勾股定理
题设：在$Rt\triangle ABC$中，两直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$，
结论：________
勾股定理的逆定理
题设：在$\triangle ABC$中，如果三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，结论：________

【解析】：1. 勾股定理是指在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。已知在$Rt\triangle ABC$中，两直角边长分别为$a$，$b$，斜边长为$c$，所以结论是$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
2. 勾股定理的逆定理是如果一个三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，那么这个三角形是直角三角形。已知在$\triangle ABC$中，三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，所以结论是$\triangle ABC$是直角三角形。
【答案】：1.$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 2.$\triangle ABC$是直角三角形

1. 在平面直角坐标系中，点$P(2,-3)$到原点的距离是（）
A. $\sqrt{5}$
B. $\sqrt{11}$
C. $\sqrt{13}$
D. $2$

C

2. 活动探究：我们知道，已知两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等. 如已知$\triangle ABC$中，$\angle A = 30^{\circ}$，$AC = 3$，$\angle A$所对的边为$\sqrt{3}$，满足已知条件的三角形有两个（我们发现其中如图17-1的$\triangle ABC$是一个直角三角形），则满足已知条件的三角形的第三边长为（）

A. $2\sqrt{3}$
B. $2\sqrt{3}-3$
C. $2\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$
D. $2\sqrt{3}$或$2\sqrt{3}-3$

C 提示:如图,CD = CB,作CH⊥AB于点H,∴ DH = BH.∵ ∠A = 30°,∴ CH = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{3}{2}$,AH = $\sqrt{3}$CH = $\frac{3}{2}\sqrt{3}$.在Rt△CBH中,由勾股定理,得BH = $\sqrt{BC^{2} - CH^{2}} = \sqrt{3 - \frac{9}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,∴ AB = AH + BH = $\frac{3\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$,AD = AH - DH = $\frac{3\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.故满足已知条件的三角形的第三边长为$2\sqrt{3}$或$\sqrt{3}$.

3. 如图17-2，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AD$平分$\angle BAC$与$BC$相交于点$D$. 若$BD = 4$，$CD = 2$，则$AB$的长是________.

$4\sqrt{3}$