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【典例3】已知函数$f(x)$是奇函数,$g(x)$是偶函数,且它们的定义域均为$\{ x|x≠\pm 1\} $。若$f(x)+g(x)= \frac {1}{x-1}$,求$f(x),g(x)$的解析式。
答案
解题指导 将等式中的$x换为-x$,再根据函数的奇偶性进行化简,即可组成关于$f(x)和g(x)$的方程组,进而求解。
答案 解：$\because f(x)$是奇函数,$g(x)$是偶函数,
$\therefore由f(x)+g(x)= \frac {1}{x-1}$,得$f(-x)+g(-x)$
$=-f(x)+g(x)= -\frac {1}{x+1}$。
联立$\left\{\begin{array}{l} f(x)+g(x)= \frac {1}{x-1},\\ g(x)-f(x)= -\frac {1}{x+1},\end{array}\right. $
得$f(x)= \frac {x}{x^{2}-1}$,$g(x)= \frac {1}{x^{2}-1}$。
答案 解：$\because f(x)$是奇函数,$g(x)$是偶函数,
$\therefore由f(x)+g(x)= \frac {1}{x-1}$,得$f(-x)+g(-x)$
$=-f(x)+g(x)= -\frac {1}{x+1}$。
联立$\left\{\begin{array}{l} f(x)+g(x)= \frac {1}{x-1},\\ g(x)-f(x)= -\frac {1}{x+1},\end{array}\right. $
得$f(x)= \frac {x}{x^{2}-1}$,$g(x)= \frac {1}{x^{2}-1}$。
【变式2】(1)已知函数$f(x)是定义在\mathbf{R}$上的偶函数,且当$x≥0$时,$f(x)= x^{2}-3x$,则当$x＜0$时,$f(x)$的解析式为____；
答案
(1)$f(x)=x^{2}+3x$ (2)$f(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}$ $g(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$ (1)当$x\lt0$时，$-x\gt0$。根据题意，得$f(-x)=(-x)^{2}-3\cdot(-x)=x^{2}+3x$。
又函数$f(x)$为偶函数，$\therefore f(x)=f(-x)=x^{2}+3x$，
$\therefore$当$x\lt0$时，$f(x)=x^{2}+3x$。
又函数$f(x)$为偶函数，$\therefore f(x)=f(-x)=x^{2}+3x$，
$\therefore$当$x\lt0$时，$f(x)=x^{2}+3x$。
(2)已知定义在$\mathbf{R}上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足\frac {1}{2}f(x)-g(x)= \frac {x-1}{x^{2}+1}$,则$f(x)$的解析式为____,$g(x)$的解析式为____。
答案
(2)$\because$奇函数$f(x)$和偶函数$g(x)$满足$\frac{1}{2}f(x)-g(x)=\frac{x - 1}{x^{2}+1}$，①
$\therefore\frac{1}{2}f(-x)-g(-x)=-\frac{1}{2}f(x)-g(x)=\frac{-x - 1}{x^{2}+1}$。
化简，得$\frac{1}{2}f(x)+g(x)=\frac{x + 1}{x^{2}+1}$。②
联立①②，得$f(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}$，$g(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$。
$\therefore\frac{1}{2}f(-x)-g(-x)=-\frac{1}{2}f(x)-g(x)=\frac{-x - 1}{x^{2}+1}$。
化简，得$\frac{1}{2}f(x)+g(x)=\frac{x + 1}{x^{2}+1}$。②
联立①②，得$f(x)=\frac{2x}{x^{2}+1}$，$g(x)=\frac{1}{x^{2}+1}$。
1.已知$f(x)是定义在\mathbf{R}$上的奇函数,且当$x＞0$时,$f(x)= x+2$,则当$x＜0$时,$f(x)= $()
A.$-x-2$
B.$-x+2$
C.$x-2$
D.$x+2$
A.$-x-2$
B.$-x+2$
C.$x-2$
D.$x+2$
答案
C 因为$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$f(x)=-f(-x)$。因为当$x\gt0$时，$f(x)=x + 2$，所以当$x\lt0$时，$-x\gt0$，$f(x)=-f(-x)=-(-x + 2)=x - 2$。
2.设$f(x)是定义在\mathbf{R}$上的函数,且对于任意$x,y∈\mathbf{R}$,都满足$f(xy)= f(x)+f(y)$,则$f(x)$的奇偶性为()
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.既是奇函数又是偶函数
答案
D 已知$f(xy)=f(x)+f(y)$。令$x = y = 0$，得$f(0)=0$。令$y = 0$，则对任意$x\in\mathbf{R}$，$f(x)=0$，且同时满足$f(-x)=f(x)$，$f(-x)=-f(x)$，所以函数$f(x)$既是奇函数又是偶函数。
3.(多选)已知$f(x)是定义在\mathbf{R}$上的奇函数,当$x＞0$时,$f(x)= x^{2}+x+5$,则()
A.$f(0)= 0$
B.函数$g(x)= xf(x)$为奇函数
C.$f(-1)= -7$
D.当$x＜0$时,$f(x)= -x^{2}+x-5$
A.$f(0)= 0$
B.函数$g(x)= xf(x)$为奇函数
C.$f(-1)= -7$
D.当$x＜0$时,$f(x)= -x^{2}+x-5$
答案
ACD 对于A，因为$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的奇函数，所以$f(0)=0$，故该选项正确；对于B，由$g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x)$，得$g(x)$为偶函数，故该选项错误；对于C，$f(-1)=-f(1)=-7$，故该选项正确；对于D，当$x\lt0$时，$-x\gt0$，$f(x)=-f(-x)=-x^{2}+x - 5$，故该选项正确。
