登录
1. (2025·崇川区月考)如图,$AB$是$\odot O$的直径,弦$CD$交$AB$于点$E$,$BE=1$,$AE=5$,$∠ AEC=$$30°$,求$CD$的长.
答案
解:如答图. 作 $OM⊥ CD$ 于点 $M$, 连接 $OC$, 则 $CM=\dfrac{1}{2}CD$.
$\because BE=1$,$AE=5$,$\therefore OC=\dfrac{1}{2}AB=\dfrac{BE+AE}{2}=\dfrac{1+5}{2}=3$,
$\therefore OE=OB-BE=3-1=2$.
$\because$ 在 $\mathrm{Rt}△ OME$ 中,$∠ AEC=30°$,
$\therefore OM=\dfrac{1}{2}OE=\dfrac{1}{2}× 2=1$.
在 $\mathrm{Rt}△ OCM$ 中,$\because OC^2=OM^2+MC^2$, 即 $3^2=1^2+CM^2$,
解得 $CM=2\sqrt{2}$,
$\therefore CD=2CM=2× 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$,
即 $CD$ 的长为 $4\sqrt{2}$.
解析
【分析】
这道题是圆中求弦长的典型问题，解题思路可以按以下步骤推进：1. 首先根据已知的AE、BE长度算出直径AB的总长度，进而得到圆的半径，再求出线段OE的长度；2. 求弦长最常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，利用垂径定理可以得到垂线平分弦，也就是$CM=\frac{1}{2}CD$，把求整条弦长的问题转化为求半条弦CM的长度；3. 已知$∠AEC=30°$，在构造出的$Rt△OME$中，利用30°角的直角三角形性质算出弦心距OM的长度；4. 最后在$Rt△OCM$中用勾股定理求出CM的长，乘2就得到CD的总长度。
【解析】
作 $OM⊥ CD$ 于点 $M$, 连接 $OC$, 根据垂径定理可得 $CM=\dfrac{1}{2}CD$。
$\because BE=1$,$AE=5$,
$\therefore AB=BE+AE=1+5=6$,
$\therefore$ 圆的半径 $OC=OB=\dfrac{1}{2}AB=3$,
$\therefore OE=OB-BE=3-1=2$。
在 $\mathrm{Rt}△ OME$ 中,$∠ AEC=30°$,根据含30°角的直角三角形性质，30°角对的直角边等于斜边的一半，可得：
$OM=\dfrac{1}{2}OE=\dfrac{1}{2}× 2=1$。
在 $\mathrm{Rt}△ OCM$ 中，由勾股定理 $OC^2=OM^2+MC^2$，代入数值：
$3^2=1^2+CM^2$，
解得 $CM=2\sqrt{2}$，
$\therefore CD=2CM=2× 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$CD$ 的长为 $4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；含30°直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆中求弦长的经典基础题型，核心考点是垂径定理的应用，通过作弦心距的辅助线，将圆的弦长计算问题转化为直角三角形的边长计算，是圆相关计算的常用转化思路，难度不大，需要学生熟练掌握这类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
这道题是圆中求弦长的典型问题，解题思路可以按以下步骤推进：1. 首先根据已知的AE、BE长度算出直径AB的总长度，进而得到圆的半径，再求出线段OE的长度；2. 求弦长最常用的辅助线是过圆心作弦的垂线，利用垂径定理可以得到垂线平分弦，也就是$CM=\frac{1}{2}CD$，把求整条弦长的问题转化为求半条弦CM的长度；3. 已知$∠AEC=30°$，在构造出的$Rt△OME$中，利用30°角的直角三角形性质算出弦心距OM的长度；4. 最后在$Rt△OCM$中用勾股定理求出CM的长，乘2就得到CD的总长度。
【解析】
作 $OM⊥ CD$ 于点 $M$, 连接 $OC$, 根据垂径定理可得 $CM=\dfrac{1}{2}CD$。
$\because BE=1$,$AE=5$,
$\therefore AB=BE+AE=1+5=6$,
$\therefore$ 圆的半径 $OC=OB=\dfrac{1}{2}AB=3$,
$\therefore OE=OB-BE=3-1=2$。
在 $\mathrm{Rt}△ OME$ 中,$∠ AEC=30°$,根据含30°角的直角三角形性质，30°角对的直角边等于斜边的一半，可得：
$OM=\dfrac{1}{2}OE=\dfrac{1}{2}× 2=1$。
在 $\mathrm{Rt}△ OCM$ 中，由勾股定理 $OC^2=OM^2+MC^2$，代入数值：
$3^2=1^2+CM^2$，
解得 $CM=2\sqrt{2}$，
$\therefore CD=2CM=2× 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
【答案】
$CD$ 的长为 $4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理；含30°直角三角形性质；勾股定理
【点评】
本题是圆中求弦长的经典基础题型，核心考点是垂径定理的应用，通过作弦心距的辅助线，将圆的弦长计算问题转化为直角三角形的边长计算，是圆相关计算的常用转化思路，难度不大，需要学生熟练掌握这类辅助线的构造方法。
【难度系数】
0.7
2. (2025·姑苏区月考)如图,直线 $PA$ 交$\odot O$于 $A,B$ 两点, $AE$ 是$\odot O$的直径,$C$ 为$\odot O$上一点,且 $AC$ 平分$∠ PAE$,过点 $C$ 作 $CD⊥ PA$,垂足为 $D$,且 $DC+DA=12$,$\odot O$的直径为 20,求 $AB$的长.
答案
解:如答图, 连接 $OC$, 过点 $O$ 作 $OF⊥ AB$, 垂足为 $F$.
$\because OA=OC$,$\therefore ∠ OCA=∠ OAC$.
$\because AC$ 平分 $∠ PAE$,$\therefore ∠ DAC=∠ CAO$,
$\therefore ∠ DAC=∠ OCA$,$\therefore PB// OC$.
$\because CD⊥ PA$,$\therefore ∠ OCD=∠ CDA=∠ OFD=90°$,
$\therefore$ 四边形 $DCOF$ 为矩形,$\therefore OC=FD$,$OF=CD$.
$\because DC+DA=12$, 设 $AD=x$, 则 $OF=CD=12-x$.
$\because \odot O$ 的直径为 $20$,$\therefore DF=OC=10$,$\therefore AF=10-x$.
在 $\mathrm{Rt}△ AOF$ 中, 由勾股定理, 得 $AF^2+OF^2=OA^2$.
即 $(10-x)^2+(12-x)^2=10^2$,
解得 $x_1=4$,$x_2=18$.
$\because CD=12-x＞0$,$\therefore x＜12$,
故 $x=18$ 舍去,$\therefore x=4$,
$\therefore AD=4$,$AF=10-4=6$.
$\because OF⊥ AB$, 由垂径定理知, $F$ 为 $AB$ 的中点,
$\therefore AB=2AF=12$.
解析
【分析】
解题时首先从已知的角平分线条件，结合OA=OC的等腰性质，推导出OC与PA平行，再结合CD垂直PA，作OF垂直AB，即可得到四边形DCOF是矩形，实现边的等量转化。接下来设AD的长度为x，利用DC+DA=12表示出CD=12-x，也就是矩形的对边OF=12-x，再结合圆半径OC=10，得到DF=OC=10，进而推出AF=DF-AD=10-x。之后在Rt△AOF中利用勾股定理列出关于x的方程，求解后舍去不符合CD＞0的增根，最后根据垂径定理，OF垂直AB则F是AB中点，即可算出AB的长度。
【解析】
解: 连接 $OC$, 过点 $O$ 作 $OF⊥ AB$, 垂足为 $F$.
$\because OA=OC$,$\therefore ∠ OCA=∠ OAC$.
$\because AC$ 平分 $∠ PAE$,$\therefore ∠ DAC=∠ CAO$,
$\therefore ∠ DAC=∠ OCA$,$\therefore PB// OC$.
$\because CD⊥ PA$,$\therefore ∠ OCD=∠ CDA=∠ OFD=90°$,
$\therefore$ 四边形 $DCOF$ 为矩形,$\therefore OC=FD$,$OF=CD$.
$\because DC+DA=12$, 设 $AD=x$, 则 $OF=CD=12-x$.
$\because \odot O$ 的直径为 $20$,$\therefore DF=OC=10$,$\therefore AF=10-x$.
在 $\mathrm{Rt}△ AOF$ 中, 由勾股定理, 得 $AF^2+OF^2=OA^2$.
即 $(10-x)^2+(12-x)^2=10^2$,
整理得$x^2-22x+72=0$,
解得 $x_1=4$,$x_2=18$.
$\because CD=12-x＞0$,$\therefore x＜12$,
故 $x=18$ 舍去,$\therefore x=4$,
$\therefore AD=4$,$AF=10-4=6$.
$\because OF⊥ AB$, 由垂径定理知, $F$ 为 $AB$ 的中点,
$\therefore AB=2AF=12$.
【答案】
AB的长为12
【知识点】
垂径定理，勾股定理，矩形判定
【点评】
本题是圆的常规综合题，核心考察圆中辅助线的构造思路，通过作弦心距OF，结合角平分线的性质推导平行关系构造矩形，将分散的线段条件集中到直角三角形中，利用方程思想结合勾股定理求解，需要注意对方程的根进行实际意义的检验，排除不符合题意的解，巩固垂径定理的应用场景。
【难度系数】
0.6
解题时首先从已知的角平分线条件，结合OA=OC的等腰性质，推导出OC与PA平行，再结合CD垂直PA，作OF垂直AB，即可得到四边形DCOF是矩形，实现边的等量转化。接下来设AD的长度为x，利用DC+DA=12表示出CD=12-x，也就是矩形的对边OF=12-x，再结合圆半径OC=10，得到DF=OC=10，进而推出AF=DF-AD=10-x。之后在Rt△AOF中利用勾股定理列出关于x的方程，求解后舍去不符合CD＞0的增根，最后根据垂径定理，OF垂直AB则F是AB中点，即可算出AB的长度。
【解析】
解: 连接 $OC$, 过点 $O$ 作 $OF⊥ AB$, 垂足为 $F$.
$\because OA=OC$,$\therefore ∠ OCA=∠ OAC$.
$\because AC$ 平分 $∠ PAE$,$\therefore ∠ DAC=∠ CAO$,
$\therefore ∠ DAC=∠ OCA$,$\therefore PB// OC$.
$\because CD⊥ PA$,$\therefore ∠ OCD=∠ CDA=∠ OFD=90°$,
$\therefore$ 四边形 $DCOF$ 为矩形,$\therefore OC=FD$,$OF=CD$.
$\because DC+DA=12$, 设 $AD=x$, 则 $OF=CD=12-x$.
$\because \odot O$ 的直径为 $20$,$\therefore DF=OC=10$,$\therefore AF=10-x$.
在 $\mathrm{Rt}△ AOF$ 中, 由勾股定理, 得 $AF^2+OF^2=OA^2$.
即 $(10-x)^2+(12-x)^2=10^2$,
整理得$x^2-22x+72=0$,
解得 $x_1=4$,$x_2=18$.
$\because CD=12-x＞0$,$\therefore x＜12$,
故 $x=18$ 舍去,$\therefore x=4$,
$\therefore AD=4$,$AF=10-4=6$.
$\because OF⊥ AB$, 由垂径定理知, $F$ 为 $AB$ 的中点,
$\therefore AB=2AF=12$.
【答案】
AB的长为12
【知识点】
垂径定理，勾股定理，矩形判定
【点评】
本题是圆的常规综合题，核心考察圆中辅助线的构造思路，通过作弦心距OF，结合角平分线的性质推导平行关系构造矩形，将分散的线段条件集中到直角三角形中，利用方程思想结合勾股定理求解，需要注意对方程的根进行实际意义的检验，排除不符合题意的解，巩固垂径定理的应用场景。
【难度系数】
0.6
3. 如图,射线 $PG$ 平分$∠ EPF$,$O$ 为射线 $PG$ 上一点. 以点 $O$ 为圆心,5 为半径作$\odot O$,分别与$∠ EPF$ 的两边相交于点 $A,B$ 和点 $C,D$,连接 $OA$,且 $OA// PE$.
(1)求证:$AP=AO$;
(2)若弦 $AB=8$,求 $OP$ 的长.
(1)求证:$AP=AO$;
(2)若弦 $AB=8$,求 $OP$ 的长.
答案
(1) 证明: $\because PG$ 平分 $∠ EPF$,
$\therefore ∠ DPO=∠ APO$.
$\because OA// PE$,$\therefore ∠ DPO=∠ AOP$,
$\therefore ∠ APO=∠ AOP$,$\therefore AP=AO$.
(2) 解: 过点 $O$ 作 $OH⊥ AB$ 于点 $H$, 如答图, 则 $AH=BH=\dfrac{1}{2}AB=4$.
在 $\mathrm{Rt}△ AOH$ 中,$\because OA=5$,$AH=4$,
$\therefore OH=\sqrt{OA^2-AH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
$\because AP=AO=5$,$\therefore PH=AP+AH=5+4=9$.
在 $\mathrm{Rt}△ POH$ 中,$OP=\sqrt{OH^2+PH^2}=\sqrt{3^2+9^2}=3\sqrt{10}$.
解析
【分析】
第(1)问要证明两条线段相等，优先利用“等角对等边”的思路，只需证明两条边所在三角形的两个底角相等即可：已知PG是∠EPF的角平分线，可得到∠DPO=∠APO，再结合OA//PE的平行线性质，通过内错角相等得到∠DPO=∠AOP，等量代换后就能推出∠APO=∠AOP，直接得到AP=AO。第(2)问已知弦AB的长度求OP，圆中已知弦长的常规辅助线是过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到半弦长，先在Rt△AOH中用勾股定理算出圆心到弦的距离OH，再结合第(1)问得到的AP=AO=5算出PH的长度，最后在Rt△POH中再次用勾股定理即可求出OP的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ PG平分∠EPF，
∴ ∠DPO = ∠APO。
∵ OA//PE，
∴ ∠DPO = ∠AOP，
∴ ∠APO = ∠AOP，
∴ AP = AO（等角对等边）。
(2) 解：
过点O作OH⊥AB于点H，由垂径定理可得AH = BH = $\frac{1}{2}$AB。
∵ AB=8，
∴ AH = 4。
在Rt△AOH中，OA是⊙O的半径，OA=5，AH=4，
由勾股定理得：$OH = \sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
由(1)可知AP = AO = 5，
∴ PH = AP + AH = 5 + 4 = 9。
在Rt△POH中，由勾股定理得：
$OP = \sqrt{OH^2 + PH^2} = \sqrt{3^2 + 9^2} = 3\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 证明: $\because PG$ 平分 $∠ EPF$,
$\therefore ∠ DPO=∠ APO$.
$\because OA// PE$,$\therefore ∠ DPO=∠ AOP$,
$\therefore ∠ APO=∠ AOP$,$\therefore AP=AO$.
(2) 解: 过点 $O$ 作 $OH⊥ AB$ 于点 $H$, 如答图, 则 $AH=BH=\dfrac{1}{2}AB=4$.
在 $\mathrm{Rt}△ AOH$ 中,$\because OA=5$,$AH=4$,
$\therefore OH=\sqrt{OA^2-AH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
$\because AP=AO=5$,$\therefore PH=AP+AH=5+4=9$.
在 $\mathrm{Rt}△ POH$ 中,$OP=\sqrt{OH^2+PH^2}=\sqrt{3^2+9^2}=3\sqrt{10}$.
【知识点】
平行线性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题型，第一问结合角平分线和平行线的性质，利用等角对等边完成线段相等的证明，思路直白门槛低；第二问是圆中求线段长度的经典考法，通过构造圆心到弦的垂线，结合垂径定理和勾股定理求解，是这类问题的标准常规解法，能帮助学生巩固圆相关的基础辅助线构造技巧。
【难度系数】
0.6
第(1)问要证明两条线段相等，优先利用“等角对等边”的思路，只需证明两条边所在三角形的两个底角相等即可：已知PG是∠EPF的角平分线，可得到∠DPO=∠APO，再结合OA//PE的平行线性质，通过内错角相等得到∠DPO=∠AOP，等量代换后就能推出∠APO=∠AOP，直接得到AP=AO。第(2)问已知弦AB的长度求OP，圆中已知弦长的常规辅助线是过圆心作弦的垂线，利用垂径定理得到半弦长，先在Rt△AOH中用勾股定理算出圆心到弦的距离OH，再结合第(1)问得到的AP=AO=5算出PH的长度，最后在Rt△POH中再次用勾股定理即可求出OP的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ PG平分∠EPF，
∴ ∠DPO = ∠APO。
∵ OA//PE，
∴ ∠DPO = ∠AOP，
∴ ∠APO = ∠AOP，
∴ AP = AO（等角对等边）。
(2) 解：
过点O作OH⊥AB于点H，由垂径定理可得AH = BH = $\frac{1}{2}$AB。
∵ AB=8，
∴ AH = 4。
在Rt△AOH中，OA是⊙O的半径，OA=5，AH=4，
由勾股定理得：$OH = \sqrt{OA^2 - AH^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = 3$。
由(1)可知AP = AO = 5，
∴ PH = AP + AH = 5 + 4 = 9。
在Rt△POH中，由勾股定理得：
$OP = \sqrt{OH^2 + PH^2} = \sqrt{3^2 + 9^2} = 3\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 证明: $\because PG$ 平分 $∠ EPF$,
$\therefore ∠ DPO=∠ APO$.
$\because OA// PE$,$\therefore ∠ DPO=∠ AOP$,
$\therefore ∠ APO=∠ AOP$,$\therefore AP=AO$.
(2) 解: 过点 $O$ 作 $OH⊥ AB$ 于点 $H$, 如答图, 则 $AH=BH=\dfrac{1}{2}AB=4$.
在 $\mathrm{Rt}△ AOH$ 中,$\because OA=5$,$AH=4$,
$\therefore OH=\sqrt{OA^2-AH^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$.
$\because AP=AO=5$,$\therefore PH=AP+AH=5+4=9$.
在 $\mathrm{Rt}△ POH$ 中,$OP=\sqrt{OH^2+PH^2}=\sqrt{3^2+9^2}=3\sqrt{10}$.
【知识点】
平行线性质，垂径定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的基础综合题型，第一问结合角平分线和平行线的性质，利用等角对等边完成线段相等的证明，思路直白门槛低；第二问是圆中求线段长度的经典考法，通过构造圆心到弦的垂线，结合垂径定理和勾股定理求解，是这类问题的标准常规解法，能帮助学生巩固圆相关的基础辅助线构造技巧。
【难度系数】
0.6
