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22.(8分)(2025·长春校级月考)如图,半径为1个单位长度的圆上有一点$A$与数轴上-1这个点重合。
(1)若圆从-1点沿数轴向右无滑动滚动一周,圆上的点$A恰好与点B$重合,设点$B对应的实数是b$,则$b= $______。(结果保留$\pi$)
(2)求$-(b-\sqrt{9})+\pi$的平方根。(结果保留$\pi$)
(3)若圆从数轴上点$A$开始无滑动滚动,向右滚动的周数记为正数,向左滚动的周数记为负数,依次运动的情况记录如下：+3,-4,+5,-6。当圆结束运动时,点$A$运动的路程共有多少？此时点$A$所表示的数是多少？(结果保留$\pi$)
(1)若圆从-1点沿数轴向右无滑动滚动一周,圆上的点$A恰好与点B$重合,设点$B对应的实数是b$,则$b= $______。(结果保留$\pi$)
(2)求$-(b-\sqrt{9})+\pi$的平方根。(结果保留$\pi$)
(3)若圆从数轴上点$A$开始无滑动滚动,向右滚动的周数记为正数,向左滚动的周数记为负数,依次运动的情况记录如下：+3,-4,+5,-6。当圆结束运动时,点$A$运动的路程共有多少？此时点$A$所表示的数是多少？(结果保留$\pi$)
答案
22. (1)$-1 + 2\pi$
(2)由(1)可得,$b = -1 + 2\pi$,∴$-(b-\sqrt{9})+\pi=-(-1 + 2\pi - 3)+\pi = 1 - 2\pi + 3+\pi = 4-\pi$,∴$4-\pi$的平方根为$\pm\sqrt{4-\pi}$.
(3)由题意得,点A的运动路程为$\vert+3\vert+\vert-4\vert+\vert+5\vert+\vert-6\vert=18$(周),即$18×2\pi = 36\pi$(个)单位长度.∵$+3 - 4 + 5 - 6 = -2$,∴点A向左无滑动滚动两周,即$4\pi$个单位长度,∴此时点A表示的数为$-1 - 4\pi$.
(2)由(1)可得,$b = -1 + 2\pi$,∴$-(b-\sqrt{9})+\pi=-(-1 + 2\pi - 3)+\pi = 1 - 2\pi + 3+\pi = 4-\pi$,∴$4-\pi$的平方根为$\pm\sqrt{4-\pi}$.
(3)由题意得,点A的运动路程为$\vert+3\vert+\vert-4\vert+\vert+5\vert+\vert-6\vert=18$(周),即$18×2\pi = 36\pi$(个)单位长度.∵$+3 - 4 + 5 - 6 = -2$,∴点A向左无滑动滚动两周,即$4\pi$个单位长度,∴此时点A表示的数为$-1 - 4\pi$.
23.(8分)【初步感知】
(1)直接写出计算结果。
①$\sqrt{1^3}= $______；
②$\sqrt{1^3 + 2^3}= $______；
③$\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3}= $______；
④$\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3}= $______；…$$。
【深入探究】观察下列等式。
①$1 + 2= \frac{(1 + 2)×2}{2}$；
②$1 + 2 + 3= \frac{(1 + 3)×3}{2}$；
③$1 + 2 + 3 + 4= \frac{(1 + 4)×4}{2}$；
④$1 + 2 + 3 + 4 + 5= \frac{(1 + 5)×5}{2}$；…$$。
根据以上等式的规律,在横线上填写适当内容。
(2)______$=\frac{(1 + 2025)×2025}{2}$。
(3)$1 + 2 + 3+…+n+(n + 1)= $______。
【拓展应用】计算：
(4)$\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3+…+99^3 + 100^3}$。
(5)$11^3 + 12^3 + 13^3+…+19^3 + 20^3$。
(1)直接写出计算结果。
①$\sqrt{1^3}= $______；
②$\sqrt{1^3 + 2^3}= $______；
③$\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3}= $______；
④$\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3}= $______；…$$。
【深入探究】观察下列等式。
①$1 + 2= \frac{(1 + 2)×2}{2}$；
②$1 + 2 + 3= \frac{(1 + 3)×3}{2}$；
③$1 + 2 + 3 + 4= \frac{(1 + 4)×4}{2}$；
④$1 + 2 + 3 + 4 + 5= \frac{(1 + 5)×5}{2}$；…$$。
根据以上等式的规律,在横线上填写适当内容。
(2)______$=\frac{(1 + 2025)×2025}{2}$。
(3)$1 + 2 + 3+…+n+(n + 1)= $______。
【拓展应用】计算：
(4)$\sqrt{1^3 + 2^3 + 3^3+…+99^3 + 100^3}$。
(5)$11^3 + 12^3 + 13^3+…+19^3 + 20^3$。
答案
23. (1)①1 ②3 ③6 ④10 (2)$1 + 2 + 3+\cdots+2025$
(3)$\frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$
(4)原式$=1 + 2 + 3+\cdots+100=\frac{(100 + 1)×100}{2}=5050$.
(5)原式$=(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+19^{3}+20^{3})-(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+9^{3}+10^{3})=(\sqrt{1^{3}+2^{3}+\cdots+20^{3}})^{2}-(\sqrt{1^{3}+2^{3}+\cdots+10^{3}})^{2}=(1 + 2+\cdots+20)^{2}-(1 + 2+\cdots+10)^{2}=(\frac{21×20}{2})^{2}-(\frac{11×10}{2})^{2}=210^{2}-55^{2}=41075$.
(3)$\frac{(n + 1)(n + 2)}{2}$
(4)原式$=1 + 2 + 3+\cdots+100=\frac{(100 + 1)×100}{2}=5050$.
(5)原式$=(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+19^{3}+20^{3})-(1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+9^{3}+10^{3})=(\sqrt{1^{3}+2^{3}+\cdots+20^{3}})^{2}-(\sqrt{1^{3}+2^{3}+\cdots+10^{3}})^{2}=(1 + 2+\cdots+20)^{2}-(1 + 2+\cdots+10)^{2}=(\frac{21×20}{2})^{2}-(\frac{11×10}{2})^{2}=210^{2}-55^{2}=41075$.
24.(9分)新题型 新定义 新定义：若无理数$\sqrt{T}$的被开方数($T$为正整数)满足$n^2＜T＜(n + 1)^2$(其中$n$为正整数),则称无理数$\sqrt{T}$的“青一区间”为$(n,n + 1)$；同理规定无理数$-\sqrt{T}$的“青一区间”为$(-n - 1,-n)$。例如：因为$1^2＜2＜2^2$,所以$\sqrt{2}$的“青一区间”为$(1,2)$,$-\sqrt{2}$的“青一区间”为$(-2,-1)$,请回答下列问题：
(1)$\sqrt{17}$的“青一区间”为______；$-\sqrt{23}$的“青一区间”为______。
(2)若无理数$\sqrt{a}$($a$为正整数)的“青一区间”为$(2,3)$,$\sqrt{a + 3}$的“青一区间”为$(3,4)$,求$\sqrt[3]{a + 1}$的值。
(3)实数$x,y$,满足关系式：$\sqrt{x - 3}+|2025+(y - 4)^2|= 2025$,求$\sqrt{xy}$的“青一区间”。
(1)$\sqrt{17}$的“青一区间”为______；$-\sqrt{23}$的“青一区间”为______。
(2)若无理数$\sqrt{a}$($a$为正整数)的“青一区间”为$(2,3)$,$\sqrt{a + 3}$的“青一区间”为$(3,4)$,求$\sqrt[3]{a + 1}$的值。
(3)实数$x,y$,满足关系式：$\sqrt{x - 3}+|2025+(y - 4)^2|= 2025$,求$\sqrt{xy}$的“青一区间”。
答案
24. (1)$(4,5)$ $(-5,-4)$
(2)∵无理数$\sqrt{a}$的“青一区间”为$(2,3)$,∴$2＜\sqrt{a}＜3$,∴$2^{2}＜a＜3^{2}$,即$4＜a＜9$.∵无理数$\sqrt{a + 3}$的“青一区间”为$(3,4)$,∴$3＜\sqrt{a + 3}＜4$,∴$3^{2}＜a + 3＜4^{2}$,即$9＜a + 3＜16$,∴$6＜a＜13$,∴$6＜a＜9$.∵a为正整数,∴$a = 7$或$a = 8$,当$a = 7$时,$\sqrt[3]{a + 1}=\sqrt[3]{7 + 1}=\sqrt[3]{8}=2$;当$a = 8$时,$\sqrt[3]{a + 1}=\sqrt[3]{8 + 1}=\sqrt[3]{9}$,∴$\sqrt[3]{a + 1}$的值为2或$\sqrt[3]{9}$.
(3)∵$\sqrt{x - 3}+|2025+(y - 4)^{2}|=2025$,∴$\sqrt{x - 3}+2025+(y - 4)^{2}=2025$,即$\sqrt{x - 3}+(y - 4)^{2}=0$,∴$x = 3,y = 4$,∴$\sqrt{xy}=\sqrt{12}$.∵$3^{2}＜12＜4^{2}$,∴$\sqrt{xy}$的“青一区间”为$(3,4)$.
(2)∵无理数$\sqrt{a}$的“青一区间”为$(2,3)$,∴$2＜\sqrt{a}＜3$,∴$2^{2}＜a＜3^{2}$,即$4＜a＜9$.∵无理数$\sqrt{a + 3}$的“青一区间”为$(3,4)$,∴$3＜\sqrt{a + 3}＜4$,∴$3^{2}＜a + 3＜4^{2}$,即$9＜a + 3＜16$,∴$6＜a＜13$,∴$6＜a＜9$.∵a为正整数,∴$a = 7$或$a = 8$,当$a = 7$时,$\sqrt[3]{a + 1}=\sqrt[3]{7 + 1}=\sqrt[3]{8}=2$;当$a = 8$时,$\sqrt[3]{a + 1}=\sqrt[3]{8 + 1}=\sqrt[3]{9}$,∴$\sqrt[3]{a + 1}$的值为2或$\sqrt[3]{9}$.
(3)∵$\sqrt{x - 3}+|2025+(y - 4)^{2}|=2025$,∴$\sqrt{x - 3}+2025+(y - 4)^{2}=2025$,即$\sqrt{x - 3}+(y - 4)^{2}=0$,∴$x = 3,y = 4$,∴$\sqrt{xy}=\sqrt{12}$.∵$3^{2}＜12＜4^{2}$,∴$\sqrt{xy}$的“青一区间”为$(3,4)$.
