登录
【学以致用】(1) 下列命题正确的是 ()
A. 当 $ x ＞ 1 $ 时,$ x + \frac { 1 } { x } $ 的最小值为 2
B. 当 $ x ＜ 0 $ 时,$ x + \frac { 1 } { x } $ 的最大值为 -2
C. 当 $ 0 ＜ x ＜ 1 $ 时,$ \sqrt { x } + \frac { 1 } { \sqrt { x } } $ 的最小值为 2
D. 当 $ x ＞ 2 $ 时,$ \sqrt { x } + \frac { 2 } { \sqrt { x } } $ 的最小值为 $ 2 \sqrt { 2 } $
(2) 若 $ 0 ＜ x ＜ 8 $,求 $ \sqrt { x ( 8 - x ) } $ 的最大值。
A. 当 $ x ＞ 1 $ 时,$ x + \frac { 1 } { x } $ 的最小值为 2
B. 当 $ x ＜ 0 $ 时,$ x + \frac { 1 } { x } $ 的最大值为 -2
C. 当 $ 0 ＜ x ＜ 1 $ 时,$ \sqrt { x } + \frac { 1 } { \sqrt { x } } $ 的最小值为 2
D. 当 $ x ＞ 2 $ 时,$ \sqrt { x } + \frac { 2 } { \sqrt { x } } $ 的最小值为 $ 2 \sqrt { 2 } $
(2) 若 $ 0 ＜ x ＜ 8 $,求 $ \sqrt { x ( 8 - x ) } $ 的最大值。
答案
解：(1)因为 $ x+\frac{1}{x} \geq 2 \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}=2 $，当且仅当 $ x=\frac{1}{x} $，即 $ x=1 $ 时，取得最小值 2，与 $ x＞1 $ 相矛盾，故 A 错误；当 $ x＜0 $ 时， $ x+\frac{1}{x}=-\left[(-x)+\left(-\frac{1}{x}\right)\right] \leq-2 \sqrt{(-x) \cdot\left(-\frac{1}{x}\right)}=-2 $，当且仅当 $ -x=-\frac{1}{x} $，即 $ x=-1 $ 时，取得最大值 -2，故 B 正确；因为 $ \sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}} \geq 2 \sqrt{\sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}}}=2 $，当且仅当 $ \sqrt{x}=\frac{1}{\sqrt{x}} $，即 $ x=1 $ 时，取得最小值 2，与 $ 0＜x＜1 $ 相矛盾，故 C 错误； $ \sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}} \geq 2 \sqrt{\sqrt{x} \cdot \frac{2}{\sqrt{x}}}=2 \sqrt{2} $，当且仅当 $ \sqrt{x}=\frac{2}{\sqrt{x}} $，即 $ x=2 $ 时，取得最小值 $ 2 \sqrt{2} $，与 $ x＞2 $ 相矛盾，故 D 错误. 故选 B. (2)由 $ 0＜x＜8 $，得 $ 8-x＞0 $，则 $ \sqrt{x(8-x)} \leq \frac{x+(8-x)}{2}=4 $，当且仅当 $ x=8-x $，即 $ x=4 $ 时，等号成立，所以 $ \sqrt{x(8-x)} $ 的最大值为 4.
【反思总结】注意基本不等式的前提为两个正数，若为负数，则需要构造成正数. 例如，当 $ a＞0 $ 时， $ a+\frac{1}{a} \geq 2 $，当且仅当 $ a=\frac{1}{a} $，即 $ a=1 $ 时，等号成立；当 $ a＜0 $ 时， $ a+\frac{1}{a}=-\left[(-a)+\left(-\frac{1}{a}\right)\right] \leq-2 $，当且仅当 $ -a=-\frac{1}{a} $，即 $ a=-1 $ 时，等号成立.
【反思总结】注意基本不等式的前提为两个正数，若为负数，则需要构造成正数. 例如，当 $ a＞0 $ 时， $ a+\frac{1}{a} \geq 2 $，当且仅当 $ a=\frac{1}{a} $，即 $ a=1 $ 时，等号成立；当 $ a＜0 $ 时， $ a+\frac{1}{a}=-\left[(-a)+\left(-\frac{1}{a}\right)\right] \leq-2 $，当且仅当 $ -a=-\frac{1}{a} $，即 $ a=-1 $ 时，等号成立.
