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【典例1】已知 $ a ＞ 0, b ＞ 0, a + b = 1 $,求证:
(1) $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \geq \frac { 1 } { 2 } $；
(2) (一题多解) $ \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } + \frac { 1 } { a b } \geq 8 $。
(1) $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \geq \frac { 1 } { 2 } $；
(2) (一题多解) $ \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } + \frac { 1 } { a b } \geq 8 $。
答案
解题指导 (1) 第1步:由 $ a + b = 1, a + b \geq 2 \sqrt { a b } $,求得 $ a b $ 的取值范围。
第2步:化简 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = ( a + b ) ^ { 2 } - 2 a b = 1 - 2 a b $,根据上述 $ a b $ 的取值范围求解。
(2) 方法1:将 $ a + b = 1 $ 代入 $ \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } + \frac { 1 } { a b } $,化简即可。
方法2:将 $ \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } + \frac { 1 } { a b } $ 通分,并将 $ a + b = 1 $ 代入,即将代数式化为只含 $ a b $ 项的式子,进而根据 $ a b $ 的取值范围求解。
答案 证明:(1) 因为 $ a ＞ 0, b ＞ 0, a + b = 1 $,
$ \sqrt { a b } \leq \frac { a + b } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } $ (当且仅当 $ a = b = \frac { 1 } { 2 } $ 时,等号成立),所以 $ a b \leq \frac { 1 } { 4 } $,所以 $ - 2 a b \geq - \frac { 1 } { 2 } $,所以 $ 1 - 2 a b \geq \frac { 1 } { 2 } $。
又因为 $ ( a + b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } = 1 $,
所以 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 1 - 2 a b \geq \frac { 1 } { 2 } $。
(2) (一题多解) 方法1:因为 $ a ＞ 0, b ＞ 0, a + b = 1 $,所以 $ \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } + \frac { 1 } { a b } = \frac { a + b } { a } + \frac { a + b } { b } + \frac { a + b } { a b } = 2 + \frac { b } { a } + \frac { a } { b } + \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } = 2 + \frac { b } { a } + \frac { a } { b } + \frac { a + b } { a } + \frac { a + b } { b } = 2 \left( \frac { b } { a } + \frac { a } { b } \right) + 4 \geq 2 × 2 \sqrt { \frac { b } { a } \cdot \frac { a } { b } } + 4 = 8 $,当且仅当 $ \frac { b } { a } = \frac { a } { b } $,即 $ a = b = \frac { 1 } { 2 } $ 时,等号成立,所以 $ \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } + \frac { 1 } { a b } \geq 8 $。
方法2:由 $ a + b = 1 $,得 $ a b \leq \frac { 1 } { 4 } $,当且仅当 $ a = b = \frac { 1 } { 2 } $ 时,等号成立,所以 $ \frac { 1 } { a b } \geq 4 $,所以 $ \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } + \frac { 1 } { a b } = \frac { a + b + 1 } { a b } = \frac { 2 } { a b } \geq 8 $。
第2步:化简 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = ( a + b ) ^ { 2 } - 2 a b = 1 - 2 a b $,根据上述 $ a b $ 的取值范围求解。
(2) 方法1:将 $ a + b = 1 $ 代入 $ \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } + \frac { 1 } { a b } $,化简即可。
方法2:将 $ \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } + \frac { 1 } { a b } $ 通分,并将 $ a + b = 1 $ 代入,即将代数式化为只含 $ a b $ 项的式子,进而根据 $ a b $ 的取值范围求解。
答案 证明:(1) 因为 $ a ＞ 0, b ＞ 0, a + b = 1 $,
$ \sqrt { a b } \leq \frac { a + b } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } $ (当且仅当 $ a = b = \frac { 1 } { 2 } $ 时,等号成立),所以 $ a b \leq \frac { 1 } { 4 } $,所以 $ - 2 a b \geq - \frac { 1 } { 2 } $,所以 $ 1 - 2 a b \geq \frac { 1 } { 2 } $。
又因为 $ ( a + b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 } = 1 $,
所以 $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 1 - 2 a b \geq \frac { 1 } { 2 } $。
(2) (一题多解) 方法1:因为 $ a ＞ 0, b ＞ 0, a + b = 1 $,所以 $ \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } + \frac { 1 } { a b } = \frac { a + b } { a } + \frac { a + b } { b } + \frac { a + b } { a b } = 2 + \frac { b } { a } + \frac { a } { b } + \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } = 2 + \frac { b } { a } + \frac { a } { b } + \frac { a + b } { a } + \frac { a + b } { b } = 2 \left( \frac { b } { a } + \frac { a } { b } \right) + 4 \geq 2 × 2 \sqrt { \frac { b } { a } \cdot \frac { a } { b } } + 4 = 8 $,当且仅当 $ \frac { b } { a } = \frac { a } { b } $,即 $ a = b = \frac { 1 } { 2 } $ 时,等号成立,所以 $ \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } + \frac { 1 } { a b } \geq 8 $。
方法2:由 $ a + b = 1 $,得 $ a b \leq \frac { 1 } { 4 } $,当且仅当 $ a = b = \frac { 1 } { 2 } $ 时,等号成立,所以 $ \frac { 1 } { a b } \geq 4 $,所以 $ \frac { 1 } { a } + \frac { 1 } { b } + \frac { 1 } { a b } = \frac { a + b + 1 } { a b } = \frac { 2 } { a b } \geq 8 $。
【变式1】(1) 已知 $ a, b $ 是正实数,求证: $ \frac { a ^ { 2 } } { b } + \frac { b ^ { 2 } } { a } \geq a + b $；
答案
证明：(1)因为 $ a, b $ 是正实数，所以 $ \frac{a^{2}}{b}+b \geq 2 a, \frac{b^{2}}{a}+a \geq 2 b $（当且仅当 $ \frac{a^{2}}{b}=b, \frac{b^{2}}{a}=a $，即 $ a=b $ 时，等号成立），所以 $ \frac{a^{2}}{b}+b+\frac{b^{2}}{a}+a \geq 2 a+2 b $，即 $ \frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{a} \geq a+b $.
(2) 已知 $ a ＞ b, a b = 1 $,求证: $ a ^ { 2 } + b ^ { 2 } \geq 2 \sqrt { 2 } ( a - b ) $。
答案
(2) $ \frac{a^{2}+b^{2}}{a-b}=\frac{(a-b)^{2}+2 a b}{a-b}=\frac{(a-b)^{2}+2}{a-b}=a-b+\frac{2}{a-b} $. 因为 $ a＞b $，所以 $ a-b＞0 $，所以 $ a-b+\frac{2}{a-b} \geq 2 \sqrt{(a-b) \cdot \frac{2}{a-b}}=2 \sqrt{2} $（当且仅当 $ a-b=\frac{2}{a-b} $，即 $ a-b=\sqrt{2} $ 时，等号成立），所以 $ \frac{a^{2}+b^{2}}{a-b} \geq 2 \sqrt{2} $，即 $ a^{2}+b^{2} \geq 2 \sqrt{2}(a-b) $.
