15.已知一个正数x的两个不同的平方根分别是$2m-3和m-12.$
(1)求m的值;
(2)求$\frac {1}{7}x+1$的立方根.

解：(1)由题意，得 $ 2m-3+m-12=0 $，
$ \therefore 3m=15 $，
$ \therefore m=5 $.
(2)由(1)，得 $ x=(2m-3)^{2}=(2× 5-3)^{2}=49 $，
$ \therefore \frac{1}{7}x+1=\frac{1}{7}× 49+1=7+1=8 $.
$ \because 8 $ 的立方根为 2，
$ \therefore \frac{1}{7}x+1 $ 的立方根为 2.

16.已知$A= 2\sqrt {m^{2}+6m+9}+|3n-6|.$
(1)若$A= 0$,则$m= $,$n= $;
(2)实数m,n的位置如图所示,化简A;

(3)若$m＜\sqrt {44}＜m+1$,且m为整数,n为$\sqrt {3}$的小数部分,求A的值.

解：(1) $ \because A=2\sqrt{m^{2}+6m+9}+|3n-6|=0 $，
$ \therefore m^{2}+6m+9=0 $，$ 3n-6=0 $，
解得 $ m=-3 $，$ n=2 $.
故答案为 $ -3 $，$ 2 $.
(2)由题图可得，$ -3＜m＜-2 $，$ 1＜n＜2 $，
$ \therefore A=2\sqrt{m^{2}+6m+9}+|3n-6| $
$ =2\sqrt{(m+3)^{2}}+|3(n-2)| $
$ =2(m+3)+3(2-n) $
$ =2m+6+6-3n $
$ =2m-3n+12 $.
(3) $ \because m＜\sqrt{44}＜m+1 $，且 $ m $ 为整数，$ 6^{2}＜44＜7^{2} $，
$ \therefore m=6 $.
$ \because n $ 为 $ \sqrt{3} $ 的小数部分，
$ \therefore n=\sqrt{3}-1 $，
$ \therefore A=2\sqrt{m^{2}+6m+9}+|3n-6| $
$ =2\sqrt{(m+3)^{2}}+|3× (\sqrt{3}-1-2)| $
$ =2× 9+3× (3-\sqrt{3}) $
$ =18+9-3\sqrt{3} $
$ =27-3\sqrt{3} $.

17.喜欢探索数学知识的小明遇到一个新定义:对于三个正整数,若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数,则称这三个数为“和谐组合”,其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”,最大的整数称为“最大算术平方根”.例如,1,4,9这三个数,$\sqrt {1×4}= 2,\sqrt {1×9}= 3,\sqrt {4×9}= 6$,其结果分别为2,3,6,都是整数,所以1,4,9三个数称为“和谐组合”,其中“最小算术平方根”是2,“最大算术平方根”是6.
(1)请直接判断3,12,16____“和谐组合”(填“是”或“不是”);
(2)请证明2,8,18这三个数是“和谐组合”,并求出“最小算术平方根”和“最大算术平方根”;
(3)已知4,a,25这三个数是“和谐组合”,且“最大算术平方根”是“最小算术平方根”的5倍,求a的值.

解：(1) $ \because \sqrt{3× 12}=6 $，$ \sqrt{3× 16}=4\sqrt{3} $，$ \sqrt{12× 16}=8\sqrt{3} $，
且 $ 4\sqrt{3} $，$ 8\sqrt{3} $ 不是整数，
$ \therefore 3 $，$ 12 $，$ 16 $ 不是“和谐组合”.故答案为不是.
(2)证明： $ \because \sqrt{2× 8}=4 $，$ \sqrt{2× 18}=6 $，$ \sqrt{8× 18}=12 $，
$ \therefore 2 $，$ 8 $，$ 18 $ 这三个数是“和谐组合”，
$ \therefore $“最小算术平方根”是 4，“最大算术平方根”是 12.
(3)分情况讨论：①当 $ 4\leqslant a\leqslant 25 $ 时，$ \sqrt{25a}=5\sqrt{4a} $，解得 $ a=0 $（舍去）；
②当 $ a\leqslant 4＜25 $ 时，$ \sqrt{4× 25}=5\sqrt{4a} $，解得 $ a=1 $，经检验符合题意；
③当 $ 4＜25\leqslant a $ 时，$ \sqrt{25a}=5\sqrt{4× 25} $，解得 $ a=100 $，经检验符合题意.
综上所述，$ a $ 的值为 1 或 100.