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1. (2024昆明西山区期末)如图,直线$l_1 // l_2$,直线$l_3$与$l_1,l_2$分别相交于A,C两点,$BC ⊥ l_3$交$l_1$于点B.若$∠ 1 = 70°$,则$∠ 2$的度数为().
A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
A.$20°$
B.$30°$
C.$40°$
D.$50°$
答案
A
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：已知$l_1 // l_2$，$BC ⊥ l_3$，$∠1=70°$，要求$∠2$的度数。首先根据垂直的定义可得直角，再利用平行线的性质得到相等的角，最后结合直角三角形两锐角互余的性质即可求出未知角的度数。具体思考步骤：第一步，由$BC⊥l_3$得到$∠ACB=90°$；第二步，利用平行线的性质得出与$∠1$相等的内错角，即$∠BAC=∠1=70°$；第三步，在直角三角形$ABC$中，两个锐角和为$90°$，计算出$∠ABC$的度数，也就是$∠2$的度数。
【解析】
解：$\because BC⊥l_3$，
$\therefore ∠ACB=90°$（垂直的定义），
$\because l_1//l_2$，
$\therefore ∠BAC=∠1=70°$（两直线平行，内错角相等），
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠BAC + ∠ABC = 90°$（直角三角形的两个锐角互余），
$\therefore ∠ABC=90° - 70°=20°$，
由图可知$∠2=∠ABC$，
$\therefore ∠2=20°$。
故选：$\mathrm{A}$。
【答案】
$\mathrm{A}$
【知识点】
平行线的性质；直角三角形两锐角互余；垂直的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，综合考查平行线和直角三角形的性质，熟练掌握基础几何性质、准确识别角的位置关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时先梳理已知条件：已知$l_1 // l_2$，$BC ⊥ l_3$，$∠1=70°$，要求$∠2$的度数。首先根据垂直的定义可得直角，再利用平行线的性质得到相等的角，最后结合直角三角形两锐角互余的性质即可求出未知角的度数。具体思考步骤：第一步，由$BC⊥l_3$得到$∠ACB=90°$；第二步，利用平行线的性质得出与$∠1$相等的内错角，即$∠BAC=∠1=70°$；第三步，在直角三角形$ABC$中，两个锐角和为$90°$，计算出$∠ABC$的度数，也就是$∠2$的度数。
【解析】
解：$\because BC⊥l_3$，
$\therefore ∠ACB=90°$（垂直的定义），
$\because l_1//l_2$，
$\therefore ∠BAC=∠1=70°$（两直线平行，内错角相等），
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠BAC + ∠ABC = 90°$（直角三角形的两个锐角互余），
$\therefore ∠ABC=90° - 70°=20°$，
由图可知$∠2=∠ABC$，
$\therefore ∠2=20°$。
故选：$\mathrm{A}$。
【答案】
$\mathrm{A}$
【知识点】
平行线的性质；直角三角形两锐角互余；垂直的定义
【点评】
本题属于基础角度计算题，综合考查平行线和直角三角形的性质，熟练掌握基础几何性质、准确识别角的位置关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
2.如图，$∠ ABC=90°$，$BD⊥ AC$，垂足为$D$.若$∠ ABD=40°$，则$∠ C=$.
答案
$\boldsymbol{40°}$
解析
【分析】
解题时先观察图形中的直角三角形，利用直角三角形的性质分析角的关系：首先已知△ABC是直角三角形，可得两锐角∠A与∠C互余；再由BD⊥AC可知△ABD也是直角三角形，可得∠A与∠ABD互余；最后根据同角的余角相等，即可推出∠C与∠ABD相等，代入已知角度就能得到结果。
【解析】
解：
∵ $∠ ABC=90°$，
∴ $∠ A + ∠ C = 90°$（直角三角形的两个锐角互余），
∵ $BD⊥ AC$，垂足为$D$，
∴ $∠ ADB=90°$，
∴ $∠ A + ∠ ABD = 90°$（直角三角形的两个锐角互余），
∴ $∠ C = ∠ ABD$（同角的余角相等），
∵ $∠ ABD=40°$，
∴ $∠ C=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题考查直角三角形和余角的基础性质，解题关键是找到与同一个角互余的两个角，建立待求角和已知角的等量关系，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
解题时先观察图形中的直角三角形，利用直角三角形的性质分析角的关系：首先已知△ABC是直角三角形，可得两锐角∠A与∠C互余；再由BD⊥AC可知△ABD也是直角三角形，可得∠A与∠ABD互余；最后根据同角的余角相等，即可推出∠C与∠ABD相等，代入已知角度就能得到结果。
【解析】
解：
∵ $∠ ABC=90°$，
∴ $∠ A + ∠ C = 90°$（直角三角形的两个锐角互余），
∵ $BD⊥ AC$，垂足为$D$，
∴ $∠ ADB=90°$，
∴ $∠ A + ∠ ABD = 90°$（直角三角形的两个锐角互余），
∴ $∠ C = ∠ ABD$（同角的余角相等），
∵ $∠ ABD=40°$，
∴ $∠ C=40°$。
【答案】
$40°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；同角的余角相等
【点评】
本题考查直角三角形和余角的基础性质，解题关键是找到与同一个角互余的两个角，建立待求角和已知角的等量关系，整体解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
3. 脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形,医学上常用 Cobb 角来评估脊柱侧弯的程度,当 Cobb 角大于 $10°$为脊柱侧弯. 如图是脊柱侧弯 Cobb 角($∠ O$)的检测示意图,$DA ⊥ OC$于点$A$,$CB ⊥ OD$于点$B$,已知 Cobb 角为 $37°$,则$∠ AEC$的度数是.
答案
$\boldsymbol{37°}$
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手，先得到两个直角三角形：DA垂直OC可得△EAC是直角三角形，因此∠AEC与∠C互余；CB垂直OD可得△OBC是直角三角形，因此∠O与∠C也互余。根据同角的余角相等的性质，即可推出∠AEC和∠O相等，代入已知的Cobb角度数就能得到结果。
【解析】
∵ $ DA ⊥ OC $，
∴ $ ∠ EAC = 90° $，在$ \mathrm{Rt}△ AEC $中，$ ∠ AEC + ∠ C = 90° $。
又
∵ $ CB ⊥ OD $，
∴ $ ∠ OBC = 90° $，在$ \mathrm{Rt}△ OBC $中，$ ∠ O + ∠ C = 90° $。
根据同角的余角相等，可得$ ∠ AEC = ∠ O $。
已知$ ∠ O = 37° $，
∴ $ ∠ AEC = 37° $。
【答案】
$\boldsymbol{37°}$
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 同角的余角相等
【点评】
本题结合医学检测的实际场景考察角度计算，解题核心是识别直角三角形，利用余角的性质建立待求角和已知角的等量关系，属于基础的角度推导题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知的垂直条件入手，先得到两个直角三角形：DA垂直OC可得△EAC是直角三角形，因此∠AEC与∠C互余；CB垂直OD可得△OBC是直角三角形，因此∠O与∠C也互余。根据同角的余角相等的性质，即可推出∠AEC和∠O相等，代入已知的Cobb角度数就能得到结果。
【解析】
∵ $ DA ⊥ OC $，
∴ $ ∠ EAC = 90° $，在$ \mathrm{Rt}△ AEC $中，$ ∠ AEC + ∠ C = 90° $。
又
∵ $ CB ⊥ OD $，
∴ $ ∠ OBC = 90° $，在$ \mathrm{Rt}△ OBC $中，$ ∠ O + ∠ C = 90° $。
根据同角的余角相等，可得$ ∠ AEC = ∠ O $。
已知$ ∠ O = 37° $，
∴ $ ∠ AEC = 37° $。
【答案】
$\boldsymbol{37°}$
【知识点】
1. 直角三角形两锐角互余
2. 同角的余角相等
【点评】
本题结合医学检测的实际场景考察角度计算，解题核心是识别直角三角形，利用余角的性质建立待求角和已知角的等量关系，属于基础的角度推导题。
【难度系数】
0.8
4. 如图,在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB=90°$, $∠ B=30°$, $CD⊥ AB$ 于点 $D$,$CE$ 是 $△ ABC$ 的角平分线.
(1)求 $∠ DCE$ 的度数；
(2)若 $∠ CEF=135°$,求证:$EF// BC$.
(1)求 $∠ DCE$ 的度数；
(2)若 $∠ CEF=135°$,求证:$EF// BC$.
答案
解：(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，
$\therefore ∠ A = 90° - ∠ B = 60°$。
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ CDA=90°$，
$\therefore ∠ ACD = 90° - ∠ A = 30°$。
$\because CE$是$△ ABC$的角平分线，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACE = ∠ BCE = \frac{1}{2}∠ ACB = 45°$，
$\therefore ∠ DCE = ∠ ACE - ∠ ACD = 45° - 30° = 15°$。
(2) 证明：$\because ∠ CEF=135°$，$∠ BCE=45°$，
$\therefore ∠ CEF + ∠ BCE = 135° + 45° = 180°$，
$\therefore EF// BC$（同旁内角互补，两直线平行）。
$\therefore ∠ A = 90° - ∠ B = 60°$。
$\because CD⊥ AB$，
$\therefore ∠ CDA=90°$，
$\therefore ∠ ACD = 90° - ∠ A = 30°$。
$\because CE$是$△ ABC$的角平分线，$∠ ACB=90°$，
$\therefore ∠ ACE = ∠ BCE = \frac{1}{2}∠ ACB = 45°$，
$\therefore ∠ DCE = ∠ ACE - ∠ ACD = 45° - 30° = 15°$。
(2) 证明：$\because ∠ CEF=135°$，$∠ BCE=45°$，
$\therefore ∠ CEF + ∠ BCE = 135° + 45° = 180°$，
$\therefore EF// BC$（同旁内角互补，两直线平行）。
解析
【分析】
(1) 求∠DCE的度数，可先利用直角三角形两锐角互余求出∠A的度数，再结合CD⊥AB的条件求出∠ACD的度数，接着根据角平分线的定义求出∠ACE的度数，最后用∠ACE减去∠ACD即可得到∠DCE的度数；
(2) 要证明EF//BC，可通过判定同旁内角互补推导，已知∠CEF的度数，结合第一问求出的∠BCE的度数，验证两者之和是否为180°即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠B=30°$，
$\therefore ∠A = 90° - ∠B = 60°$，
$\because CD⊥AB$，$\therefore ∠CDA=90°$，
$\therefore ∠ACD = 90° - ∠A = 30°$，
$\because CE$是$△ABC$的角平分线，$∠ACB=90°$，
$\therefore ∠ACE = ∠BCE = \frac{1}{2}∠ACB = 45°$，
$\therefore ∠DCE = ∠ACE - ∠ACD = 45° - 30° = 15°$。
(2) 证明：$\because ∠CEF=135°$，$∠BCE=45°$，
$\therefore ∠CEF + ∠BCE = 135° + 45° = 180°$，
$\therefore EF//BC$（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
(1) $\boxed{15°}$；(2) 证明成立，$EF// BC$。
【知识点】
直角三角形的性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础题，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余的性质、角平分线的定义以及平行线的判定定理，计算和推导过程难度较低，细心答题即可得分。
【难度系数】
0.8
(1) 求∠DCE的度数，可先利用直角三角形两锐角互余求出∠A的度数，再结合CD⊥AB的条件求出∠ACD的度数，接着根据角平分线的定义求出∠ACE的度数，最后用∠ACE减去∠ACD即可得到∠DCE的度数；
(2) 要证明EF//BC，可通过判定同旁内角互补推导，已知∠CEF的度数，结合第一问求出的∠BCE的度数，验证两者之和是否为180°即可。
【解析】
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠B=30°$，
$\therefore ∠A = 90° - ∠B = 60°$，
$\because CD⊥AB$，$\therefore ∠CDA=90°$，
$\therefore ∠ACD = 90° - ∠A = 30°$，
$\because CE$是$△ABC$的角平分线，$∠ACB=90°$，
$\therefore ∠ACE = ∠BCE = \frac{1}{2}∠ACB = 45°$，
$\therefore ∠DCE = ∠ACE - ∠ACD = 45° - 30° = 15°$。
(2) 证明：$\because ∠CEF=135°$，$∠BCE=45°$，
$\therefore ∠CEF + ∠BCE = 135° + 45° = 180°$，
$\therefore EF//BC$（同旁内角互补，两直线平行）。
【答案】
(1) $\boxed{15°}$；(2) 证明成立，$EF// BC$。
【知识点】
直角三角形的性质；角平分线的定义；平行线的判定
【点评】
本题属于几何基础题，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余的性质、角平分线的定义以及平行线的判定定理，计算和推导过程难度较低，细心答题即可得分。
【难度系数】
0.8
5. 若一个三角形的三个内角的度数之比为$1:5:6$,则这个三角形是().
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
答案
B
解析
【分析】
要判断三角形的类型，只需根据三个内角的度数比，结合三角形内角和为180°的性质，求出最大内角的度数即可：首先计算三个角的总份数，用内角和除以总份数得到每份对应的度数，再求出占比最大的角的度数，根据最大角的类型判断三角形种类。
【解析】
设这个三角形三个内角的度数分别为$x$、$5x$、$6x$。
根据三角形内角和定理，三个内角之和为180°，可列方程：
$x + 5x + 6x = 180°$
合并同类项得：$12x = 180°$
解得：$x = 15°$
则最大内角的度数为$6x = 6×15° = 90°$，有一个角是直角的三角形是直角三角形。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；按比例分配计算；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用三角形内角和定理求出最大内角的度数，再结合三角形按角分类的标准判断即可，熟练掌握基础知识点就能快速解答。
【难度系数】
0.9
要判断三角形的类型，只需根据三个内角的度数比，结合三角形内角和为180°的性质，求出最大内角的度数即可：首先计算三个角的总份数，用内角和除以总份数得到每份对应的度数，再求出占比最大的角的度数，根据最大角的类型判断三角形种类。
【解析】
设这个三角形三个内角的度数分别为$x$、$5x$、$6x$。
根据三角形内角和定理，三个内角之和为180°，可列方程：
$x + 5x + 6x = 180°$
合并同类项得：$12x = 180°$
解得：$x = 15°$
则最大内角的度数为$6x = 6×15° = 90°$，有一个角是直角的三角形是直角三角形。
所以本题选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；按比例分配计算；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题型，解题核心是利用三角形内角和定理求出最大内角的度数，再结合三角形按角分类的标准判断即可，熟练掌握基础知识点就能快速解答。
【难度系数】
0.9
6. 在$△ ABC$中，$∠ A + ∠ B = 90°$，那么$△ ABC$是（选填“直角三角形”“钝角三角形”或“锐角三角形”）。
答案
解：
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∵ ∠A + ∠B = 90°
∴ ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 90° = 90°
∴ △ABC是直角三角形。
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
∠A + ∠B + ∠C = 180°
∵ ∠A + ∠B = 90°
∴ ∠C = 180° - (∠A + ∠B) = 180° - 90° = 90°
∴ △ABC是直角三角形。
解析
【分析】
要判断三角形的类型，需先确定三角形内角中最大角的度数。首先回忆三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和为180°，题目已知∠A+∠B=90°，因此可以用内角和减去∠A与∠B的和，求出第三个角∠C的度数，再根据角的度数判断三角形类型：若三角形有一个内角为90°，则该三角形为直角三角形。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
$\because ∠ A + ∠ B = 90°$
$\therefore ∠ C = 180° - (∠ A + ∠ B) = 180° - 90° = 90°$
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题是基础概念应用题，结合三角形内角和定理即可快速求出未知角的度数，进而判断三角形的类型，主要考查对基础定理的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.9
要判断三角形的类型，需先确定三角形内角中最大角的度数。首先回忆三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和为180°，题目已知∠A+∠B=90°，因此可以用内角和减去∠A与∠B的和，求出第三个角∠C的度数，再根据角的度数判断三角形类型：若三角形有一个内角为90°，则该三角形为直角三角形。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和定理可得：
$∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°$
$\because ∠ A + ∠ B = 90°$
$\therefore ∠ C = 180° - (∠ A + ∠ B) = 180° - 90° = 90°$
$\therefore △ ABC$是直角三角形。
【答案】
直角三角形
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题是基础概念应用题，结合三角形内角和定理即可快速求出未知角的度数，进而判断三角形的类型，主要考查对基础定理的掌握和简单应用能力。
【难度系数】
0.9
7. 如图，$AB// CD$，直线$EF$分别交$AB$，$CD$于点$E,F$，$∠ BEF$与$∠ DFE$的平分线相交于点$P$. 求证：$△ PEF$是直角三角形.
答案
证明：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ BEF + ∠ DFE = 180°$。
∵ $EP$平分$∠ BEF$，$FP$平分$∠ DFE$，
∴ $∠ PEF = \frac{1}{2}∠ BEF$，$∠ PFE = \frac{1}{2}∠ DFE$，
∴ $∠ PEF + ∠ PFE = \frac{1}{2}(∠ BEF + ∠ DFE) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$。
在$△ PEF$中，$∠ P = 180° - (∠ PEF + ∠ PFE) = 180° - 90° = 90°$，
∴ $△ PEF$是直角三角形。
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ BEF + ∠ DFE = 180°$。
∵ $EP$平分$∠ BEF$，$FP$平分$∠ DFE$，
∴ $∠ PEF = \frac{1}{2}∠ BEF$，$∠ PFE = \frac{1}{2}∠ DFE$，
∴ $∠ PEF + ∠ PFE = \frac{1}{2}(∠ BEF + ∠ DFE) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$。
在$△ PEF$中，$∠ P = 180° - (∠ PEF + ∠ PFE) = 180° - 90° = 90°$，
∴ $△ PEF$是直角三角形。
解析
【分析】
要证明△PEF是直角三角形，只需证明该三角形存在一个内角为90°即可。首先根据AB//CD的性质，可得到同旁内角∠BEF与∠DFE的和为180°；再结合EP、FP分别是两个角的角平分线，可推出∠PEF与∠PFE的和为∠BEF与∠DFE之和的一半，即90°；最后根据三角形内角和为180°，就能算出∠P=90°，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ BEF + ∠ DFE = 180°$。
∵ $EP$平分$∠ BEF$，$FP$平分$∠ DFE$，
∴ $∠ PEF = \frac{1}{2}∠ BEF$，$∠ PFE = \frac{1}{2}∠ DFE$，
∴ $∠ PEF + ∠ PFE = \frac{1}{2}(∠ BEF + ∠ DFE) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$。
在$△ PEF$中，$∠ P = 180° - (∠ PEF + ∠ PFE) = 180° - 90° = 90°$，
∴ $△ PEF$是直角三角形。
【答案】
△PEF是直角三角形
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查了平行线、角平分线和三角形内角和的相关知识，解题的关键是利用平行线同旁内角互补的性质，结合角平分线定义推导得到两个锐角的和为90°，进而判定直角三角形，熟练掌握基础几何定理是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
要证明△PEF是直角三角形，只需证明该三角形存在一个内角为90°即可。首先根据AB//CD的性质，可得到同旁内角∠BEF与∠DFE的和为180°；再结合EP、FP分别是两个角的角平分线，可推出∠PEF与∠PFE的和为∠BEF与∠DFE之和的一半，即90°；最后根据三角形内角和为180°，就能算出∠P=90°，即可完成证明。
【解析】
证明：
∵ $AB// CD$，
∴ $∠ BEF + ∠ DFE = 180°$。
∵ $EP$平分$∠ BEF$，$FP$平分$∠ DFE$，
∴ $∠ PEF = \frac{1}{2}∠ BEF$，$∠ PFE = \frac{1}{2}∠ DFE$，
∴ $∠ PEF + ∠ PFE = \frac{1}{2}(∠ BEF + ∠ DFE) = \frac{1}{2} × 180° = 90°$。
在$△ PEF$中，$∠ P = 180° - (∠ PEF + ∠ PFE) = 180° - 90° = 90°$，
∴ $△ PEF$是直角三角形。
【答案】
△PEF是直角三角形
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何证明题，综合考查了平行线、角平分线和三角形内角和的相关知识，解题的关键是利用平行线同旁内角互补的性质，结合角平分线定义推导得到两个锐角的和为90°，进而判定直角三角形，熟练掌握基础几何定理是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8
8. 如图, 在 $Rt△ ACB$ 中, $∠ ACB = 90°$, $△ ABC$ 的角平分线 $AD$, $BE$ 相交于点 $P$, 则 $∠ APB$ 等于().
A.$135°$
B.$125°$
C.$130°$
D.$120°$
A.$135°$
B.$125°$
C.$130°$
D.$120°$
答案
A
解析
【分析】
要计算∠APB的度数，我们可以从三角形内角和定理入手：首先，在Rt△ACB中，已知直角∠ACB，可先求出∠BAC与∠ABC的和；再根据AD、BE是角平分线，得到△APB中两个内角∠PAB、∠PBA的和；最后在△APB中利用内角和定理即可求出∠APB的度数。
【解析】
在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BAC + ∠ ABC = 180° - ∠ ACB = 180° - 90° = 90°$
$\because AD$平分$∠ BAC$，$BE$平分$∠ ABC$
$\therefore ∠ PAB = \frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ PBA = \frac{1}{2}∠ ABC$
$\therefore ∠ PAB + ∠ PBA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ABC) = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
在$△ APB$中，再次利用三角形内角和定理：
$∠ APB = 180° - (∠ PAB + ∠ PBA) = 180° - 45° = 135°$
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是两次运用三角形内角和定理，结合角平分线的性质推导角度关系，熟练掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
要计算∠APB的度数，我们可以从三角形内角和定理入手：首先，在Rt△ACB中，已知直角∠ACB，可先求出∠BAC与∠ABC的和；再根据AD、BE是角平分线，得到△APB中两个内角∠PAB、∠PBA的和；最后在△APB中利用内角和定理即可求出∠APB的度数。
【解析】
在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB=90°$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BAC + ∠ ABC = 180° - ∠ ACB = 180° - 90° = 90°$
$\because AD$平分$∠ BAC$，$BE$平分$∠ ABC$
$\therefore ∠ PAB = \frac{1}{2}∠ BAC$，$∠ PBA = \frac{1}{2}∠ ABC$
$\therefore ∠ PAB + ∠ PBA = \frac{1}{2}(∠ BAC + ∠ ABC) = \frac{1}{2} × 90° = 45°$
在$△ APB$中，再次利用三角形内角和定理：
$∠ APB = 180° - (∠ PAB + ∠ PBA) = 180° - 45° = 135°$
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础几何计算题，核心是两次运用三角形内角和定理，结合角平分线的性质推导角度关系，熟练掌握基础定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
