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思维导图·发展创新意识
分式
├─基本概念
│ ├─分式的定义
│ ├─分式有意义的条件：
│ └─分式的值为0的条件：
├─基本性质
│ ├─分式的基本性质：
│ ├─分式的约分：$\frac{A · C}{B · C} =$（C为公因式）
│ └─分式的通分：$\frac{A}{B}$和$\frac{C}{D}$，$\frac{A}{B} = \frac{A · D}{B · D}$；$\frac{C}{D} = \frac{B · C}{B · D}$
├─分式的运算
│ ├─分式的乘法法则：$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} =$
│ ├─分式的除法法则：$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} · \frac{d}{c} =$
│ ├─分式的乘方：$( \frac{a}{b} )^n =$（$b ≠ 0$，$n$为整数）
│ ├─分式的加减运算
│ │ ├─同分母分式的加减
│ │ └─异分母分式的加减
│ └─负整数指数幂
│ ├─$a^{-n} =$
│ └─科学记数法
└─分式方程
├─分式方程的定义
├─解分式方程
│ ├─去分母，化为整式方程
│ ├─解整式方程
│ └─检验
└─列分式方程解应用题
目标评价·提升核心素养
分式
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│ └─分式的通分：$\frac{A}{B}$和$\frac{C}{D}$，$\frac{A}{B} = \frac{A · D}{B · D}$；$\frac{C}{D} = \frac{B · C}{B · D}$
├─分式的运算
│ ├─分式的乘法法则：$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} =$
│ ├─分式的除法法则：$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} · \frac{d}{c} =$
│ ├─分式的乘方：$( \frac{a}{b} )^n =$（$b ≠ 0$，$n$为整数）
│ ├─分式的加减运算
│ │ ├─同分母分式的加减
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│ └─负整数指数幂
│ ├─$a^{-n} =$
│ └─科学记数法
└─分式方程
├─分式方程的定义
├─解分式方程
│ ├─去分母，化为整式方程
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答案
解：
分式有意义的条件：分母不等于0
分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0
分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变
$\frac{A·C}{B·C} = \boldsymbol{\frac{A}{B}}$
分式的乘法法则：$\frac{a}{b}·\frac{c}{d} = \boldsymbol{\frac{ac}{bd}}$
分式的除法法则：$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d} = \frac{a}{b}·\frac{d}{c} = \boldsymbol{\frac{ad}{bc}}$
分式的乘方：$(\frac{a}{b})^n = \boldsymbol{\frac{a^n}{b^n}}$
$a^{-n} = \boldsymbol{\frac{1}{a^n}\ (a≠0)}$
分式有意义的条件：分母不等于0
分式的值为0的条件：分子等于0且分母不等于0
分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变
$\frac{A·C}{B·C} = \boldsymbol{\frac{A}{B}}$
分式的乘法法则：$\frac{a}{b}·\frac{c}{d} = \boldsymbol{\frac{ac}{bd}}$
分式的除法法则：$\frac{a}{b}÷\frac{c}{d} = \frac{a}{b}·\frac{d}{c} = \boldsymbol{\frac{ad}{bc}}$
分式的乘方：$(\frac{a}{b})^n = \boldsymbol{\frac{a^n}{b^n}}$
$a^{-n} = \boldsymbol{\frac{1}{a^n}\ (a≠0)}$
解析
【分析】
本题考查分式章节的核心基础知识点，解题时需依次回忆分式相关的概念、性质、运算法则的准确表述，尤其要注意各类限制条件：①涉及分式的前提都要保证分母不为0；②分式值为0需要同时满足分子为0、分母不为0两个条件；③分式基本性质中乘除的整式不能为0；④负整数指数幂要求底数不为0，对应知识点逐一填空即可。
【解析】
我们按照思维导图的顺序依次填写对应内容：
1. 分式有意义的前提是分母不能为0，因此填：分母不等于0；
2. 分式的值为0需要同时满足分子为0、分母不为0（保证分式有意义）两个条件，因此填：分子等于0且分母不等于0；
3. 分式的基本性质为：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变；
4. 分式约分是约去分子分母的公因式，因此$\frac{A · C}{B · C} = \frac{A}{B}$（C为公因式，且$C≠0$）；
5. 分式乘法是分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，因此$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$；
6. 分式除法转化为乘法计算，因此$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} · \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$；
7. 分式乘方是把分子、分母分别乘方，因此$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$（$b≠0$，$n$为整数）；
8. 负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数，因此$a^{-n} = \frac{1}{a^n}\ (a≠0)$。
【答案】
1. 分母不等于0
2. 分子等于0且分母不等于0
3. 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变
4. $\frac{A}{B}$
5. $\frac{ac}{bd}$
6. $\frac{ad}{bc}$
7. $\frac{a^n}{b^n}$
8. $\frac{1}{a^n}\ (a≠0)$
【知识点】
分式的基本概念、分式的基本性质、分式的运算
【点评】
本题属于基础知识点梳理题，覆盖了分式章节的核心基础内容，是后续开展分式化简、求解分式方程及解决分式相关应用题的基础，需重点掌握各类限制条件，避免因遗漏分母不为0等要求出现错误。
【难度系数】
0.85
本题考查分式章节的核心基础知识点，解题时需依次回忆分式相关的概念、性质、运算法则的准确表述，尤其要注意各类限制条件：①涉及分式的前提都要保证分母不为0；②分式值为0需要同时满足分子为0、分母不为0两个条件；③分式基本性质中乘除的整式不能为0；④负整数指数幂要求底数不为0，对应知识点逐一填空即可。
【解析】
我们按照思维导图的顺序依次填写对应内容：
1. 分式有意义的前提是分母不能为0，因此填：分母不等于0；
2. 分式的值为0需要同时满足分子为0、分母不为0（保证分式有意义）两个条件，因此填：分子等于0且分母不等于0；
3. 分式的基本性质为：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变；
4. 分式约分是约去分子分母的公因式，因此$\frac{A · C}{B · C} = \frac{A}{B}$（C为公因式，且$C≠0$）；
5. 分式乘法是分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，因此$\frac{a}{b} · \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$；
6. 分式除法转化为乘法计算，因此$\frac{a}{b} ÷ \frac{c}{d} = \frac{a}{b} · \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$；
7. 分式乘方是把分子、分母分别乘方，因此$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$（$b≠0$，$n$为整数）；
8. 负整数指数幂等于正整数指数幂的倒数，因此$a^{-n} = \frac{1}{a^n}\ (a≠0)$。
【答案】
1. 分母不等于0
2. 分子等于0且分母不等于0
3. 分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变
4. $\frac{A}{B}$
5. $\frac{ac}{bd}$
6. $\frac{ad}{bc}$
7. $\frac{a^n}{b^n}$
8. $\frac{1}{a^n}\ (a≠0)$
【知识点】
分式的基本概念、分式的基本性质、分式的运算
【点评】
本题属于基础知识点梳理题，覆盖了分式章节的核心基础内容，是后续开展分式化简、求解分式方程及解决分式相关应用题的基础，需重点掌握各类限制条件，避免因遗漏分母不为0等要求出现错误。
【难度系数】
0.85
1. 下列各式：$\frac{a}{2x-1}$，$\frac{x}{π+1}$，$-\frac{3a}{b}$，$\frac{1}{2x+y}$，$\frac{1}{2}x+y$，$\frac{x}{x-2}$。其中分式有（）。
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
答案
B
解析
【分析】
要解答本题，首先需明确分式的判定标准：形如$\frac{A}{B}$的式子，若A、B是整式，且B中含有字母、B不为0，则该式子是分式。判断时注意两点：① 分母中必须含有字母；② 圆周率π是常数，不属于字母。接下来逐个分析给出的式子，统计符合分式定义的数量即可。
【解析】
我们根据分式的定义逐个判断各个式子：
1. $\frac{a}{2x-1}$：分母为$2x-1$，含有字母$x$，是分式；
2. $\frac{x}{π+1}$：分母为$π+1$，π是常数，分母不含字母，是整式，不是分式；
3. $-\frac{3a}{b}$：分母为$b$，含有字母$b$，是分式；
4. $\frac{1}{2x+y}$：分母为$2x+y$，含有字母$x、y$，是分式；
5. $\frac{1}{2}x+y$：无含字母的分母，是多项式（整式），不是分式；
6. $\frac{x}{x-2}$：分母为$x-2$，含有字母$x$，是分式。
综上，符合分式定义的共有4个。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义；整式与分式的区分
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查分式的识别，易错点是误将常数π当作字母判断，或是混淆整式和分式的形式，只要牢记分式的判定要点就能准确解答。
【难度系数】
0.7
要解答本题，首先需明确分式的判定标准：形如$\frac{A}{B}$的式子，若A、B是整式，且B中含有字母、B不为0，则该式子是分式。判断时注意两点：① 分母中必须含有字母；② 圆周率π是常数，不属于字母。接下来逐个分析给出的式子，统计符合分式定义的数量即可。
【解析】
我们根据分式的定义逐个判断各个式子：
1. $\frac{a}{2x-1}$：分母为$2x-1$，含有字母$x$，是分式；
2. $\frac{x}{π+1}$：分母为$π+1$，π是常数，分母不含字母，是整式，不是分式；
3. $-\frac{3a}{b}$：分母为$b$，含有字母$b$，是分式；
4. $\frac{1}{2x+y}$：分母为$2x+y$，含有字母$x、y$，是分式；
5. $\frac{1}{2}x+y$：无含字母的分母，是多项式（整式），不是分式；
6. $\frac{x}{x-2}$：分母为$x-2$，含有字母$x$，是分式。
综上，符合分式定义的共有4个。
【答案】
B
【知识点】
分式的定义；整式与分式的区分
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查分式的识别，易错点是误将常数π当作字母判断，或是混淆整式和分式的形式，只要牢记分式的判定要点就能准确解答。
【难度系数】
0.7
2. 某绿色植物细胞的直径约为0.000 021 m，将数据0.000 021用科学记数法表示为().
A.$0.21×10^{-4}$
B.$2.1×10^{-4}$
C.$2.1×10^{-5}$
D.$21×10^{-6}$
A.$0.21×10^{-4}$
B.$2.1×10^{-4}$
C.$2.1×10^{-5}$
D.$21×10^{-6}$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆科学记数法表示小于1的正数的规则：科学记数法的标准形式为$a×10^{-n}$，其中必须满足$1≤|a|＜10$，$n$的值等于原数左边第一个非零数字前面所有0的个数（包含小数点前的0）。第一步先确定$a$的取值，把原数的小数点向右移动，直到最高位非零数字后，得到符合范围的$a$；第二步数清楚小数点移动的位数，就是$n$的数值，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的正数的形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤ a＜10$，$n$为正整数。
对于$0.000021$：
1. 确定$a$：将小数点向右移动到第一个非零数字2的后面，得到$a=2.1$，满足$1≤2.1＜10$的要求；
2. 确定$n$：小数点一共向右移动了5位，因此$n=5$，指数为$-5$；
因此$0.000021=2.1×10^{-5}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法表示较小数
【点评】
本题考查科学记数法的基本应用，解题核心是牢记科学记数法的形式要求，准确确定$a$的取值和负指数的数值，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆科学记数法表示小于1的正数的规则：科学记数法的标准形式为$a×10^{-n}$，其中必须满足$1≤|a|＜10$，$n$的值等于原数左边第一个非零数字前面所有0的个数（包含小数点前的0）。第一步先确定$a$的取值，把原数的小数点向右移动，直到最高位非零数字后，得到符合范围的$a$；第二步数清楚小数点移动的位数，就是$n$的数值，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
科学记数法表示绝对值小于1的正数的形式为$a×10^{-n}$，其中$1≤ a＜10$，$n$为正整数。
对于$0.000021$：
1. 确定$a$：将小数点向右移动到第一个非零数字2的后面，得到$a=2.1$，满足$1≤2.1＜10$的要求；
2. 确定$n$：小数点一共向右移动了5位，因此$n=5$，指数为$-5$；
因此$0.000021=2.1×10^{-5}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
科学记数法表示较小数
【点评】
本题考查科学记数法的基本应用，解题核心是牢记科学记数法的形式要求，准确确定$a$的取值和负指数的数值，属于基础常规题型。
【难度系数】
0.8
3. 下列各式从左到右的变形正确的是().
A.$\frac{n}{m}=\frac{n-a}{m-a}$
B.$\frac{y}{x}=\frac{y^2}{x^2}$
C.$\frac{-a-b}{-a+b}=\frac{a-b}{a+b}$
D.$\frac{n}{m}=\frac{na}{ma}(a≠0)$
A.$\frac{n}{m}=\frac{n-a}{m-a}$
B.$\frac{y}{x}=\frac{y^2}{x^2}$
C.$\frac{-a-b}{-a+b}=\frac{a-b}{a+b}$
D.$\frac{n}{m}=\frac{na}{ma}(a≠0)$
答案
D
解析
【分析】
本题考查分式变形的正误判断，解题核心是牢记分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时只需用该性质逐一验证每个选项的变形是否符合要求即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：变形是分子、分母同时减去a，分式的基本性质仅针对乘除同一个不为0的整式的变形，加减相同数或整式不能保证分式值不变，故A错误；
B选项：变形是分子乘y、分母乘x，乘的不是同一个整式，不符合分式基本性质，例如取x=2，y=1，左边为$\frac{1}{2}$，右边为$\frac{1}{4}$，二者值不相等，故B错误；
C选项：对分子分母分别提取负号，原式$\frac{-a-b}{-a+b}=\frac{-(a+b)}{-(a-b)}=\frac{a+b}{a-b}$，和选项给出的$\frac{a-b}{a+b}$不相等，故C错误；
D选项：变形是分子、分母同时乘不为0的a，完全符合分式的基本性质，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、分式符号变形
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，易错点在于忽略分式基本性质中“乘除、同一个、不为0”的限制条件，或者进行符号变形时出错，熟练掌握分式基本性质的核心要求就能准确判断。
【难度系数】
0.75
本题考查分式变形的正误判断，解题核心是牢记分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。解题时只需用该性质逐一验证每个选项的变形是否符合要求即可。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：变形是分子、分母同时减去a，分式的基本性质仅针对乘除同一个不为0的整式的变形，加减相同数或整式不能保证分式值不变，故A错误；
B选项：变形是分子乘y、分母乘x，乘的不是同一个整式，不符合分式基本性质，例如取x=2，y=1，左边为$\frac{1}{2}$，右边为$\frac{1}{4}$，二者值不相等，故B错误；
C选项：对分子分母分别提取负号，原式$\frac{-a-b}{-a+b}=\frac{-(a+b)}{-(a-b)}=\frac{a+b}{a-b}$，和选项给出的$\frac{a-b}{a+b}$不相等，故C错误；
D选项：变形是分子、分母同时乘不为0的a，完全符合分式的基本性质，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
分式的基本性质、分式符号变形
【点评】
本题是分式性质的基础考查题，易错点在于忽略分式基本性质中“乘除、同一个、不为0”的限制条件，或者进行符号变形时出错，熟练掌握分式基本性质的核心要求就能准确判断。
【难度系数】
0.75
