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1. 如图,点 B,C 在线段 AD 上,且 $AB: BC: CD = 2: 3: 4$,点 M 是线段 AC 的中点,点 N 是线段 CD 上的一点,且 $MN = 9$.
(1)若点 N 是线段 CD 的中点,求 BD 的长;
(2)若点 N 是线段 CD 的三等分点,求 BD 的长.
(1)若点 N 是线段 CD 的中点,求 BD 的长;
(2)若点 N 是线段 CD 的三等分点,求 BD 的长.
答案
(1) 因为点 M 是线段 AC 的中点,点 N 是线段 CD 的中点,所以 $CM=\frac{1}{2}AC,CN=\frac{1}{2}CD$,所以 $MN=CM+CN=\frac{1}{2}(AC+CD)=\frac{1}{2}AD=9$,所以 $AD=18$. 因为 $AB: BC: CD=2: 3: 4$,所以 $AB=\frac{2}{2+3+4}× AD=4$,所以 $BD=AD-AB=18-4=14$.
(2) 因为点 N 是线段 CD 的三等分点,所以当 $CN=\frac{1}{3}CD$ 时,因为 $AB: BC: CD=2: 3: 4$,所以设 $AB=2x$,$BC=3x$,$CD=4x$,所以 $AC=5x$. 因为点 M 是线段 AC 的中点,所以 $CM=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}x$. 因为 $CN=\frac{1}{3}CD=\frac{4}{3}x$,所以 $CM+CN=\frac{5}{2}x+\frac{4}{3}x=MN=9$,所以 $x=\frac{54}{23}$,所以 $BD=7x=\frac{378}{23}$. 当 $CN=\frac{2}{3}CD$ 时,因为 $AB: BC: CD=2: 3: 4$,所以设 $AB=2x$,$BC=3x$,$CD=4x$,所以 $AC=5x$. 因为点 M 是线段 AC 的中点,所以 $CM=\frac{1}{2}AC=\frac{5}{2}x$. 因为 $CN=\frac{2}{3}CD=\frac{8}{3}x$,所以 $CM+CN=\frac{5}{2}x+\frac{8}{3}x=MN=9$,所以 $x=\frac{54}{31}$,所以 $BD=7x=\frac{378}{31}$. 综上所述,BD 的长为 $\frac{378}{23}$ 或 $\frac{378}{31}$.
2. 小明在学习了比较线段的长短后对下面一道题产生了探究的兴趣：
如图①,点 C 在线段 AB 上,M,N 分别是 AC,BC 的中点.若 $ AB=6,AC=2 $,求 MN 的长.
(1)根据题意,求得 $ MN= $
(2)小明在求解(1)的过程中,发现 MN 的长度具有一个特殊性质,于是他先将题中的条件一般化,并开始深入探究.设 $ AB=a $,C 是线段 AB 上任意一点(不与点 A,B 重合),小明提出了如下三个问题,请你帮助小明解答.
①如图①,M,N 分别是 AC,BC 的中点,则 $ MN= $
②如图②,M,N 分别是 AC,BC 的三等分点,即 $ AM=\frac{1}{3}AC,BN=\frac{1}{3}BC $,求 MN 的长.
③若 M,N 分别是 AC,BC 的 $ n(n≥2) $ 等分点,即 $ AM=\frac{1}{n}AC,BN=\frac{1}{n}BC $,则 $ MN= $
＞＞进一步挑战进阶专题·P116 专题5~P120 专题9
如图①,点 C 在线段 AB 上,M,N 分别是 AC,BC 的中点.若 $ AB=6,AC=2 $,求 MN 的长.
(1)根据题意,求得 $ MN= $
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.(2)小明在求解(1)的过程中,发现 MN 的长度具有一个特殊性质,于是他先将题中的条件一般化,并开始深入探究.设 $ AB=a $,C 是线段 AB 上任意一点(不与点 A,B 重合),小明提出了如下三个问题,请你帮助小明解答.
①如图①,M,N 分别是 AC,BC 的中点,则 $ MN= $
$\frac{1}{2}a$
.②如图②,M,N 分别是 AC,BC 的三等分点,即 $ AM=\frac{1}{3}AC,BN=\frac{1}{3}BC $,求 MN 的长.
③若 M,N 分别是 AC,BC 的 $ n(n≥2) $ 等分点,即 $ AM=\frac{1}{n}AC,BN=\frac{1}{n}BC $,则 $ MN= $
$\frac{n-1}{n}a$
.＞＞进一步挑战进阶专题·P116 专题5~P120 专题9
答案
(1) 因为 $AB=6,AC=2$,所以 $BC=AB-AC=4$. 因为 M,N 分别是 AC,BC 的中点,所以 $CM=\frac{1}{2}AC=1$,$CN=\frac{1}{2}BC=2$,所以 $MN=CM+CN=3$. 故答案为 3.
(2)① 因为 M,N 分别是 AC,BC 的中点,所以 $CM=\frac{1}{2}AC,CN=\frac{1}{2}BC$,所以 $MN=CM+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB$. 因为 $AB=a$,所以 $MN=\frac{1}{2}a$. 故答案为 $\frac{1}{2}a$.
② 因为 $AM=\frac{1}{3}AC,BN=\frac{1}{3}BC$,所以 $CM=\frac{2}{3}AC,CN=\frac{2}{3}BC$,所以 $MN=CM+CN=\frac{2}{3}AC+\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}AB$. 因为 $AB=a$,所以 $MN=\frac{2}{3}a$.
③ 因为 $AM=\frac{1}{n}AC,BN=\frac{1}{n}BC$,所以 $CM=\frac{n-1}{n}AC,CN=\frac{n-1}{n}BC$,所以 $MN=CM+CN=\frac{n-1}{n}AC+\frac{n-1}{n}BC=\frac{n-1}{n}AB$. 因为 $AB=a$,所以 $MN=\frac{n-1}{n}a$,故答案为 $\frac{n-1}{n}a$.
(2)① 因为 M,N 分别是 AC,BC 的中点,所以 $CM=\frac{1}{2}AC,CN=\frac{1}{2}BC$,所以 $MN=CM+CN=\frac{1}{2}AC+\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AB$. 因为 $AB=a$,所以 $MN=\frac{1}{2}a$. 故答案为 $\frac{1}{2}a$.
② 因为 $AM=\frac{1}{3}AC,BN=\frac{1}{3}BC$,所以 $CM=\frac{2}{3}AC,CN=\frac{2}{3}BC$,所以 $MN=CM+CN=\frac{2}{3}AC+\frac{2}{3}BC=\frac{2}{3}AB$. 因为 $AB=a$,所以 $MN=\frac{2}{3}a$.
③ 因为 $AM=\frac{1}{n}AC,BN=\frac{1}{n}BC$,所以 $CM=\frac{n-1}{n}AC,CN=\frac{n-1}{n}BC$,所以 $MN=CM+CN=\frac{n-1}{n}AC+\frac{n-1}{n}BC=\frac{n-1}{n}AB$. 因为 $AB=a$,所以 $MN=\frac{n-1}{n}a$,故答案为 $\frac{n-1}{n}a$.
