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名师点拨
| 模型 | 条件 | 结论 |
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| E,F分别为AC,BD的中点 | $EF=\dfrac{1}{2}(AB+CD)=\dfrac{1}{2}(a+b)$ |
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| 模型 | 条件 | 结论 |
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| E,F分别为AC,BD的中点 | $EF=\dfrac{1}{2}(AB+CD)=\dfrac{1}{2}(a+b)$ || | | |
答案
证明：
第一种情况（点顺序为$A、E、B、C、F、D$）
$\because E$是$AC$的中点，
$\therefore AE=\dfrac{1}{2}AC$。
$\because F$是$BD$的中点，
$\therefore FD=\dfrac{1}{2}BD$。
$\therefore AE+FD=\dfrac{1}{2}AC+\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}(AC+BD)$。
又$\because AC+BD=AB+BC+BC+CD=AB+CD+2BC$，
线段$AD=AB+BC+CD$，
$\therefore EF=AD-AE-FD$
$=(AB+BC+CD)-\dfrac{1}{2}(AB+CD+2BC)$
$=\dfrac{1}{2}AB+\dfrac{1}{2}CD$
$=\dfrac{1}{2}(AB+CD)=\dfrac{1}{2}(a+b)$。
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第二种情况（点顺序为$A、E、C、D、F、B$）
$\because E$是$AC$的中点，
$\therefore EC=\dfrac{1}{2}AC$。
$\because F$是$BD$的中点，
$\therefore DF=\dfrac{1}{2}BD$。
$\therefore EC+DF=\dfrac{1}{2}AC+\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}(AC+BD)$。
又$\because AB=AC+CD+BD$，即$AC+BD=AB-CD$，
$\therefore EF=EC+CD+DF$
$=\dfrac{1}{2}(AC+BD)+CD$
$=\dfrac{1}{2}(AB-CD)+CD$
$=\dfrac{1}{2}AB+\dfrac{1}{2}CD$
$=\dfrac{1}{2}(AB+CD)=\dfrac{1}{2}(a+b)$。
综上，$EF=\dfrac{1}{2}(AB+CD)=\dfrac{1}{2}(a+b)$。
第一种情况（点顺序为$A、E、B、C、F、D$）
$\because E$是$AC$的中点，
$\therefore AE=\dfrac{1}{2}AC$。
$\because F$是$BD$的中点，
$\therefore FD=\dfrac{1}{2}BD$。
$\therefore AE+FD=\dfrac{1}{2}AC+\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}(AC+BD)$。
又$\because AC+BD=AB+BC+BC+CD=AB+CD+2BC$，
线段$AD=AB+BC+CD$，
$\therefore EF=AD-AE-FD$
$=(AB+BC+CD)-\dfrac{1}{2}(AB+CD+2BC)$
$=\dfrac{1}{2}AB+\dfrac{1}{2}CD$
$=\dfrac{1}{2}(AB+CD)=\dfrac{1}{2}(a+b)$。
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第二种情况（点顺序为$A、E、C、D、F、B$）
$\because E$是$AC$的中点，
$\therefore EC=\dfrac{1}{2}AC$。
$\because F$是$BD$的中点，
$\therefore DF=\dfrac{1}{2}BD$。
$\therefore EC+DF=\dfrac{1}{2}AC+\dfrac{1}{2}BD=\dfrac{1}{2}(AC+BD)$。
又$\because AB=AC+CD+BD$，即$AC+BD=AB-CD$，
$\therefore EF=EC+CD+DF$
$=\dfrac{1}{2}(AC+BD)+CD$
$=\dfrac{1}{2}(AB-CD)+CD$
$=\dfrac{1}{2}AB+\dfrac{1}{2}CD$
$=\dfrac{1}{2}(AB+CD)=\dfrac{1}{2}(a+b)$。
综上，$EF=\dfrac{1}{2}(AB+CD)=\dfrac{1}{2}(a+b)$。
3. 如图所示,点 C,B 是线段 AD 上的两点,$AC:CB:BD=3:1:4$,点 E,F 分别是 AB,CD 的中点,且$EF=14$,求 AB,CD 的长.
答案
3. 设AC=3x,则CB=x,BD=4x,AB=AC+CB=3x+x=4x,CD=CB+BD=x+4x=5x.因为点E,F分别是AB,CD的中点,所以BE=$\frac{1}{2}$AB=2x,CF=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{5}{2}$x.因为EF=14,所以EB+CF-CB=14,所以2x+$\frac{5}{2}$x-x=14,解得x=4,所以AB=4x=16,CD=5x=20.
4. 如图,已知线段$AB=15\ \mathrm{cm},CD=3\ \mathrm{cm}$,点$E$是$AC$的中点,点$F$是$BD$的中点.
(1)若$AC=4\ \mathrm{cm}$,求线段$EF$的长.
(2)当线段$CD$在线段$AB$上从左向右或从右向左运动时,试判断线段$EF$的长度是否发生变化?若不变,请求出线段$EF$的长度;若变化,请说明理由.
$\gg$进一步挑战进阶专题:P115 专题4~P120 专题9
(1)若$AC=4\ \mathrm{cm}$,求线段$EF$的长.
(2)当线段$CD$在线段$AB$上从左向右或从右向左运动时,试判断线段$EF$的长度是否发生变化?若不变,请求出线段$EF$的长度;若变化,请说明理由.
$\gg$进一步挑战进阶专题:P115 专题4~P120 专题9
答案
4. (1)因为AC=4 cm,CD=3 cm,AB=15 cm,所以BD=AB-AC-CD=15-4-3=8(cm).因为点E是AC的中点,点F是BD的中点,所以EC=$\frac{1}{2}$AC=2 cm,DF=$\frac{1}{2}$BD=4 cm,所以EF=EC+CD+DF=2+3+4=9(cm).
(2)线段EF的长度不发生变化.
因为点E是AC的中点,点F是BD的中点,所以AE=$\frac{1}{2}$AC,BF=$\frac{1}{2}$BD,所以EF=AB-AE-BF=AB-$\frac{1}{2}$AC-$\frac{1}{2}$BD=AB-$\frac{1}{2}$(AC+BD)=AB-$\frac{1}{2}$(AB-CD)=15-$\frac{1}{2}$×(15-3)=9(cm).
(2)线段EF的长度不发生变化.
因为点E是AC的中点,点F是BD的中点,所以AE=$\frac{1}{2}$AC,BF=$\frac{1}{2}$BD,所以EF=AB-AE-BF=AB-$\frac{1}{2}$AC-$\frac{1}{2}$BD=AB-$\frac{1}{2}$(AC+BD)=AB-$\frac{1}{2}$(AB-CD)=15-$\frac{1}{2}$×(15-3)=9(cm).
