角的平分线的判定
(1)定义法.
(2)角的内部到角两边的点在角的平分线上.

解：(2) 距离相等

【分析】
本题为基础概念考查题，解题时可先回忆角平分线的两类判定方法：一是定义法，二是判定定理。我们可以结合角平分线的性质辅助记忆判定内容：角平分线上的点到角两边的距离相等，反过来推导，角的内部的点如果满足到角两边的距离相等，这个点就在角的平分线上，据此即可补全空缺内容。
【解析】
根据角平分线的判定定理：角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上，因此空缺处应填入“距离相等”。
【答案】
距离相等
【知识点】
角平分线的判定
【点评】
本题是基础识记类题型，主要考查对角平分线判定定理的记忆，难度较低，熟练掌握相关定理内容即可快速作答，学习时要注意明确定理的适用前提是“角的内部”，区分角平分线的性质与判定的区别。
【难度系数】
0.9

【例题】如图,点B,C分别在∠MAN的两边上,BD⊥AM于点D,CE⊥AN于点E,BD,CE相交于点F,且$BF=CF$.求证:点F在∠MAN的平分线上.

证明：
∵ BD⊥AM，CE⊥AN，
∴ ∠CDF = ∠BEF = 90°。
在△CDF和△BEF中，
$\{\begin{array}{l}∠CDF = ∠BEF \\∠CFD = ∠BFE \\CF = BF\end{array} $
∴ △CDF ≌ △BEF（AAS）。
∴ DF = EF。
又∵ FD⊥AM，FE⊥AN，
根据角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，
∴ 点F在∠MAN的平分线上。

【分析】
要证明点F在∠MAN的平分线上，根据角平分线的判定定理，需先证明点F到∠MAN两边AM、AN的距离相等，即DF=EF。观察图形可知DF、EF分别在△CDF和△BEF中，已知BF=CF，结合BD⊥AM、CE⊥AN可得两个直角相等，再加上一组对顶角相等，可通过AAS判定△CDF≌△BEF，从而得到DF=EF，最终利用角平分线的判定定理得出结论。
【解析】
证明：
∵ BD⊥AM，CE⊥AN，
∴ ∠CDF = ∠BEF = 90°。
在△CDF和△BEF中，
$\{\begin{array}{l}∠CDF = ∠BEF \\∠CFD = ∠BFE \\CF = BF\end{array} $
∴ △CDF ≌ △BEF（AAS）。
∴ DF = EF。
又
∵ FD⊥AM，FE⊥AN，
根据角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，
∴ 点F在∠MAN的平分线上。
【答案】
点F在∠MAN的平分线上
【知识点】
角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，垂直的定义
【点评】
本题属于角平分线判定的基础应用题型，解题的核心是通过证明三角形全等得到点到角两边的距离相等，再结合角平分线的判定定理完成证明，有助于巩固全等三角形和角平分线判定的相关知识。
【难度系数】
0.8

【变式】如图,在$△ ABC$中,点$O$到三边的距离相等,若$∠ A=60°$,则$∠ BOC$等于().

A.$120°$
B.$125°$
C.$130°$
D.$140°$

A

【分析】
看到“点O到三边的距离相等”这一条件，首先根据角平分线的判定定理，可判断出O是△ABC三个内角的角平分线的交点，即OB平分∠ABC、OC平分∠ACB。已知∠A的度数，我们可以先利用三角形内角和求出∠ABC与∠ACB的和，再求出这两个角一半的和，最后在△BOC中再次运用三角形内角和，就能算出∠BOC的度数。
【解析】
解：
∵点O到△ABC三边的距离相等，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB（角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上），
∴$∠ OBC=\frac{1}{2}∠ ABC$，$∠ OCB=\frac{1}{2}∠ ACB$。
在△ABC中，$∠ A=60°$，
∴$∠ ABC+∠ ACB=180°-∠ A=180°-60°=120°$，
∴$∠ OBC+∠ OCB=\frac{1}{2}(∠ ABC+∠ ACB)=\frac{1}{2}×120°=60°$。
在△BOC中，
$∠ BOC=180°-(∠ OBC+∠ OCB)=180°-60°=120°$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的判定；三角形内角和定理；角平分线的定义
【点评】
本题属于角平分线性质与三角形内角和的综合基础题，解题关键是先根据点到三边距离相等判断出该点是三角形内角平分线的交点，再结合内角和公式逐步推导计算，是这类知识点的典型常考题。
【难度系数】
0.8

1. 如图，$PM ⊥ OA$，$PN ⊥ OB$，垂足分别为$M$，$N$，$PM = PN$，若$∠ BOC = 32°$，则$∠ AOB$的度数为（）。

A.$32°$
B.$45°$
C.$64°$
D.$52°$

C

【分析】
解题首先梳理已知条件：点P到∠AOB的两边OA、OB的垂线段PM、PN长度相等，结合角平分线的判定定理，可推出OC是∠AOB的角平分线，即∠AOB是∠BOC的2倍，代入已知角度即可算出结果。
【解析】
解：
∵$PM ⊥ OA$，$PN ⊥ OB$，且$PM = PN$，
∴ 根据角平分线的判定定理可得：OC平分$∠ AOB$，
∴ $∠ AOB = 2∠ BOC$，
已知$∠ BOC = 32°$，代入得：
$∠ AOB = 2×32° = 64°$，故选C。
【答案】
C
【知识点】
角平分线的判定；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题，主要考查角平分线判定定理的直接应用，解题的关键是熟练掌握“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”这一结论，结合角平分线的定义即可快速求解。
【难度系数】
0.8

2. 如图,点 P 在∠AOB 内,因为 PM ⊥ OA,PN ⊥ OB,垂足分别是 M,N,PM=PN,所以 OP 平分∠AOB,理由是
.

角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上

【分析】
解题时先梳理题目的已知条件：①点P在∠AOB内部；②PM⊥OA、PN⊥OB，说明PM、PN分别是点P到∠AOB两边OA、OB的距离；③PM=PN，即两个距离相等。要推导OP平分∠AOB，对应回忆角平分线的判定定理，该定理的条件和本题已知条件完全匹配，直接填写定理内容即可。
【解析】
首先，由垂直的定义可知，PM⊥OA说明PM是点P到OA边的距离，PN⊥OB说明PN是点P到OB边的距离；
已知点P在∠AOB的内部，且PM=PN，满足角平分线判定定理的全部条件，因此可直接得出OP平分∠AOB，对应的依据就是角平分线的判定定理。
【答案】
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
【知识点】
角平分线的判定，点到直线的距离
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点对角平分线判定定理的理解和应用进行考查，解题的关键是准确识别“点到角两边的距离”这一核心条件，熟记定理内容就能快速解答。
【难度系数】
0.9

3.如图,已知$PA⊥ON$于点$A$,$PB⊥OM$于点$B$,且$PA=PB$,$∠MON=50°$,$∠OPC=30°$,则$∠PCA=$.

$\boldsymbol{55°}$

【分析】
解题时先观察已知条件：PA垂直于ON，PB垂直于OM，且PA=PB，根据角平分线的判定定理可推出OP是∠MON的角平分线，先求出∠COP的度数；再结合三角形外角的性质，△OCP的外角∠PCA等于不相邻的两个内角∠COP和∠OPC的和，代入数值即可算出结果。
【解析】
解：
∵PA⊥ON，PB⊥OM，且PA=PB，
∴OP平分∠MON（到角两边距离相等的点在这个角的平分线上），
∵∠MON=50°，
∴∠COP=$\frac{1}{2}$∠MON=$\frac{1}{2}$×50°=25°，
又
∵∠PCA是△OCP的外角，
∴∠PCA=∠COP+∠OPC（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
已知∠OPC=30°，
∴∠PCA=25°+30°=55°。
【答案】
$\boldsymbol{55°}$
【知识点】
角平分线的判定；三角形外角的性质；角的运算
【点评】
本题是基础的几何综合计算题，解题的关键是先通过角平分线的判定得到∠COP的度数，再结合三角形外角性质计算所求角，熟练掌握基础定理是快速解题的核心。
【难度系数】
0.8

4. 如图，D，E是AC上两点，F，G是AB上两点，且$DE=FG$，$S_{△ ODE}=S_{△ OFG}$. 求证：点O在$∠ BAC$的平分线上.

证明：
过点O作$OM ⊥ AC$于点M，$ON ⊥ AB$于点N。
$\because S_{△ ODE} = \frac{1}{2} · DE · OM$，$S_{△ OFG} = \frac{1}{2} · FG · ON$，
又$\because S_{△ ODE} = S_{△ OFG}$，
$\therefore \frac{1}{2} · DE · OM = \frac{1}{2} · FG · ON$。
$\because DE = FG$，
$\therefore OM = ON$。
又$\because OM ⊥ AC$，$ON ⊥ AB$，
$\therefore$ 点O在$∠ BAC$的平分线上。

【分析】
要证明点O在∠BAC的平分线上，需利用角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，因此首先要构造点O到AC、AB两边的垂线段，证明两条垂线段长度相等。已知△ODE和△OFG面积相等，且底DE=FG，两条垂线段恰好是这两个三角形对应底边上的高，结合三角形面积公式对面积等式进行推导，即可得出两条高相等，进而完成证明。
【解析】
过点O作$OM ⊥ AC$于点M，$ON ⊥ AB$于点N。
根据三角形面积公式，可得$S_{△ ODE} = \frac{1}{2} · DE · OM$，$S_{△ OFG} = \frac{1}{2} · FG · ON$。
已知$S_{△ ODE} = S_{△ OFG}$，因此$\frac{1}{2} · DE · OM = \frac{1}{2} · FG · ON$。
又因为$DE = FG$，等式两边同时约去相等的量后，可得$OM = ON$。
由于$OM ⊥ AC$，$ON ⊥ AB$，说明点O到∠BAC的两边AC、AB的距离相等，根据角平分线的判定定理，即可得出点O在∠BAC的平分线上。
【答案】
过点O作$OM ⊥ AC$于点M，$ON ⊥ AB$于点N。
$\because S_{△ ODE} = \frac{1}{2} · DE · OM$，$S_{△ OFG} = \frac{1}{2} · FG · ON$，
又$\because S_{△ ODE} = S_{△ OFG}$，
$\therefore \frac{1}{2} · DE · OM = \frac{1}{2} · FG · ON$。
$\because DE = FG$，
$\therefore OM = ON$。
又$\because OM ⊥ AC$，$ON ⊥ AB$，
$\therefore$ 点O在$∠ BAC$的平分线上。
【知识点】
1. 角平分线的判定定理
2. 三角形面积计算
3. 等式的性质
【点评】
本题是角平分线判定的典型基础题，解题核心是熟练掌握角平分线的判定条件，学会构造“点到角两边的垂线段”这类常用辅助线，能结合面积、边长相等的已知条件完成距离相等的推导。
【难度系数】
0.8