1. 如图，在 $\mathrm{Rt} △ ABC$ 中，$∠ ACB = 90°$，$AC=6,BC=8$，将边 $AC$ 沿 $CE$ 翻折，使点 $A$ 落在 $AB$ 上的点 $D$ 处，再将边 $BC$ 沿$CF$ 翻折，使点 $B$ 落在 $CD$ 延长线上的点$B'$处，两条折痕与斜边 $AB$ 分别交于点$E,F$，则线段 $B'F$ 的长为（）


A.$\dfrac{6}{5}$
B.$\dfrac{8}{5}$
C.$\dfrac{4}{3}$
D.$\sqrt{3}$

提示: 根据勾股定理, 得 $AB = \sqrt{AC^2+BC^2} = 10$. 根据折叠的性质, 可得 $CE ⊥ AB$,$B'F=BF,∠ ACE = ∠ DCE,∠ BCF = ∠ B'CF$. 所以$∠ ECF=\frac{1}{2}∠ ACB=45°$,所以$△ ECF$ 是等腰直角三角形. 用等积法可求得 $CE=EF=\frac{24}{5}$. 根据勾股定理,得$AE=\frac{18}{5}$,所以 $B'F=BF=AB-AE-EF=\frac{8}{5}$.

2. 若$P$是等边三角形$ABC$内一点，$PA^{2}+PB^{2}=$$PC^{2}$，且$PC=2PA$，则$∠ BPC$的度数为（）

A.$75^{\circ }$
B.$90^{\circ }$
C.$120^{\circ }$
D.$135^{\circ }$

提示:如图,将$△ ABP$ 绕点 $B$ 顺时针旋转$60°$,使 $BA$ 与 $BC$ 重合,$BP$ 移至 $BM$ 处,$PA$ 移至 $MC$处,所以 $BM=BP,MC=PA,∠ PBM=60°$. 连接 $MP$,则$△ BPM$ 是等边三角形, 所以 $PB = PM,∠ BPM=60°$. 因为 $PA^2+PB^2=PC^2$, 所以 $MC^2+PM^2=PC^2$,所以$△ PMC$ 是直角三角形, $∠ CMP=90°$. 因为 $PC=2PA$,所以 $PC=2MC$. 取 $PC$ 的中点 $G$,连接 $MG$,易证$∠ CPM=30°$. 又因为 $∠ BPM=60°$,所以 $∠ BPC=90°$.

3. 如图,已知直线$a // b$,且$a$与$b$之间的距离为4,点$A$到直线$a$的距离为2,点$B$到直线$b$的距离为3,$AB$的长度是面积为120的正方形边长的长度.试在直线$a$上找一点$M$,在直线$b$上找一点$N$,满足$MN ⊥ a$且$AM+MN+NB$的值最小,则此时$AM+NB$等于（）


A.6
B.8
C.10
D.12

提示:如图,作 $M'N' ⊥ a$,分别交 $a,b$ 于点 $M',N'$,连接 $AM'$ 并沿 $M'N'$ 方向平移至 $A'N'$,连接$A'B$ 交直线 $b$ 于点 $N$,过点 $N$ 作 $NM ⊥ a$ 于点 $M$,则此时的 $M,N$ 即为所要找的点. 连接 $AM$,易证$△ AMM' ≌ △ A'NN'$, 则 $A'N=AM,AM'=A'N'$. 易知 $AA'=M'N'=4$. 所以 $AM+NB=A'N+NB=A'B$(连接$N'B$,则 $AM'+N'B=A'N'+N'B ≥ A'B$,当点 $N'$ 与点 $N$ 重合时取等号). 过点 $B$ 作 $BE ⊥ AA'$,交 $AA'$ 的延长线于点 $E$, 易得 $AE=2+4+3=9,A'E=5$. 在$\mathrm{Rt}△ AEB$ 中,$BE^2=AB^2-AE^2=39$. 在$\mathrm{Rt}△ A'EB$ 中,$A'B^2=A'E^2+BE^2$,解得 $A'B=8$.

二、填空题
4. 如图,若$AB=5,AC=3$,边 BC 上的中线$AD=2$,则$△ ABC$的面积为.

提示:延长 $AD$ 至点 $E$,使 $ED=AD$,连接$BE$. 因为 $D$ 为 $BC$ 的中点,所以 $DC=DB$. 在$△ ADC$ 和$△ EDB$ 中,$\begin{cases} AD=ED, \\ ∠ ADC=∠ EDB, \\ DC=DB, \end{cases}$所以$△ ADC ≌ △ EDB$.所以 $EB=AC=3,S_{△ ADC}=S_{△ EDB}$. 又因为 $AE=2AD=4,AB=5$, 所以 $AB^2=AE^2+EB^2$, 所以 $∠ E=90°$. 所以 $S_{△ ABC}=S_{△ ABD}+S_{△ ADC}=S_{△ ABD}+S_{△ EDB}=S_{△ ABE}=6$.

5. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°,AC=6$,$AB=10$,$O$是边$AB$的中点,$P$是射线$AC$上的一个动点,$BQ// CA$,交$PO$的延长线于点$Q$,$OM⊥ PQ$交边$BC$于点$M$.当$CP=1$时,$BM$的长为.

提示:连接 $MQ,MP$,设 $BM=x$.由勾股定理,得 $BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=8$. 当点 $P$ 在线段$AC$ 上时, 因为 $QB // AP$, 所以 $∠ A = ∠ OBQ$. 易证$△ OAP ≌ △ OBQ$, 所以 $QB=PA=AC-CP=5,OQ=OP$. 因为 $OM ⊥ PQ$, 所以 $MQ=MP$, 所以 $5^2+x^2=1^2+(8-x)^2$, 解得 $x=2.5$. 当点 $P$ 在 $AC$ 的延长线上时, 同理可得 $7^2+x^2=1^2+(8-x)^2$, 解得 $x=1$. 综上所述,$BM$ 的长为 2.5 或 1.

6. 如图,在等腰三角形$ABC$中,$AB=AC=1$,线段$BC$上有2026个不同的点$P_{1},P_{2}$,$P_{3},···,P_{2026}$,记$m_{i}=AP^{2}_{i}+BP_{i}· P_{i}C(i=$$1,2,3,···,2026)$,则$m_{1}+m_{2}+m_{3}+···+$$m_{2026}=$.

提示:过点 $A$ 作 $AD ⊥ BC$ 于点 $D$. 因为 $AP_i^2=AD^2+P_iD^2=AD^2+(BD-BP_i)^2=AD^2+BD^2-2BD · BP_i+BP_i^2=1+BP_i(BP_i-BC)=1-BP_i · P_iC$, 所以 $m_i=AP_i^2+BP_i · P_iC=1$. 所以$m_1+m_2+\dots+m_{2026}=2026$.

7. 如图,射线 $BM$ 外有一点 $A$,且 $AB=10$,点 $A$ 到射线 $BM$ 的距离为 6,若 $P$ 是射线$BM$ 上的一个动点,则当线段 $AP$ 与射线$BM$ 所夹锐角是$∠ ABP$ 的两倍时,$BP$ 的长为.

提示:如图,过点 $A$ 作 $AC ⊥ BM$ 于点 $C$, 则 $AC=6$. 在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=8$. 当点 $P$ 在点 $C$ 的右侧,即 $∠ APB=2∠ ABP$ 时, 在$BP$ 上截取 $BQ=AQ$, 此时 $∠ ABP=∠ BAQ$, 所以$∠ AQP=2∠ ABP=∠ APB$, 所以 $AQ=AP$, 所以$CQ=CP$, 设 $CQ=CP=x$, 则 $AQ=BQ=8-x$, 在$\mathrm{Rt}△ ACQ$ 中,$AC^2+CQ^2=AQ^2$, 所以 $36+x^2=(8-x)^2$, 解得 $x=\frac{7}{4}$, 所以 $BP=BC+CP=8+\frac{7}{4}=\frac{39}{4}$; 当点 $P$ 在点 $C$ 的左侧,即 $∠ APM=2∠ ABP$ 时,点 $P$ 与上述情况的点 $Q$ 重合, 所以 $BP=BC-CP=8-\frac{7}{4}=\frac{25}{4}$. 综上所述,$BP$ 的长为 $\frac{39}{4}$ 或 $\frac{25}{4}$.