26. (10 分)如图1,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,点$P$在边$BC$上. 将点$P$绕点$B$按逆时针方向旋转一定角度$α(0°＜α＜180°)$得到点$P'$,连接$AP'$,$BP'$,作$∠ P'BC$,$∠ ACB$的平分线交于点$Q$.
(1)如图2,若$α=90°$,则$∠ BQC=$;
(2)如图3,当点$P'$恰好落在边$AB$上时,探索$∠ A$,$∠ BQC$之间的关系,并说明理由;
(3)随着点$P$的旋转,当点$P'$不在边$AB$上时,探索$∠ AP'B$,$∠ P'AC$,$∠ BQC$之间的关系,直接写出结论.
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26.
【点拨】本题考查三角形的内角和定理,角平分线的性质,解题的关键是熟练掌握相关定理和性质.
【解析】(1)
∵α=90°,
∴∠P'BP=90°.
∵BQ平分∠P'BC,
∴∠QBC=$\frac{1}{2}$∠P'BP=45°.
∵CQ平分∠ACB,∠ACB=90°,
∴∠QCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°,
∴∠BQC=180°-∠QBC-∠QCB=180°-45°-45°=90°.
故答案为90°.
(2)$∠BQC=90°+\frac{1}{2}∠A$.理由如下:
∵BQ平分∠ABC,CQ平分∠ACB,且点P'在AB上,
∴∠CBQ=$\frac{1}{2}$∠ABC,∠BCQ=$\frac{1}{2}$∠ACB.
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A,
∴∠BQC=180°-(∠CBQ+∠BCQ)
$=180°-(\frac{1}{2}∠ABC+\frac{1}{2}∠ACB)$
$=180°-\frac{1}{2}(180°-∠A)$
$=90°+\frac{1}{2}∠A$.
(3)$∠AP'B+∠P'AC=2∠BQC$或$∠AP'B+2∠BQC=∠P'AC+360°$.理由如下:
①当点P'在△ABC外时,如图1.

∵BQ平分∠P'BC,CQ平分∠ACB,
∴∠CBQ=$\frac{1}{2}α$,∠BCQ=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°,
∴∠BQC=180°-(∠CBQ+∠BCQ)=$135°-\frac{1}{2}α$,
∴α=270°-2∠BQC.
在四边形P'ACB中,
∵∠AP'B+∠P'AC+∠ACB+∠CBP'=360°,
∴∠AP'B+∠P'AC+90°+α=360°,
∴∠AP'B+∠P'AC+90°+270°-2∠BQC=360°,
∴∠AP'B+∠P'AC=2∠BQC;
②当点P'在△ABC内时,如图2.

同①可得α=270°-2∠BQC.
在△ABC中,
∵∠1+∠P'AC+∠2+α+90°=180°,
∴∠1+∠2=90°-∠P'AC-α,
∴∠AP'B=180°-(∠1+∠2)
=180°-(90°-∠P'AC-α)
=90°+∠P'AC+α
=90°+∠P'AC+270°-2∠BQC,
∴∠AP'B+2∠BQC=∠P'AC+360°.
综上所述,∠AP'B,∠P'AC,∠BQC之间的关系为∠AP'B+∠P'AC=2∠BQC或∠AP'B+2∠BQC=∠P'AC+360°.