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例计算：$\frac{5}{6} - \frac{7}{12} + \frac{9}{20} - \frac{11}{30} + \frac{13}{42}$
思路点拨 常用巧算技巧如“拆”的方法，就是把某些分数“分裂”成两个分数相加或相减的形式，然后相互抵消或合并成一个分数，达到简化运算的目的。
此题是把每个分数拆分成两个分数单位的和：$\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$，$\frac{7}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$，$\frac{9}{20} = \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$，$\frac{11}{30} = \frac{1}{5} + \frac{1}{6}$，$\frac{13}{42} = \frac{1}{6} + \frac{1}{7}$。
答案详解 $\frac{5}{6} - \frac{7}{12} + \frac{9}{20} - \frac{11}{30} + \frac{13}{42}$
$= (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) - (\frac{1}{5} + \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} + \frac{1}{7})$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{7}$
$= \frac{9}{14}$
思路点拨 常用巧算技巧如“拆”的方法，就是把某些分数“分裂”成两个分数相加或相减的形式，然后相互抵消或合并成一个分数，达到简化运算的目的。
此题是把每个分数拆分成两个分数单位的和：$\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3}$，$\frac{7}{12} = \frac{1}{3} + \frac{1}{4}$，$\frac{9}{20} = \frac{1}{4} + \frac{1}{5}$，$\frac{11}{30} = \frac{1}{5} + \frac{1}{6}$，$\frac{13}{42} = \frac{1}{6} + \frac{1}{7}$。
答案详解 $\frac{5}{6} - \frac{7}{12} + \frac{9}{20} - \frac{11}{30} + \frac{13}{42}$
$= (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) - (\frac{1}{5} + \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} + \frac{1}{7})$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{7}$
$= \frac{9}{14}$
答案
$\frac{5}{6} - \frac{7}{12} + \frac{9}{20} - \frac{11}{30} + \frac{13}{42}$
$= (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) - (\frac{1}{5} + \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} + \frac{1}{7})$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{7}$
$= \frac{9}{14}$
$= (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} + \frac{1}{5}) - (\frac{1}{5} + \frac{1}{6}) + (\frac{1}{6} + \frac{1}{7})$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7}$
$= \frac{1}{2} + \frac{1}{7}$
$= \frac{9}{14}$
1. 找规律并计算。
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3+2}{2×3}=\frac{5}{6}$ $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4+3}{3×4}=\frac{7}{12}$ $\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{5+4}{4×5}=\frac{9}{20}$
(1)请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式。（分别写出表示的过程和结果）
$\frac{13}{42}=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_=$
(2)利用所得的规律进行计算。
$\frac{3}{2}-\frac{5}{6}+\frac{7}{12}-\frac{9}{20}+\frac{11}{30}-\frac{13}{42}+\frac{15}{56}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{3+2}{2×3}=\frac{5}{6}$ $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4+3}{3×4}=\frac{7}{12}$ $\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{5+4}{4×5}=\frac{9}{20}$
(1)请在理解上面计算方法的基础上，把下面两个数表示成两个分数的和的形式。（分别写出表示的过程和结果）
$\frac{13}{42}=\_\_\_\_\_\_=\_\_\_\_\_\_=$
$\frac{1}{6}+\frac{1}{7}$
(2)利用所得的规律进行计算。
$\frac{3}{2}-\frac{5}{6}+\frac{7}{12}-\frac{9}{20}+\frac{11}{30}-\frac{13}{42}+\frac{15}{56}$
答案
1.(1) $\frac{7+6}{6×7}$ $\frac{1}{6}+\frac{1}{7}$ $\frac{8+7}{7×8}$ $\frac{1}{7}+\frac{1}{8}$
(2) $1\frac{1}{8}$
(2) $1\frac{1}{8}$
例 不通分，快速计算出下面算式的结果。
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$
思路点拨一个算式里，第一个加数是$\frac{1}{2}$，后面每个加数的分母都是前一个分数分母的2倍，分子都是1，这种算式的结果就等于1减去最后一个分数，即计算结果的分母是最后一个分数的分母，分子比分母少1。也可借助正方形解答此题。
答案详解$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$
思路点拨一个算式里，第一个加数是$\frac{1}{2}$，后面每个加数的分母都是前一个分数分母的2倍，分子都是1，这种算式的结果就等于1减去最后一个分数，即计算结果的分母是最后一个分数的分母，分子比分母少1。也可借助正方形解答此题。
答案详解$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
答案
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
