故A,B错误;
∵EM平分∠AEC,CM平分∠ACE,
∴∠MEC = $\frac{1}{2}$∠AEC,∠MCE = $\frac{1}{2}$∠ACE.
∵∠M = 180° - (∠MEC + ∠MCE),
∴∠M = 180° - $\frac{1}{2}$(∠AEC + ∠ACE).
∵∠BAC = ∠AEC + ∠ACE,
∴∠M = 180° - $\frac{1}{2}$∠BAC = 180° - ∠A₁,
∴∠M + ∠A₁ = 180° - ∠A₁ + ∠A₁ = 180°,∠M - ∠A₁ = 180° - ∠A₁ - ∠A₁ = 180° - 2∠A₁,
∴∠M + ∠A₁的值是定值,∠M - ∠A₁的值不是定值,故C正确,D错误.故选C.
解析
∵BA₁是∠ABC的平分线,CA₁是∠ACD的平分线,
∴∠A₁BC = $\frac{1}{2}$∠ABC,∠A₁CD = $\frac{1}{2}$∠ACD. 又
∵∠A₁CD = ∠A₁BC + ∠A₁,
∴$\frac{1}{2}$∠ACD = $\frac{1}{2}$∠ABC + ∠A₁,
∴∠A₁ = $\frac{1}{2}$(∠ACD - ∠ABC),
∴∠A₁ = $\frac{1}{2}$∠BAC. 又
∵∠BAC = α,
∴∠A₁ = $\frac{α}{2}$. 同理可得,∠A₂ = $\frac{1}{2}$∠A₁ = $\frac{1}{2}×\frac{α}{2} = \frac{α}{2^2}$,∠A₃ = $\frac{1}{2}$∠A₂ = $\frac{1}{2}×\frac{α}{2^2} = \frac{α}{2^3}$,…,
∴∠Aₙ = $\frac{α}{2^n}$,故A,B错误;
∵EM平分∠AEC,CM平分∠ACE,
∴∠MEC = $\frac{1}{2}$∠AEC,∠MCE = $\frac{1}{2}$∠ACE.
∵∠M = 180° - (∠MEC + ∠MCE),
∴∠M = 180° - $\frac{1}{2}$(∠AEC + ∠ACE).
∵∠BAC = ∠AEC + ∠ACE,
∴∠M = 180° - $\frac{1}{2}$∠BAC = 180° - ∠A₁,
∴∠M + ∠A₁ = 180° - ∠A₁ + ∠A₁ = 180°,∠M - ∠A₁ = 180° - ∠A₁ - ∠A₁ = 180° - 2∠A₁,
∴∠M + ∠A₁的值是定值,∠M - ∠A₁的值不是定值,故C正确,D错误.故选C.
