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4. 利用分式方程解应用题的一般步骤有哪些？请把它与前面学过的列整式方程解应用题的一般步骤相比较，看看它们之间有何异同.
答案
解：
利用分式方程解应用题的一般步骤如下：
1. 审：审题，明确已知量、未知量，找出题目中的等量关系；
2. 设：合理设出未知数，标注单位名称；
3. 列：根据等量关系列出分式方程；
4. 解：求解所列的分式方程；
5. 验：进行双重检验，先检验所得的根是否为原分式方程的增根（即是否使原方程分母为0），再检验该根是否符合实际问题的意义；
6. 答：写出符合题意的答案，注明单位。
二者的相同点：
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的核心思路一致，基本环节都包含审题找等量关系、设未知数、列方程、解方程、验证解的实际合理性、最终作答，都是将实际问题转化为方程模型求解。
二者的不同点：
整式方程不存在分母不为零的限制，没有增根的概念，列整式方程解应用题时，求得的解只要符合实际意义就有效，不需要额外检验方程本身的根的合法性；而分式方程的分母不能为零，列分式方程解应用题时，必须额外增加检验所得根是否为分式方程增根的步骤，排除使原分式分母为零的无效解，这是二者最核心的区别。
利用分式方程解应用题的一般步骤如下：
1. 审：审题，明确已知量、未知量，找出题目中的等量关系；
2. 设：合理设出未知数，标注单位名称；
3. 列：根据等量关系列出分式方程；
4. 解：求解所列的分式方程；
5. 验：进行双重检验，先检验所得的根是否为原分式方程的增根（即是否使原方程分母为0），再检验该根是否符合实际问题的意义；
6. 答：写出符合题意的答案，注明单位。
二者的相同点：
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的核心思路一致，基本环节都包含审题找等量关系、设未知数、列方程、解方程、验证解的实际合理性、最终作答，都是将实际问题转化为方程模型求解。
二者的不同点：
整式方程不存在分母不为零的限制，没有增根的概念，列整式方程解应用题时，求得的解只要符合实际意义就有效，不需要额外检验方程本身的根的合法性；而分式方程的分母不能为零，列分式方程解应用题时，必须额外增加检验所得根是否为分式方程增根的步骤，排除使原分式分母为零的无效解，这是二者最核心的区别。
解析
【分析】
解答本题首先要先回忆列整式方程解应用题的基本步骤，再结合分式方程分母含未知数、求解后可能产生增根的特征，梳理分式方程解应用题的完整步骤，再从解题核心思路、具体环节、检验要求等维度对比二者的异同，梳理时要注意分点清晰，不要遗漏分式方程特有的增根检验步骤。
【解析】
首先整理分式方程解应用题的一般步骤，再对比列整式方程解应用题的步骤梳理异同：
1. 分式方程解应用题的一般步骤：
① 审：审题，明确已知量、未知量，找出题目中的等量关系；
② 设：合理设出未知数，标注单位名称；
③ 列：根据等量关系列出分式方程；
④ 解：求解所列的分式方程；
⑤ 验：进行双重检验，先检验所得的根是否为原分式方程的增根（即是否使原方程分母为0），再检验该根是否符合实际问题的意义；
⑥ 答：写出符合题意的答案，注明单位。
2. 二者的相同点：
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的核心思路一致，基本环节都包含审题找等量关系、设未知数、列方程、解方程、验证解的实际合理性、最终作答，都是将实际问题转化为方程模型求解。
3. 二者的不同点：
整式方程不存在分母不为零的限制，没有增根的概念，列整式方程解应用题时，求得的解只要符合实际意义就有效，不需要额外检验方程本身的根的合法性；而分式方程的分母不能为零，列分式方程解应用题时，必须额外增加检验所得根是否为分式方程增根的步骤，排除使原分式分母为零的无效解，这是二者最核心的区别。
【答案】
利用分式方程解应用题的一般步骤如下：
1. 审：审题，明确已知量、未知量，找出题目中的等量关系；
2. 设：合理设出未知数，标注单位名称；
3. 列：根据等量关系列出分式方程；
4. 解：求解所列的分式方程；
5. 验：进行双重检验，先检验所得的根是否为原分式方程的增根（即是否使原方程分母为0），再检验该根是否符合实际问题的意义；
6. 答：写出符合题意的答案，注明单位。
二者的相同点：
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的核心思路一致，基本环节都包含审题找等量关系、设未知数、列方程、解方程、验证解的实际合理性、最终作答，都是将实际问题转化为方程模型求解。
二者的不同点：
整式方程不存在分母不为零的限制，没有增根的概念，列整式方程解应用题时，求得的解只要符合实际意义就有效，不需要额外检验方程本身的根的合法性；而分式方程的分母不能为零，列分式方程解应用题时，必须额外增加检验所得根是否为分式方程增根的步骤，排除使原分式分母为零的无效解，这是二者最核心的区别。
【知识点】
分式方程的应用，列方程解应用题，增根的检验
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对分式方程解应用题步骤的掌握情况，通过与整式方程解应用题步骤的对比，能帮助学生强化分式方程增根检验的意识，避免实际解题时漏验增根导致出错。
【难度系数】
0.8
解答本题首先要先回忆列整式方程解应用题的基本步骤，再结合分式方程分母含未知数、求解后可能产生增根的特征，梳理分式方程解应用题的完整步骤，再从解题核心思路、具体环节、检验要求等维度对比二者的异同，梳理时要注意分点清晰，不要遗漏分式方程特有的增根检验步骤。
【解析】
首先整理分式方程解应用题的一般步骤，再对比列整式方程解应用题的步骤梳理异同：
1. 分式方程解应用题的一般步骤：
① 审：审题，明确已知量、未知量，找出题目中的等量关系；
② 设：合理设出未知数，标注单位名称；
③ 列：根据等量关系列出分式方程；
④ 解：求解所列的分式方程；
⑤ 验：进行双重检验，先检验所得的根是否为原分式方程的增根（即是否使原方程分母为0），再检验该根是否符合实际问题的意义；
⑥ 答：写出符合题意的答案，注明单位。
2. 二者的相同点：
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的核心思路一致，基本环节都包含审题找等量关系、设未知数、列方程、解方程、验证解的实际合理性、最终作答，都是将实际问题转化为方程模型求解。
3. 二者的不同点：
整式方程不存在分母不为零的限制，没有增根的概念，列整式方程解应用题时，求得的解只要符合实际意义就有效，不需要额外检验方程本身的根的合法性；而分式方程的分母不能为零，列分式方程解应用题时，必须额外增加检验所得根是否为分式方程增根的步骤，排除使原分式分母为零的无效解，这是二者最核心的区别。
【答案】
利用分式方程解应用题的一般步骤如下：
1. 审：审题，明确已知量、未知量，找出题目中的等量关系；
2. 设：合理设出未知数，标注单位名称；
3. 列：根据等量关系列出分式方程；
4. 解：求解所列的分式方程；
5. 验：进行双重检验，先检验所得的根是否为原分式方程的增根（即是否使原方程分母为0），再检验该根是否符合实际问题的意义；
6. 答：写出符合题意的答案，注明单位。
二者的相同点：
列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的核心思路一致，基本环节都包含审题找等量关系、设未知数、列方程、解方程、验证解的实际合理性、最终作答，都是将实际问题转化为方程模型求解。
二者的不同点：
整式方程不存在分母不为零的限制，没有增根的概念，列整式方程解应用题时，求得的解只要符合实际意义就有效，不需要额外检验方程本身的根的合法性；而分式方程的分母不能为零，列分式方程解应用题时，必须额外增加检验所得根是否为分式方程增根的步骤，排除使原分式分母为零的无效解，这是二者最核心的区别。
【知识点】
分式方程的应用，列方程解应用题，增根的检验
【点评】
本题属于基础概念类题目，重点考查对分式方程解应用题步骤的掌握情况，通过与整式方程解应用题步骤的对比，能帮助学生强化分式方程增根检验的意识，避免实际解题时漏验增根导致出错。
【难度系数】
0.8
5. 某区计划进行一项工程施工，从甲、乙两支工程队的报价单中得知：甲工程队每施工一天的工程款为1.1万元，乙工程队每施工一天的工程款为0.8万元. 经过对甲、乙两支工程队报价单的测算，工程小组设计出以下三种施工方案.
方案A：由甲工程队单独完成这项工程，刚好如期完成.
方案B：由乙工程队单独完成这项工程，要比规定时间多5天.
方案C：，剩下的工程由乙工程队单独完成，也刚好如期完成.
方案C中的“”部分被损毁了.
已知一名同学设规定的工期为$x$天，根据方案C列出的方程为 $4(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5})+\frac{x-4}{x+5}=1$.
(1)方案C中“”部分的内容是.
(2)若要在规定的时间内完成这项工程，则选择哪种方案最节省工程款？请说明理由.
方案A：由甲工程队单独完成这项工程，刚好如期完成.
方案B：由乙工程队单独完成这项工程，要比规定时间多5天.
方案C：，剩下的工程由乙工程队单独完成，也刚好如期完成.
方案C中的“”部分被损毁了.
已知一名同学设规定的工期为$x$天，根据方案C列出的方程为 $4(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5})+\frac{x-4}{x+5}=1$.
(1)方案C中“”部分的内容是.
(2)若要在规定的时间内完成这项工程，则选择哪种方案最节省工程款？请说明理由.
答案
(1) 甲、乙两支工程队先合做4天
(2) 选择方案C最节省工程款.
理由：解分式方程$4(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5})+\frac{x-4}{x+5}=1$，得$x=20$.
经检验，$x=20$是原分式方程的解.
∵方案B要比规定时间多5天，
∴只需考虑方案A，方案C.
方案A所需工程款为$1.1×20=22$(万元).
方案C所需工程款为$4×1.1+20×0.8=20.4$(万元).
∵$20.4＜22$，
∴选择方案C最节省工程款.
(2) 选择方案C最节省工程款.
理由：解分式方程$4(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5})+\frac{x-4}{x+5}=1$，得$x=20$.
经检验，$x=20$是原分式方程的解.
∵方案B要比规定时间多5天，
∴只需考虑方案A，方案C.
方案A所需工程款为$1.1×20=22$(万元).
方案C所需工程款为$4×1.1+20×0.8=20.4$(万元).
∵$20.4＜22$，
∴选择方案C最节省工程款.
解析
【分析】
(1) 首先明确工作效率的表示：设规定工期为$x$天，甲队单独完成需$x$天，日工作效率为$\frac{1}{x}$；乙队单独完成需$(x+5)$天，日工作效率为$\frac{1}{x+5}$。观察给出的方程，左侧第一项$4(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5})$表示甲、乙两队合作4天的工作量，因此可直接推出损毁部分的内容。
(2) 要选择按期完成且最省钱的方案，首先需解分式方程求出规定工期$x$；由于方案B超出规定工期，不符合要求，只需分别计算方案A和方案C的总工程款，对比大小即可得出最优方案。
【解析】
(1) 方程中$(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5})$是甲、乙两队合作的日工作效率，乘以4就是两队合作4天的工作量，因此损毁部分为：甲、乙两支工程队先合做4天。
(2) 先求解分式方程$4(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5})+\frac{x-4}{x+5}=1$：
① 化简方程：展开左边得$\frac{4}{x}+\frac{4}{x+5}+\frac{x-4}{x+5}=1$，合并后两项得$\frac{4}{x}+\frac{x}{x+5}=1$；
② 去分母：两边同乘最简公分母$x(x+5)$，得$4(x+5)+x^2=x(x+5)$；
③ 整理计算：展开得$4x+20+x^2=x^2+5x$，移项合并同类项得$x=20$；
④ 检验：当$x=20$时，$x(x+5)=20×25=500≠0$，因此$x=20$是原分式方程的解，即规定工期为20天。
由于要求在规定时间内完成，方案B需要$20+5=25$天，超出工期，因此只比较方案A和方案C的工程款：
方案A总工程款：$1.1×20=22$（万元）
方案C总工程款：甲施工4天，乙施工20天，总费用为$4×1.1+20×0.8=4.4+16=20.4$（万元）
因为$20.4＜22$，所以方案C最节省工程款。
【答案】
(1) 甲、乙两支工程队先合做4天
(2) 选择方案C最节省工程款。
理由：解分式方程$4(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5})+\frac{x-4}{x+5}=1$，得$x=20$.
经检验，$x=20$是原分式方程的解.
∵方案B要比规定时间多5天，
∴只需考虑方案A，方案C.
方案A所需工程款为$1.1×20=22$(万元).
方案C所需工程款为$4×1.1+20×0.8=20.4$(万元).
∵$20.4＜22$，
∴选择方案C最节省工程款.
【知识点】
分式方程的应用，工程问题计算，最优方案选择
【点评】
本题结合实际工程场景，考察分式方程的应用和方案优化能力，解题关键是能通过方程结构反推施工方案，掌握分式方程的求解步骤（含检验），再结合实际限制条件对比方案成本，贴合生活实际，注重对知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
(1) 首先明确工作效率的表示：设规定工期为$x$天，甲队单独完成需$x$天，日工作效率为$\frac{1}{x}$；乙队单独完成需$(x+5)$天，日工作效率为$\frac{1}{x+5}$。观察给出的方程，左侧第一项$4(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5})$表示甲、乙两队合作4天的工作量，因此可直接推出损毁部分的内容。
(2) 要选择按期完成且最省钱的方案，首先需解分式方程求出规定工期$x$；由于方案B超出规定工期，不符合要求，只需分别计算方案A和方案C的总工程款，对比大小即可得出最优方案。
【解析】
(1) 方程中$(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5})$是甲、乙两队合作的日工作效率，乘以4就是两队合作4天的工作量，因此损毁部分为：甲、乙两支工程队先合做4天。
(2) 先求解分式方程$4(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5})+\frac{x-4}{x+5}=1$：
① 化简方程：展开左边得$\frac{4}{x}+\frac{4}{x+5}+\frac{x-4}{x+5}=1$，合并后两项得$\frac{4}{x}+\frac{x}{x+5}=1$；
② 去分母：两边同乘最简公分母$x(x+5)$，得$4(x+5)+x^2=x(x+5)$；
③ 整理计算：展开得$4x+20+x^2=x^2+5x$，移项合并同类项得$x=20$；
④ 检验：当$x=20$时，$x(x+5)=20×25=500≠0$，因此$x=20$是原分式方程的解，即规定工期为20天。
由于要求在规定时间内完成，方案B需要$20+5=25$天，超出工期，因此只比较方案A和方案C的工程款：
方案A总工程款：$1.1×20=22$（万元）
方案C总工程款：甲施工4天，乙施工20天，总费用为$4×1.1+20×0.8=4.4+16=20.4$（万元）
因为$20.4＜22$，所以方案C最节省工程款。
【答案】
(1) 甲、乙两支工程队先合做4天
(2) 选择方案C最节省工程款。
理由：解分式方程$4(\frac{1}{x}+\frac{1}{x+5})+\frac{x-4}{x+5}=1$，得$x=20$.
经检验，$x=20$是原分式方程的解.
∵方案B要比规定时间多5天，
∴只需考虑方案A，方案C.
方案A所需工程款为$1.1×20=22$(万元).
方案C所需工程款为$4×1.1+20×0.8=20.4$(万元).
∵$20.4＜22$，
∴选择方案C最节省工程款.
【知识点】
分式方程的应用，工程问题计算，最优方案选择
【点评】
本题结合实际工程场景，考察分式方程的应用和方案优化能力，解题关键是能通过方程结构反推施工方案，掌握分式方程的求解步骤（含检验），再结合实际限制条件对比方案成本，贴合生活实际，注重对知识应用能力的考察。
【难度系数】
0.7
