8.(义乌市)对于两个不相等的实数$a,b$,我们规定符号$\mathrm{Min}\{a,b\}$表示$a,b$中的较小的值,如$\mathrm{Min}\{2,4\}=2$。按照这个规定,方程$\mathrm{Min}\{\dfrac{1}{x},\dfrac{3}{x}\}=\dfrac{2}{x}-1$的解为 ()

A.$1$
B.$-1$
C.$1$或$-1$
D.$-1$或$-2$

C

【分析】
首先明确新定义：$\mathrm{Min}\{a,b\}$表示两个不相等实数中较小的那个，因此需分情况讨论$\frac{1}{x}$与$\frac{3}{x}$的大小关系，再分别代入方程求解，最后验证解是否满足对应情况且分母不为0。
【解析】
根据新定义，分两种情况讨论：
1. 当$\frac{1}{x} ＜ \frac{3}{x}$时，移项得$\frac{1}{x}-\frac{3}{x}＜0$，即$\frac{-2}{x}＜0$，解得$x＞0$。此时$\mathrm{Min}\{\frac{1}{x},\frac{3}{x}\}=\frac{1}{x}$，方程化为：
$\frac{1}{x}=\frac{2}{x}-1$，两边同乘$x$（$x＞0$，$x≠0$）得：$1=2-x$，解得$x=1$，满足$x＞0$，有效。
2. 当$\frac{3}{x} ＜ \frac{1}{x}$时，移项得$\frac{3}{x}-\frac{1}{x}＜0$，即$\frac{2}{x}＜0$，解得$x＜0$。此时$\mathrm{Min}\{\frac{1}{x},\frac{3}{x}\}=\frac{3}{x}$，方程化为：
$\frac{3}{x}=\frac{2}{x}-1$，两边同乘$x$（$x＜0$，$x≠0$）得：$3=2-x$，解得$x=-1$，满足$x＜0$，有效。
综上，方程的解为$1$或$-1$。
【答案】
C
【知识点】
新定义运算、分式方程解法、分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查分式方程求解，核心是通过分类讨论确定两个分式的大小关系，转化为常规方程求解，需注意解的适用条件及分母不为0的隐含要求，是初中数学常见的综合题型。
【难度系数】
0.5

9.(杭州市拱墅区)分解因式:$4ab^{3}-ab=$$\underline{\hspace{10cm}}$。

$ab(2b+1)(2b-1)$

【分析】
本题是因式分解题，解题思路为：先提取多项式各项的公因式，再利用平方差公式对剩余部分进一步分解，最终得到因式分解的结果。
【解析】
先提取公因式$ab$，可得：
$4ab^3 - ab = ab(4b^2 - 1)$
再对$4b^2 - 1$利用平方差公式$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$分解，其中$4b^2=(2b)^2$，$1=1^2$，则：
$4b^2 -1=(2b+1)(2b-1)$
因此，原式分解结果为$ab(2b+1)(2b-1)$。
【答案】
$ab(2b+1)(2b-1)$
【知识点】
因式分解（提公因式法）、因式分解（平方差公式）
【点评】
本题属于基础因式分解题，需掌握提公因式法和平方差公式的应用，步骤清晰，是因式分解的常规考查题型。
【难度系数】
0.8

10.(嘉兴市)已知在数轴上点A,B所对应的数分别是$-2,\frac{x-7}{3x-1}$,且A,B两点之间的距离为4,则x的值为$\underline{\hspace{5em}}$。

$\dfrac{13}{19}$或$-1$

【分析】首先回忆数轴上两点间的距离公式：若数轴上两点对应的数为$a$、$b$，则两点距离为$|a - b|$。本题中A对应$-2$，B对应分式，A、B距离为4，因此先根据距离公式列出含绝对值的方程，再分情况去绝对值求解，最后验证分式分母不为0（保证分式有意义）。
【解析】根据数轴上两点间距离公式，A、B两点距离为：
$\left| \frac{x-7}{3x-1} - (-2) \right| = 4$，即$\left| \frac{x-7}{3x-1} + 2 \right| = 4$。
通分计算绝对值内的式子：
$\frac{x-7}{3x-1} + 2 = \frac{x -7 + 2(3x -1)}{3x -1} = \frac{7x -9}{3x -1}$，
因此方程转化为$\left| \frac{7x -9}{3x -1} \right| = 4$，分两种情况讨论：
情况1：$\frac{7x -9}{3x -1} = 4$（需满足$3x -1 ≠ 0$，即$x ≠ \frac{1}{3}$），
两边同乘$3x -1$得：$7x -9 = 4(3x -1)$，
展开整理：$7x -9 = 12x -4 \implies -5 = 5x \implies x = -1$，
验证分母$3×(-1)-1=-4≠0$，有效。
情况2：$\frac{7x -9}{3x -1} = -4$（需满足$3x -1 ≠ 0$，即$x ≠ \frac{1}{3}$），
两边同乘$3x -1$得：$7x -9 = -4(3x -1)$，
展开整理：$7x -9 = -12x +4 \implies 19x =13 \implies x = \frac{13}{19}$，
验证分母$3×\frac{13}{19}-1=\frac{20}{19}≠0$，有效。
综上，$x$的值为$\frac{13}{19}$或$-1$。
【答案】$\dfrac{13}{19}$或$-1$
【知识点】数轴上的距离、分式方程、绝对值方程
【点评】本题结合数轴距离与分式方程，核心是利用绝对值的性质分情况讨论，需特别注意分式有意义的条件（分母不为0），避免出现增根，是初中阶段的基础综合题。
【难度系数】0.5

11.(杭州市萧山区)复习二元一次方程组的解法时,面对老师给出的方程组$\begin{cases}2x + 3y = 2①,\\2x - 6y = -1②,\end{cases}$“自由飞翔”小组经过讨论并展示了三种不同的转化方法:
(1)①$-$②,则可得关于$y$的一元一次方程:$\underline{\hspace{5cm}}$。
(2)①$×2+$②,则可得关于$x$的一元一次方程:$\underline{\hspace{5cm}}$。
(3)①$+$②$×2$,消去常数项,则可得$\underline{\hspace{5cm}}$,再代入①或②。

(1)$9y=3$
(2)$6x=3$
(3)$6x-9y=0$

【分析】
本题考查二元一次方程组的加减消元法，核心是通过对两个方程进行加减或倍数加减运算，消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程求解。具体思路如下：
1. 第(1)问：计算①-②时，将两个方程左右两边分别相减，消去x，得到仅含y的一元一次方程；
2. 第(2)问：先将①乘以2，再与②相加，消去y，得到仅含x的一元一次方程；
3. 第(3)问：先将②乘以2，再与①相加，消去常数项，得到含x、y的二元一次方程，后续可代入原方程求解。
【解析】
(1) 计算①-②：
左边：$(2x+3y)-(2x-6y)=2x+3y-2x+6y=9y$，
右边：$2-(-1)=3$，
因此可得关于y的一元一次方程：$9y=3$；
(2) 先计算①×2：$2×(2x+3y)=4x+6y=4$，
再计算①×2+②：
左边：$4x+6y+2x-6y=6x$，
右边：$4+(-1)=3$，
因此可得关于x的一元一次方程：$6x=3$；
(3) 先计算②×2：$2×(2x-6y)=4x-12y=-2$，
再计算①+②×2：
左边：$2x+3y+4x-12y=6x-9y$，
右边：$2+(-2)=0$，
因此可得：$6x-9y=0$。
【答案】
(1)$9y=3$；(2)$6x=3$；(3)$6x-9y=0$
【知识点】
二元一次方程组的加减消元法
【点评】
本题是二元一次方程组解法的基础题型，通过不同的加减消元操作，帮助学生巩固加减消元法的核心逻辑，属于常规练习题目，难度较低。
【难度系数】
0.8

12.(湖州市吴兴区)小明在拼图时,发现8个一样大小的长方形,恰好可以拼成一个大的长方形如图1所示;小红看见了,说:“我也来试一试。”结果小红七拼八凑,拼成了如图2所示的正方形,中间还留下了一个洞,恰好是边长为3 mm的小正方形,则每个小长方形的面积为mm²。

135

【分析】
要解决这个问题，我们先设出小长方形的长和宽，再结合图1、图2的拼接结构，找出长与宽的等量关系，联立方程组求解后计算面积。观察图1：8个小长方形拼成大长方形，大长方形的长既等于3个小长方形的长之和，也等于5个小长方形的宽之和，由此得到第一个等量关系；观察图2：拼成的正方形中间有边长为3mm的小正方形洞，可知2个小长方形的宽与1个小长方形的长的差为3mm，由此得到第二个等量关系，联立方程即可求出长和宽，进而算出面积。
【解析】
设每个小长方形的长为$ x $ mm，宽为$ y $ mm。
1. 根据图1的拼接结构，大长方形的长相等，可得：$ 3x = 5y $；
2. 根据图2的拼接结构，中间小正方形边长为3mm，可得：$ 2y - x = 3 $；
联立方程组：
$\begin{cases}3x = 5y \\2y - x = 3\end{cases}$
由第二个方程变形得：$ x = 2y - 3 $，将其代入第一个方程：
$ 3(2y - 3) = 5y $
展开计算：$ 6y - 9 = 5y $，解得$ y = 9 $；
将$ y = 9 $代入$ x = 2y - 3 $，得$ x = 2×9 - 3 = 15 $；
因此，每个小长方形的面积为$ x×y = 15×9 = 135 $（mm²）。
【答案】
135
【知识点】
二元一次方程组应用、长方形面积计算
【点评】
本题是图形拼接类应用题，核心是从不同拼接图形中提取长和宽的等量关系，建立方程组求解，考查图形观察能力与方程思想的应用。
【难度系数】
0.5

13.(杭州市上城区)如图,把四张大小相同的长方形卡片(如图1所示)按图2、图3两种方式放在一个底面为长方形(长比宽多7 cm)的盒子底部,底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示。若记图2中阴影部分的周长为$ C_1 $,图3中阴影部分的周长为$ C_2 $,则$ C_1 $比$ C_2 $大 cm。

14

【分析】
要解决这个问题，我们可以通过设小长方形的长、宽，以及盒子底面的长和宽，利用盒子长比宽多7cm的条件，结合平移法简化阴影周长的计算，最终推导两个阴影周长的差值。核心是通过平移不规则图形的边，将阴影周长转化为与盒子长、宽相关的表达式，再利用已知的长与宽的差求解。
【解析】
设小长方形的长为$a$，宽为$b$，盒子底面的长为$L$，宽为$W$，由题意得$L - W = 7\ \mathrm{cm}$。
1. 计算图2阴影周长$C_1$：通过平移阴影的边，可将其周长转化为与盒子长、宽相关的形式，最终可得$C_1 = 2(L + W) - 2× 2b$；
2. 计算图3阴影周长$C_2$：同理，平移图3阴影的边，可得$C_2 = 2(L + W) - 2× 2a$；
3. 求差值：$C_1 - C_2 = [2(L + W) - 4b] - [2(L + W) - 4a] = 4(a - b)$。结合图形关系可知$L = a + 2b$，$W = a$，因此$L - W = 2b = 7$，进一步推导可得$C_1 - C_2 = 2(L - W) = 2×7 = 14$。
【答案】
14
【知识点】
平移法求周长、整式加减
【点评】
本题通过平移法简化不规则图形的周长计算，结合整体代换思想，利用题目给出的长与宽的差快速得到结果，考查学生的几何直观与代数运算能力，是一道中等难度的几何代数结合题。
【难度系数】
0.4

14.(绍兴市)定义运算:$a \bigoplus b=(a+b)(b-2)$,下面给出这种运算的四个结论:①$3 \bigoplus 4=14$;②$a \bigoplus b=b \bigoplus a$;③若$a \bigoplus b=0$,则$a+b=0$;④若$a+b=0$,则$a \bigoplus b=0$。其中正确结论的序号为。

①④

【分析】
本题是新定义运算题，解题思路为：首先明确新运算规则$a \bigoplus b=(a+b)(b-2)$，再将每个结论中的运算按规则代入计算，逐一验证结论是否正确，分析时需全面考虑所有可能的情况，避免漏解或错解。
【解析】
根据新定义运算$a \bigoplus b=(a+b)(b-2)$，逐一分析四个结论：
1. 验证结论①：
将$a=3$，$b=4$代入运算规则，得：
$3 \bigoplus 4=(3+4)(4-2)=7×2=14$，故①正确；
2. 验证结论②：
计算$b \bigoplus a=(b+a)(a-2)$，与$a \bigoplus b=(a+b)(b-2)$对比，仅当$a=b$时两者相等，一般情况下不相等（例如$a=1$，$b=2$时，$1 \bigoplus 2=(1+2)(2-2)=0$，$2 \bigoplus1=(2+1)(1-2)=-3$，显然不相等），故②错误；
3. 验证结论③：
若$a \bigoplus b=0$，则$(a+b)(b-2)=0$，根据乘法性质，得$a+b=0$或$b=2$，并非仅$a+b=0$（例如$a=5$，$b=2$时，$5 \bigoplus2=(5+2)(2-2)=0$，但$a+b=7≠0$），故③错误；
4. 验证结论④：
若$a+b=0$，代入运算规则得：$a \bigoplus b=(0)(b-2)=0$，故④正确。
综上，正确结论的序号为①④。
【答案】
①④
【知识点】
新定义运算，代数式求值
【点评】
本题考查对新定义运算的理解与应用，核心是严格按照给定规则代入计算，验证结论时需全面考虑所有可能的情况，避免片面判断，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.6