4.设函数$f(x)是定义在\mathbf{R}$上的偶函数,当$x≥0$时,$f(x)= x^{2}-2x-3$,则$f(x)$的解析式为____。

$f(x)=\begin{cases}x^{2}-2x - 3,x\geq0,\\x^{2}+2x - 3,x\lt0\end{cases}$ 已知函数$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的偶函数，当$x\geq0$时，$f(x)=x^{2}-2x - 3$，
所以当$x\lt0$时，$-x\gt0$，$f(-x)=(-x)^{2}-2\cdot(-x)-3=x^{2}+2x - 3=f(x)$，所以$f(x)$的解析式为$f(x)=\begin{cases}x^{2}-2x - 3,x\geq0,\\x^{2}+2x - 3,x\lt0.\end{cases}$

5.已知定义在$(-∞,0)\cup (0,+∞)上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)= 2x^{2}+x-\frac {1}{x}$,则$\frac {f(-2)}{g(2)}= $____。
6.已知函数$f(x)是定义在\mathbf{R}$上的奇函数,且当$x≤0$时,$f(x)= x^{2}+2x$。函数$f(x)在y$轴及其左侧的图象如图所示。
(1)请将函数$f(x)$的图象补充完整；
(2)根据(1)中图象写出函数$f(x)$的单调递增区间及值域；
(3)根据(1)中图象写出使$f(x)＜0的x$的取值范围；
(4)求函数$f(x)$的解析式。

$-\frac{3}{16}$ $\because f(x)+g(x)=2x^{2}+x-\frac{1}{x}$，①
$\therefore f(-x)+g(-x)=2x^{2}-x+\frac{1}{x}$。
又$\because$函数$f(x)$为奇函数，$g(x)$为偶函数，
$\therefore - f(x)+g(x)=2x^{2}-x+\frac{1}{x}$。②
联立①②，得$g(x)=2x^{2}$，$f(x)=x-\frac{1}{x}$，
$\therefore g(2)=8$，$f(-2)=-2+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$，
$\therefore\frac{f(-2)}{g(2)}=-\frac{3}{16}$。

7.已知定义在$\mathbf{R}上的函数f(x)$是偶函数,$g(x)$是奇函数,且$f(x)+g(x)= x^{2}-2x-3$。
(1)求函数$f(x)与g(x)$的解析式；
(2)求函数$f(x)+g(x)在区间[0,a]$上的最小值。

解：(1)因为$f(x)+g(x)=x^{2}-2x - 3$，①
所以$f(-x)+g(-x)=x^{2}+2x - 3$。
因为$f(x)$是偶函数，$g(x)$是奇函数，
所以$f(x)-g(x)=x^{2}+2x - 3$。②
联立①②，得$f(x)=x^{2}-3$，$g(x)=-2x$。
(2)由题意，得$f(x)+g(x)=x^{2}-2x - 3=(x - 1)^{2}-4$。
当$0\lt a\leq1$时，$f(x)+g(x)$在区间$[0,a]$上单调递减，其最小值为$f(a)+g(a)=a^{2}-2a - 3$；当$a\gt1$时，$f(x)+g(x)$在区间$[0,1]$上单调递减，在区间$[1,a]$上单调递增，其最小值为$f(1)+g(1)=-4$。
综上，当$0\lt a\leq1$时，$f(x)+g(x)$在区间$[0,a]$上的最小值为$a^{2}-2a - 3$；当$a\gt1$时，$f(x)+g(x)$在区间$[0,a]$上的最小值为$-4$。

8.已知偶函数$f(x)与奇函数g(x)的定义域都是[-2,2]$,它们在$[0,2]$上的图象如图所示。若关于$x的不等式f(x)\cdot g(x)＞0$成立,则$x$的取值范围为()

A.$(-2,-1)\cup (0,1)$
B.$(-1,0)\cup (0,1)$
C.$(-1,0)\cup (1,2)$
D.$(-2,-1)\cup (1,2)$

A 因为不等式$f(x)\cdot g(x)\gt0$，
所以当$f(x)\gt0$，$g(x)\gt0$时，$0\lt x\lt1$；
当$f(x)\lt0$，$g(x)\lt0$时，$-2\lt x\lt-1$。
综上，$x$的取值范围为$(-2,-1)\cup(0,1)$。

9.(重庆卷)若定义在$\mathbf{R}上的函数f(x)$满足：对任意$x_{1},x_{2}∈\mathbf{R}$,都有$f(x_{1}+x_{2})= f(x_{1})+f(x_{2})+1$,则下列说法一定正确的是()
A.$f(x)$为奇函数
B.$f(x)$为偶函数
C.$f(x)+1$为奇函数
D.$f(x)+1$为偶函数

C 令$x_{1}=x_{2}=0$，则$f(0)=f(0)+f(0)+1$，
$\therefore f(0)=-1$。
令$x_{1}=x$，$x_{2}=-x$，则$f(0)=f(x)+f(-x)+1$，
$\therefore f(x)+1+f(-x)+1=0$，
即$f(x)+1=-[f(-x)+1]$，$\therefore f(x)+1$为奇函数。

10.已知函数$f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)= f(x)+f(y)$,当$x＞0$时,$f(x)＜0$,且$f(1)= -2$。
(1)判断$f(x)$的奇偶性,并说明理由；
(2)判断函数的单调性,并求出$f(x)在区间[-3,3]$上的最大值。
(提示：(1)分别令$x= y= 0$,$y= -x$；(2)任取$x_{1},x_{2}∈\mathbf{R}$,且$x_{1}＜x_{2}$,比较$f(x_{2})与f(x_{1})$的大小,即比较$f(x_{2})与-f(-x_{1})$的大小,从而确定$f(x)$的单调性进行求解)

解：(1)$f(x)$为奇函数。理由如下：
取$x = y = 0$，则$f(0 + 0)=2f(0)$，$\therefore f(0)=0$。
取$y=-x$，则$f(x - x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0$，
$\therefore f(-x)=-f(x)$，且对任意$x\in\mathbf{R}$恒成立，
$\therefore f(x)$为奇函数。
(2)$f(x)$为减函数。任取$x_{1}$，$x_{2}\in\mathbf{R}$，且$x_{1}\lt x_{2}$，
则$x_{2}-x_{1}\gt0$，$f(x_{2})+f(-x_{1})=f(x_{2}-x_{1})\lt0$，
$\therefore f(x_{2})\lt - f(-x_{1})$。
又$f(x)$为奇函数，$\therefore f(x_{1})\gt f(x_{2})$。
故$f(x)$是定义在$\mathbf{R}$上的减函数。
$\because x\in[-3,3]$，$\therefore f(x)\leq f(-3)$。
$\because f(3)=3f(1)=-2\times3=-6$，$\therefore f(-3)=-f(3)=6$，
$\therefore f(x)$在区间$[-3,3]$上的最大值为$6$。