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1. $\sqrt{9}=$；$\pm\sqrt{25}=$；$-\frac{125}{27}$的立方根是.
答案
3；±5；$-\frac{5}{3}$
2. 若$x$是$25$的算术平方根，$y$是$-8$的立方根，则$xy$的值为.
答案
根据算术平方根的定义，若一个非负数$a$的平方等于$b$，即$a^2 = b$，则$a$是$b$的算术平方根。
因为$5^2 = 25$，
所以，$25$的算术平方根为$5$，即$x = 5$。
根据立方根的定义，若一个数$a$的立方等于$b$，即$a^3 = b$，则$a$是$b$的立方根。
因为$(-2)^3 = -8$，
所以，$-8$的立方根为$-2$，即$y = -2$。
将$x = 5$和$y = -2$相乘，得到：
$xy = 5 × (-2) = -10$
综上可得，$xy$的值为$-10$。
因为$5^2 = 25$，
所以，$25$的算术平方根为$5$，即$x = 5$。
根据立方根的定义，若一个数$a$的立方等于$b$，即$a^3 = b$，则$a$是$b$的立方根。
因为$(-2)^3 = -8$，
所以，$-8$的立方根为$-2$，即$y = -2$。
将$x = 5$和$y = -2$相乘，得到：
$xy = 5 × (-2) = -10$
综上可得，$xy$的值为$-10$。
3. 已知$2x + 1$是$49$的算术平方根，$x + 4y - 10$的立方根是$-3$，则$y - x$的立方根是.
答案
由题意可知：
$2x + 1$是$49$的算术平方根，即$2x + 1 = \sqrt{49} = 7$，
解得$x = 3$。
$x + 4y - 10$的立方根是$-3$，即$x + 4y - 10 = (-3)^3 = -27$，
将$x = 3$代入，得$3 + 4y - 10 = -27$，
化简得$4y = -20$，
解得$y = -5$。
计算$y - x = -5 - 3 = -8$，
$-8$的立方根为$\sqrt[3]{-8} = -2$。
故答案为：$-2$。
$2x + 1$是$49$的算术平方根，即$2x + 1 = \sqrt{49} = 7$，
解得$x = 3$。
$x + 4y - 10$的立方根是$-3$，即$x + 4y - 10 = (-3)^3 = -27$，
将$x = 3$代入，得$3 + 4y - 10 = -27$，
化简得$4y = -20$，
解得$y = -5$。
计算$y - x = -5 - 3 = -8$，
$-8$的立方根为$\sqrt[3]{-8} = -2$。
故答案为：$-2$。
4. 若$a^{2}=36$，$b^{3}=-27$，则$a + b$的值是.
答案
由$a^{2} = 36$，根据平方根的定义，可得$a = \pm 6$。
由$b^{3} = - 27$，根据立方根的定义，可得$b=\sqrt[3]{-27}=-3$。
当$a = 6$，$b = - 3$时，$a + b=6+( - 3)=3$。
当$a = - 6$，$b = - 3$时，$a + b=-6+( - 3)=-9$。
综上，$a + b$的值是$3$或$-9$。
由$b^{3} = - 27$，根据立方根的定义，可得$b=\sqrt[3]{-27}=-3$。
当$a = 6$，$b = - 3$时，$a + b=6+( - 3)=3$。
当$a = - 6$，$b = - 3$时，$a + b=-6+( - 3)=-9$。
综上，$a + b$的值是$3$或$-9$。
5. 若$\sqrt[3]{1 - a}=-\sqrt[3]{b - 3}$，则$b - a$的立方根等于.
答案
因为$\sqrt[3]{1 - a}=-\sqrt[3]{b - 3}$，根据立方根的性质：$-\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{-x}$，所以$-\sqrt[3]{b - 3}=\sqrt[3]{-(b - 3)}=\sqrt[3]{3 - b}$。
则$\sqrt[3]{1 - a}=\sqrt[3]{3 - b}$，由于立方根相等的两个数相等，所以$1 - a = 3 - b$。
移项可得$b - a = 3 - 1 = 2$。
所以$b - a$的立方根为$\sqrt[3]{2}$。
$\sqrt[3]{2}$
则$\sqrt[3]{1 - a}=\sqrt[3]{3 - b}$，由于立方根相等的两个数相等，所以$1 - a = 3 - b$。
移项可得$b - a = 3 - 1 = 2$。
所以$b - a$的立方根为$\sqrt[3]{2}$。
$\sqrt[3]{2}$
6. 提升题 根据下列等式：$\sqrt[3]{2\frac{2}{7}}=2×\sqrt[3]{\frac{2}{7}}$，$\sqrt[3]{3\frac{3}{26}}=3×\sqrt[3]{\frac{3}{26}}$，$\sqrt[3]{4\frac{4}{63}}=4×\sqrt[3]{\frac{4}{63}}$，$···$，写出第$(n - 1)$个$(n≥2$，$n$为整数$)$等式：.
答案
$\sqrt[3]{n\frac{n}{n^{3}-1}}=n×\sqrt[3]{\frac{n}{n^{3}-1}}$
7. 根据立方根的定义，求下列$x$的值.
(1)$\frac{1}{3}x^{3}=9$；
(2)$8x^{3}=-27$；
(3)$(x - 1)^{3}+27=0$；
(4)$2(x + 1)^{3}=128$.
(1)$\frac{1}{3}x^{3}=9$；
(2)$8x^{3}=-27$；
(3)$(x - 1)^{3}+27=0$；
(4)$2(x + 1)^{3}=128$.
答案
(1)
由$\frac{1}{3}x^{3}=9$，两边同时乘以$3$得：
$x^{3}=27$
根据立方根的定义，若$x^{3}=a$，则$x=\sqrt[3]{a}$，所以：
$x=\sqrt[3]{27}=3$
(2)
由$8x^{3}=-27$，两边同时除以$8$得：
$x^{3}=-\frac{27}{8}$
根据立方根的定义得：
$x=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}$
(3)
由$(x - 1)^{3}+27=0$，移项得：
$(x - 1)^{3}=-27$
根据立方根的定义得：
$x - 1=\sqrt[3]{-27}=-3$
移项得：
$x=-3 + 1=-2$
(4)
由$2(x + 1)^{3}=128$，两边同时除以$2$得：
$(x + 1)^{3}=64$
根据立方根的定义得：
$x + 1=\sqrt[3]{64}=4$
移项得：
$x=4 - 1=3$
由$\frac{1}{3}x^{3}=9$，两边同时乘以$3$得：
$x^{3}=27$
根据立方根的定义，若$x^{3}=a$，则$x=\sqrt[3]{a}$，所以：
$x=\sqrt[3]{27}=3$
(2)
由$8x^{3}=-27$，两边同时除以$8$得：
$x^{3}=-\frac{27}{8}$
根据立方根的定义得：
$x=\sqrt[3]{-\frac{27}{8}}=-\frac{3}{2}$
(3)
由$(x - 1)^{3}+27=0$，移项得：
$(x - 1)^{3}=-27$
根据立方根的定义得：
$x - 1=\sqrt[3]{-27}=-3$
移项得：
$x=-3 + 1=-2$
(4)
由$2(x + 1)^{3}=128$，两边同时除以$2$得：
$(x + 1)^{3}=64$
根据立方根的定义得：
$x + 1=\sqrt[3]{64}=4$
移项得：
$x=4 - 1=3$
8. 观察下列各式，并用所得出的规律解决问题：
(1)$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{200}\approx14.14$，$\sqrt{20000}\approx141.4$，$···$；$\sqrt{0.03}\approx0.1732$，$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{300}\approx17.32$，$···$.由此可见，被开方数的小数点每向右移动位，其算术平方根的小数点向移动位.
(2)已知$\sqrt{5}\approx2.236$，$\sqrt{50}\approx7.071$，则$\sqrt{0.5}\approx$，$\sqrt{500}\approx$.(结果保留四位有效数字)
(3)$\sqrt[3]{1}=1$，$\sqrt[3]{1000}=10$，$\sqrt[3]{1000000}=100$，$···$.小数点变化的规律是.
(4)已知$\sqrt[3]{10}\approx2.154$，$\sqrt[3]{100}\approx4.642$，则$\sqrt[3]{10000}\approx$，$-\sqrt[3]{0.1}\approx$.(结果保留四位有效数字)
(1)$\sqrt{2}\approx1.414$，$\sqrt{200}\approx14.14$，$\sqrt{20000}\approx141.4$，$···$；$\sqrt{0.03}\approx0.1732$，$\sqrt{3}\approx1.732$，$\sqrt{300}\approx17.32$，$···$.由此可见，被开方数的小数点每向右移动位，其算术平方根的小数点向移动位.
(2)已知$\sqrt{5}\approx2.236$，$\sqrt{50}\approx7.071$，则$\sqrt{0.5}\approx$，$\sqrt{500}\approx$.(结果保留四位有效数字)
(3)$\sqrt[3]{1}=1$，$\sqrt[3]{1000}=10$，$\sqrt[3]{1000000}=100$，$···$.小数点变化的规律是.
(4)已知$\sqrt[3]{10}\approx2.154$，$\sqrt[3]{100}\approx4.642$，则$\sqrt[3]{10000}\approx$，$-\sqrt[3]{0.1}\approx$.(结果保留四位有效数字)
答案
(1)两；右；一
(2)0.7071；22.36
(3)被开方数的小数点向右（左）移动三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位
(4)21.54；-0.4642
(2)0.7071；22.36
(3)被开方数的小数点向右（左）移动三位，其立方根的小数点向右（左）移动一位
(4)21.54；-0.4642
