10 关于$x$的一元二次方程$x^{2}+bx+c=0$有两个相等的实数根，则$b^{2}-2(1+2c)$的值为。

10. $-2$

11 [2024 南充]已知 $x_{1},x_{2}(x_{1}＜x_{2})$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2kx+k^{2}-k+1=0$ 的两个不相等的实数根.
(1) 求 $k$ 的取值范围；
(2) 若 $k＜5$,且 $k,x_{1},x_{2}$ 都是整数,求 $k$ 的值.

11. (1) $\because$ 原方程有两个不相等的实数根, $\therefore \Delta=(-2k)^2-4×1×(k^2-k+1)=4k^2-4k^2+4k-4=4k-4＞0$, 解得 $k＞1$, $\therefore k$ 的取值范围是 $k＞1$ (2) $\because k＜5$,$k＞1$, $\therefore 1＜k＜5$, $\therefore$ 整数 $k$ 的值为 2,3,4. 当 $k=2$ 时, 方程为 $x^2-4x+3=0$, 解得 $x_1=1$,$x_2=3$; 当 $k=3$ 或$k=4$ 时, 此时方程的解不为整数, 舍去. 综上所述, $k$ 的值为 2

12 教材变式题 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2-4mx+3m^2=0$.
(1) 求证:该方程总有两个实数根;
(2) 若 $m＞0$,且该方程的两个实数根的差为 2,求 $m$ 的值.

12. (1) $\because \Delta=(-4m)^2-4×1×3m^2=4m^2≥0$, $\therefore$ 该方程总有两个实数根 (2) $\because x^2-4mx+3m^2=0$, $\therefore x=\dfrac{4m\pm\sqrt{4m^2}}{2}$. $\because m＞0$,$\therefore x_1=m$,$x_2=3m$. 由题意, 得 $3m-m=2$, 解得 $m=1$

13 数形结合思想 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a+c)x^2+2bx+(a-c)=0$,其中 $a,b,c$ 分别为 $△ ABC$ 的三边长.
(1) 若 $x=-1$ 是方程的根,试判断 $△ ABC$ 的形状,并说明理由;
(2) 若方程有两个相等的实数根,试判断 $△ ABC$ 的形状,并说明理由;
(3) 若 $△ ABC$ 是等边三角形,试求这个一元二次方程的根.

13. (1) $△ ABC$ 是等腰三角形 理由: 把 $x=-1$ 代入方程, 得 $a+c-2b+(a-c)=0$, 即 $2a-2b=0$, $\therefore a=b$, $\therefore △ ABC$ 是等腰三角形. (2) $△ ABC$ 是直角三角形 理由: $\because$ 方程有两个相等的实数根, $\therefore (2b)^2-4(a+c)(a-c)=0$, $\therefore b^2+c^2=a^2$, $\therefore △ ABC$ 是直角三角形. (3) $\because △ ABC$ 是等边三角形, $\therefore a=b=c$, $\therefore$ 原方程变为$2ax^2+2ax=0$. $\because a≠0$, $\therefore x^2+x=0$, 解得 $x_1=0$,$x_2=-1$