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1. 若$\frac{1}{xy}=\frac{(\quad)}{2xy^2}$，则等式右边的分子为。
答案
解：根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变。
观察分母的变化：$2xy^2 ÷ xy = 2y$，即原分母$xy$乘$2y$得到右边的分母$2xy^2$，
因此原分子1也需乘$2y$，可得$1 × 2y = 2y$。
所以等式右边的分子为$\boldsymbol{2y}$。
观察分母的变化：$2xy^2 ÷ xy = 2y$，即原分母$xy$乘$2y$得到右边的分母$2xy^2$，
因此原分子1也需乘$2y$，可得$1 × 2y = 2y$。
所以等式右边的分子为$\boldsymbol{2y}$。
解析
【分析】
这道题考查分式的基本性质的应用，解题时要抓住“分式值不变时，分子分母的变化需一致”的核心思路。首先观察等式两边分式的分母，对比出右边分母是左边分母乘了哪个整式，再根据分式基本性质，让左边的分子也乘同一个整式，即可求出右边的分子。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
先对比两边分母的变化：$2xy^2 ÷ xy = 2y$，即左边分母$xy$乘$2y$得到右边的分母$2xy^2$。
要使分式的值不变，左边的分子1也要乘$2y$，计算得$1 × 2y = 2y$。
【答案】
$\boldsymbol{2y}$
【知识点】
分式的基本性质、单项式除法
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题关键是先确定分母的变化规律，再对应调整分子，熟练掌握分式基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
这道题考查分式的基本性质的应用，解题时要抓住“分式值不变时，分子分母的变化需一致”的核心思路。首先观察等式两边分式的分母，对比出右边分母是左边分母乘了哪个整式，再根据分式基本性质，让左边的分子也乘同一个整式，即可求出右边的分子。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
先对比两边分母的变化：$2xy^2 ÷ xy = 2y$，即左边分母$xy$乘$2y$得到右边的分母$2xy^2$。
要使分式的值不变，左边的分子1也要乘$2y$，计算得$1 × 2y = 2y$。
【答案】
$\boldsymbol{2y}$
【知识点】
分式的基本性质、单项式除法
【点评】
本题是分式性质的基础应用题型，解题关键是先确定分母的变化规律，再对应调整分子，熟练掌握分式基本性质即可快速求解。
【难度系数】
0.9
2.填空：$\frac{3x^2 + 3xy}{6x^2} = \frac{( \quad )}{2x}$，变形的依据是。
答案
解：
$\frac{3x^2 + 3xy}{6x^2} = \frac{3x(x+y)}{3x· 2x}$，当$x≠0$时，将分式的分子、分母同时除以$3x$，可得结果为$\frac{x+y}{2x}$。
括号内应填$\boldsymbol{x+y}$，变形的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
$\frac{3x^2 + 3xy}{6x^2} = \frac{3x(x+y)}{3x· 2x}$，当$x≠0$时，将分式的分子、分母同时除以$3x$，可得结果为$\frac{x+y}{2x}$。
括号内应填$\boldsymbol{x+y}$，变形的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
解析
【分析】
解题时先观察等式两边分式的分母，左边分母为$6x^2$，右边分母为$2x$，可得出分母是除以$3x$得到的。根据分式的基本性质，要保证分式的值不变，分子也需要同时除以同一个不为0的整式$3x$。因此先对左边分式的分子进行提公因式因式分解，提取公因式$3x$后，再将分子分母同时除以$3x$，即可得到括号内的结果，变形依据就是分式的基本性质，注意此处需满足$x≠0$，保证所除的$3x$不为0。
【解析】
1. 对左边分式的分子因式分解：
$3x^2+3xy=3x(x+y)$，因此原式左边可写为$\frac{3x(x+y)}{6x^2}$；
2. 分析分母变化：$6x^2÷3x=2x$，结合分式有意义的条件可知$x≠0$，即$3x$是不为0的整式；
3. 根据分式的基本性质，将分子、分母同时除以$3x$：
$\frac{3x(x+y)÷3x}{6x^2÷3x}=\frac{x+y}{2x}$；
因此括号内应填$x+y$，变形的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
【答案】
$x+y$；分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变
【知识点】
分式的基本性质、提公因式法因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式性质应用的基础题，解题核心是先观察分母的变化确定分子分母同除的公因式，需注意所除的整式不能为0，熟练掌握分式的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题时先观察等式两边分式的分母，左边分母为$6x^2$，右边分母为$2x$，可得出分母是除以$3x$得到的。根据分式的基本性质，要保证分式的值不变，分子也需要同时除以同一个不为0的整式$3x$。因此先对左边分式的分子进行提公因式因式分解，提取公因式$3x$后，再将分子分母同时除以$3x$，即可得到括号内的结果，变形依据就是分式的基本性质，注意此处需满足$x≠0$，保证所除的$3x$不为0。
【解析】
1. 对左边分式的分子因式分解：
$3x^2+3xy=3x(x+y)$，因此原式左边可写为$\frac{3x(x+y)}{6x^2}$；
2. 分析分母变化：$6x^2÷3x=2x$，结合分式有意义的条件可知$x≠0$，即$3x$是不为0的整式；
3. 根据分式的基本性质，将分子、分母同时除以$3x$：
$\frac{3x(x+y)÷3x}{6x^2÷3x}=\frac{x+y}{2x}$；
因此括号内应填$x+y$，变形的依据是分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
【答案】
$x+y$；分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变
【知识点】
分式的基本性质、提公因式法因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式性质应用的基础题，解题核心是先观察分母的变化确定分子分母同除的公因式，需注意所除的整式不能为0，熟练掌握分式的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.85
3.若分式$\frac{x}{y}$中的$x$，$y$的值都扩大为原来的3倍，则分式的值。
答案
解：
将x，y均扩大为原来的3倍后，得到新分式为$\frac{3x}{3y}$，
根据分式的基本性质，分子、分母同时除以3，可得：
$\frac{3x}{3y}=\frac{x}{y}$
因此分式的值不变。
将x，y均扩大为原来的3倍后，得到新分式为$\frac{3x}{3y}$，
根据分式的基本性质，分子、分母同时除以3，可得：
$\frac{3x}{3y}=\frac{x}{y}$
因此分式的值不变。
解析
【分析】
拿到这道题我们可以按照三步思路求解：第一步，明确“x，y的值都扩大为原来的3倍”的含义，就是把原分式中的x替换为3x、y替换为3y，代入得到变化后的新分式；第二步，运用分式的基本性质对新分式进行化简；第三步，把化简后的结果和原分式对比，即可判断分式值的变化情况。
【解析】
将x，y均扩大为原来的3倍后，得到新分式为$\frac{3x}{3y}$，
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，这里分子、分母同时除以3（3≠0），可得：
$\frac{3x}{3y}=\frac{3x÷3}{3y÷3}=\frac{x}{y}$
化简后结果和原分式完全相等，因此分式的值不变。
【答案】不变
【知识点】
分式的基本性质、分式的化简
【点评】
本题是分式性质应用的基础题，只要准确理解变量变化的含义，正确代入化简就能快速得出结果，是对分式核心性质的直接考查。
【难度系数】
0.9
拿到这道题我们可以按照三步思路求解：第一步，明确“x，y的值都扩大为原来的3倍”的含义，就是把原分式中的x替换为3x、y替换为3y，代入得到变化后的新分式；第二步，运用分式的基本性质对新分式进行化简；第三步，把化简后的结果和原分式对比，即可判断分式值的变化情况。
【解析】
将x，y均扩大为原来的3倍后，得到新分式为$\frac{3x}{3y}$，
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，这里分子、分母同时除以3（3≠0），可得：
$\frac{3x}{3y}=\frac{3x÷3}{3y÷3}=\frac{x}{y}$
化简后结果和原分式完全相等，因此分式的值不变。
【答案】不变
【知识点】
分式的基本性质、分式的化简
【点评】
本题是分式性质应用的基础题，只要准确理解变量变化的含义，正确代入化简就能快速得出结果，是对分式核心性质的直接考查。
【难度系数】
0.9
4.利用分式的基本性质填空：
(1)$\frac{3a}{5xy}=\frac{(\quad)}{10axy}(a≠0)$；
(2)$\frac{a+2}{a^2 -4}=\frac{1}{(\quad)}$。
(1)$\frac{3a}{5xy}=\frac{(\quad)}{10axy}(a≠0)$；
(2)$\frac{a+2}{a^2 -4}=\frac{1}{(\quad)}$。
答案
(1) $\boldsymbol{6a^2}$；(2) $\boldsymbol{a-2}$。
解析
【分析】
解题要用到分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
(1)先观察分母的变化：原分母5xy变为10axy，计算得分母乘了2a（a≠0，符合性质要求），因此分子也要乘相同的2a就能得到结果。
(2)先对原分母做因式分解，再观察分子的变化：原分子a+2变为1，是除以了a+2（隐含a+2≠0，原分式才有意义），因此分母也要除以相同的a+2即可得到结果。
【解析】
(1) 对比分母：$10axy ÷ 5xy = 2a$，已知$a≠0$，根据分式的基本性质，分子需同乘2a：
$3a × 2a = 6a^2$，故括号内填$6a^2$。
(2) 先对原分母因式分解，由平方差公式得：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，
对比分子：$1 ÷ (a+2) = \frac{1}{a+2}$，即分子除以了$a+2$，原分式有意义则$a+2≠0$，根据分式的基本性质，分母需同除以$a+2$：
$(a+2)(a-2) ÷ (a+2) = a-2$，故括号内填$a-2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6a^2}$；(2) $\boldsymbol{a-2}$
【知识点】
分式的基本性质，平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用，解题时需先观察已知分子或分母的变化规律，再对应对未知部分做相同的乘除变换，注意变换时所乘除的整式不能为0，第二问需先对多项式因式分解再计算。
【难度系数】
0.85
解题要用到分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。
(1)先观察分母的变化：原分母5xy变为10axy，计算得分母乘了2a（a≠0，符合性质要求），因此分子也要乘相同的2a就能得到结果。
(2)先对原分母做因式分解，再观察分子的变化：原分子a+2变为1，是除以了a+2（隐含a+2≠0，原分式才有意义），因此分母也要除以相同的a+2即可得到结果。
【解析】
(1) 对比分母：$10axy ÷ 5xy = 2a$，已知$a≠0$，根据分式的基本性质，分子需同乘2a：
$3a × 2a = 6a^2$，故括号内填$6a^2$。
(2) 先对原分母因式分解，由平方差公式得：$a^2-4=(a+2)(a-2)$，
对比分子：$1 ÷ (a+2) = \frac{1}{a+2}$，即分子除以了$a+2$，原分式有意义则$a+2≠0$，根据分式的基本性质，分母需同除以$a+2$：
$(a+2)(a-2) ÷ (a+2) = a-2$，故括号内填$a-2$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{6a^2}$；(2) $\boldsymbol{a-2}$
【知识点】
分式的基本性质，平方差公式因式分解
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用，解题时需先观察已知分子或分母的变化规律，再对应对未知部分做相同的乘除变换，注意变换时所乘除的整式不能为0，第二问需先对多项式因式分解再计算。
【难度系数】
0.85
5.不改变分式的值，把分式$\frac{0.4x+2}{0.5x-1}$中分子、分母的各项系数化成整数：
.
.
答案
解：根据分式的基本性质，将分式的分子、分母同时乘以10，得
$\frac{0.4x+2}{0.5x-1} = \frac{(0.4x+2)×10}{(0.5x-1)×10} = \frac{4x+20}{5x-10}$
最终结果为$\boldsymbol{\frac{4x+20}{5x-10}}$。
$\frac{0.4x+2}{0.5x-1} = \frac{(0.4x+2)×10}{(0.5x-1)×10} = \frac{4x+20}{5x-10}$
最终结果为$\boldsymbol{\frac{4x+20}{5x-10}}$。
解析
【分析】
要在不改变分式的值的前提下，将分子、分母的各项系数化为整数，需依据分式的基本性质求解。观察本题中分子、分母的系数均为一位小数，因此选择给分子、分母同时乘以10，即可将所有小数系数转化为整数，注意乘的时候要乘分子、分母的每一项，不能漏乘常数项。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。将该分式的分子、分母同时乘以10，计算得：
$\frac{0.4x+2}{0.5x-1} = \frac{(0.4x+2)×10}{(0.5x-1)×10} = \frac{4x+20}{5x-10}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{4x+20}{5x-10}}$
【知识点】
1.分式的基本性质；2.分式系数化简
【点评】
本题是分式性质应用的基础题，解题的关键是准确找到分子分母系数的最小公倍数，同时注意运算时不要漏乘常数项，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.9
要在不改变分式的值的前提下，将分子、分母的各项系数化为整数，需依据分式的基本性质求解。观察本题中分子、分母的系数均为一位小数，因此选择给分子、分母同时乘以10，即可将所有小数系数转化为整数，注意乘的时候要乘分子、分母的每一项，不能漏乘常数项。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。将该分式的分子、分母同时乘以10，计算得：
$\frac{0.4x+2}{0.5x-1} = \frac{(0.4x+2)×10}{(0.5x-1)×10} = \frac{4x+20}{5x-10}$
【答案】
$\boldsymbol{\frac{4x+20}{5x-10}}$
【知识点】
1.分式的基本性质；2.分式系数化简
【点评】
本题是分式性质应用的基础题，解题的关键是准确找到分子分母系数的最小公倍数，同时注意运算时不要漏乘常数项，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.9
6. 下列从左到右的变形:①$\frac{a}{b}=\frac{a^2}{ab}$；②$\frac{a}{b}=\frac{ab}{b^2}$；③$\frac{ac}{bc}=\frac{a}{b}$；④$\frac{a}{b}=\frac{a(x^2+1)}{b(x^2+1)}$。其中正确的是（填序号）。
答案
解：根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，逐一分析：
① 该变形是分子分母同乘整式$a$，未说明$a≠0$，当$a=0$时变形不成立，故①错误；
② 原分式$\frac{a}{b}$中隐含$b≠0$，分子分母同乘$b$，可得$\frac{a}{b}=\frac{ab}{b^2}$，变形正确；
③ 分式$\frac{ac}{bc}$的分母为$bc$，隐含$c≠0$，分子分母同除以$c$，可得$\frac{ac}{bc}=\frac{a}{b}$，变形正确；
④ 对任意实数$x$，都有$x^2+1≥1≠0$，分子分母同乘不为0的整式$x^2+1$，可得$\frac{a}{b}=\frac{a(x^2+1)}{b(x^2+1)}$，变形正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{②③④}$。
① 该变形是分子分母同乘整式$a$，未说明$a≠0$，当$a=0$时变形不成立，故①错误；
② 原分式$\frac{a}{b}$中隐含$b≠0$，分子分母同乘$b$，可得$\frac{a}{b}=\frac{ab}{b^2}$，变形正确；
③ 分式$\frac{ac}{bc}$的分母为$bc$，隐含$c≠0$，分子分母同除以$c$，可得$\frac{ac}{bc}=\frac{a}{b}$，变形正确；
④ 对任意实数$x$，都有$x^2+1≥1≠0$，分子分母同乘不为0的整式$x^2+1$，可得$\frac{a}{b}=\frac{a(x^2+1)}{b(x^2+1)}$，变形正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{②③④}$。
解析
【分析】
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：首先明确分式基本性质的核心要求：分式的分子与分母同乘（或除以）一个整式时，这个整式必须不等于0，分式的值才不变。接下来结合原式隐含的分母不为0的条件，逐个判断四个变形中乘/除的整式是否满足不为0的要求，即可得出正确结论。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，逐一分析：
① 该变形是分子分母同乘整式$a$，未说明$a≠0$，当$a=0$时，分母$ab=0$，分式无意义，变形不成立，故①错误；
② 原分式$\frac{a}{b}$有意义，隐含$b≠0$，分子分母同乘$b$，可得$\frac{a}{b}=\frac{ab}{b^2}$，符合分式基本性质，变形正确；
③ 原分式$\frac{ac}{bc}$有意义，隐含$c≠0$，分子分母同除以$c$，可得$\frac{ac}{bc}=\frac{a}{b}$，符合分式基本性质，变形正确；
④ 由平方的非负性可知，对任意实数$x$，都有$x^2+1≥1≠0$，分子分母同乘不为0的整式$x^2+1$，可得$\frac{a}{b}=\frac{a(x^2+1)}{b(x^2+1)}$，符合分式基本性质，变形正确。
综上，正确的是②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件；平方的非负性
【点评】
本题是分式性质应用的典型基础题，解题的易错点是忽略分子分母同乘除的整式不能为0的前提，尤其要注意原式本身隐含的分母不为0的条件，以及类似$x^2+1$这类恒不为0的整式的判断，掌握好前提条件就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
本题考查分式基本性质的应用，解题思路如下：首先明确分式基本性质的核心要求：分式的分子与分母同乘（或除以）一个整式时，这个整式必须不等于0，分式的值才不变。接下来结合原式隐含的分母不为0的条件，逐个判断四个变形中乘/除的整式是否满足不为0的要求，即可得出正确结论。
【解析】
根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，逐一分析：
① 该变形是分子分母同乘整式$a$，未说明$a≠0$，当$a=0$时，分母$ab=0$，分式无意义，变形不成立，故①错误；
② 原分式$\frac{a}{b}$有意义，隐含$b≠0$，分子分母同乘$b$，可得$\frac{a}{b}=\frac{ab}{b^2}$，符合分式基本性质，变形正确；
③ 原分式$\frac{ac}{bc}$有意义，隐含$c≠0$，分子分母同除以$c$，可得$\frac{ac}{bc}=\frac{a}{b}$，符合分式基本性质，变形正确；
④ 由平方的非负性可知，对任意实数$x$，都有$x^2+1≥1≠0$，分子分母同乘不为0的整式$x^2+1$，可得$\frac{a}{b}=\frac{a(x^2+1)}{b(x^2+1)}$，符合分式基本性质，变形正确。
综上，正确的是②③④。
【答案】
②③④
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件；平方的非负性
【点评】
本题是分式性质应用的典型基础题，解题的易错点是忽略分子分母同乘除的整式不能为0的前提，尤其要注意原式本身隐含的分母不为0的条件，以及类似$x^2+1$这类恒不为0的整式的判断，掌握好前提条件就能轻松解题。
【难度系数】
0.7
7.若$\frac{(3a-2)x}{(2-3a)(2-x)}=\frac{x}{x-2}$成立，则a的取值范围是。
答案
解：
根据分式的基本性质，对等式左边变形：
$\because 2-x = -(x-2)$，
$\therefore \frac{(3a-2)x}{(2-3a)(2-x)} = \frac{(3a-2)x}{(2-3a)·[-(x-2)]} = \frac{-(2-3a)x}{-(2-3a)(x-2)}$。
要使上式约去$-(2-3a)$后等于$\frac{x}{x-2}$，需保证约去的整式不为0，即：
$2-3a ≠ 0$，
解得$a ≠ \frac{2}{3}$。
$a ≠ \frac{2}{3}$
根据分式的基本性质，对等式左边变形：
$\because 2-x = -(x-2)$，
$\therefore \frac{(3a-2)x}{(2-3a)(2-x)} = \frac{(3a-2)x}{(2-3a)·[-(x-2)]} = \frac{-(2-3a)x}{-(2-3a)(x-2)}$。
要使上式约去$-(2-3a)$后等于$\frac{x}{x-2}$，需保证约去的整式不为0，即：
$2-3a ≠ 0$，
解得$a ≠ \frac{2}{3}$。
$a ≠ \frac{2}{3}$
解析
【分析】
要确定a的取值范围，需结合分式的基本性质分析。首先观察等式左右两边分式的结构，先将左边分式中分母的$2-x$变形为$-(x-2)$，分子的$3a-2$变形为$-(2-3a)$，变形后左边分式的分子分母会出现公因式$2-3a$。根据分式约分的要求，约去的公因式不能为0（否则分式无意义，无法约分），据此列不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
根据分式的基本性质对等式左边的分式变形：
∵ $2-x = -(x-2)$，$3a-2 = -(2-3a)$
∴ $\frac{(3a-2)x}{(2-3a)(2-x)} = \frac{-(2-3a)x}{(2-3a)·[-(x-2)]} = \frac{-(2-3a)x}{-(2-3a)(x-2)}$
要使上式约去公因式$-(2-3a)$后等于$\frac{x}{x-2}$，需保证约去的整式不为0，即：
$2-3a ≠ 0$
解这个不等式得：$a ≠ \frac{2}{3}$
（注：分式有意义的隐含条件为$x≠2$，不影响a的取值范围）
【答案】
$a ≠ \frac{2}{3}$
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题重点考查分式基本性质的应用，易错点是忽略约分的前提是约去的因式不能为0，牢记分式变形时需保证所有涉及的分式都有意义，即可快速解题。
【难度系数】
0.7
要确定a的取值范围，需结合分式的基本性质分析。首先观察等式左右两边分式的结构，先将左边分式中分母的$2-x$变形为$-(x-2)$，分子的$3a-2$变形为$-(2-3a)$，变形后左边分式的分子分母会出现公因式$2-3a$。根据分式约分的要求，约去的公因式不能为0（否则分式无意义，无法约分），据此列不等式求解即可得到a的取值范围。
【解析】
根据分式的基本性质对等式左边的分式变形：
∵ $2-x = -(x-2)$，$3a-2 = -(2-3a)$
∴ $\frac{(3a-2)x}{(2-3a)(2-x)} = \frac{-(2-3a)x}{(2-3a)·[-(x-2)]} = \frac{-(2-3a)x}{-(2-3a)(x-2)}$
要使上式约去公因式$-(2-3a)$后等于$\frac{x}{x-2}$，需保证约去的整式不为0，即：
$2-3a ≠ 0$
解这个不等式得：$a ≠ \frac{2}{3}$
（注：分式有意义的隐含条件为$x≠2$，不影响a的取值范围）
【答案】
$a ≠ \frac{2}{3}$
【知识点】
分式的基本性质；分式有意义的条件；解一元一次不等式
【点评】
本题重点考查分式基本性质的应用，易错点是忽略约分的前提是约去的因式不能为0，牢记分式变形时需保证所有涉及的分式都有意义，即可快速解题。
【难度系数】
0.7
8. 阅读材料：
∵ $\frac{a}{b}=-2$，
∴ $a=-2b$. ………第一步
∴ $\frac{a^2 - 2ab - 3b^2}{a^2 - 6ab - 7b^2} =$
$\frac{(-2b)^2 - 2(-2b)b - 3b^2}{(-2b)^2 - 6(-2b)b - 7b^2} = \frac{5b^2}{9b^2} = \frac{5}{9}$. ………第二步
(1)解答下列问题：
①第一步运用了的基本性质；
②第二步的解题过程运用了的方法，$\frac{5b^2}{9b^2}=\frac{5}{9}$是对分式进行了.
(2)模仿材料解答：已知$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}≠0$，求$\frac{x+y-z}{x-y+z}$的值.
∵ $\frac{a}{b}=-2$，
∴ $a=-2b$. ………第一步
∴ $\frac{a^2 - 2ab - 3b^2}{a^2 - 6ab - 7b^2} =$
$\frac{(-2b)^2 - 2(-2b)b - 3b^2}{(-2b)^2 - 6(-2b)b - 7b^2} = \frac{5b^2}{9b^2} = \frac{5}{9}$. ………第二步
(1)解答下列问题：
①第一步运用了的基本性质；
②第二步的解题过程运用了的方法，$\frac{5b^2}{9b^2}=\frac{5}{9}$是对分式进行了.
(2)模仿材料解答：已知$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}≠0$，求$\frac{x+y-z}{x-y+z}$的值.
答案
解：
(1) ① 等式
② 代入消元；约分
(2) 设$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=k\ (k≠0)$，
则$x=3k$，$y=4k$，$z=5k$，
将其代入分式得：
$\begin{aligned}\frac{x+y-z}{x-y+z}&=\frac{3k+4k-5k}{3k-4k+5k}\\&=\frac{2k}{4k}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
综上，$\frac{x+y-z}{x-y+z}$的值为$\frac{1}{2}$。
(1) ① 等式
② 代入消元；约分
(2) 设$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=k\ (k≠0)$，
则$x=3k$，$y=4k$，$z=5k$，
将其代入分式得：
$\begin{aligned}\frac{x+y-z}{x-y+z}&=\frac{3k+4k-5k}{3k-4k+5k}\\&=\frac{2k}{4k}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
综上，$\frac{x+y-z}{x-y+z}$的值为$\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
(1) ① 第一步由$\frac{a}{b}=-2$推导得到$a=-2b$，是在等式两边同时乘不为0的$b$，符合等式的基本性质；② 第二步将$a=-2b$代入分式计算，是代入消元的方法，$\frac{5b^2}{9b^2}$约去分子分母的公因式$b^2$得到$\frac{5}{9}$，属于分式的约分操作。
(2) 遇到连比形式的等式时，可先设比值为参数$k$（$k≠0$），将$x、y、z$全部转化为含$k$的代数式，再代入待求分式，分子分母的参数$k$可通过约分化去，即可得到分式的结果。
【解析】
(1) ① 等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立，因此第一步运用了等式的基本性质；
② 把$a=-2b$整体代入分式运算，运用了代入消元的方法；$\frac{5b^2}{9b^2}$约去公因式$b^2$得到$\frac{5}{9}$，是对分式进行约分。
(2) 设$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=k\ (k≠0)$，
则$x=3k$，$y=4k$，$z=5k$，
将其代入分式得：
$\begin{aligned}\frac{x+y-z}{x-y+z}&=\frac{3k+4k-5k}{3k-4k+5k}\\&=\frac{2k}{4k}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) ① 等式；② 代入消元；约分
(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
等式的基本性质，分式约分，参数法求值
【点评】
本题既考察了等式、分式的基础概念，又考察了连比式的求值技巧，设参数是解决比值类问题的常用方法，熟练掌握该技巧可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
(1) ① 第一步由$\frac{a}{b}=-2$推导得到$a=-2b$，是在等式两边同时乘不为0的$b$，符合等式的基本性质；② 第二步将$a=-2b$代入分式计算，是代入消元的方法，$\frac{5b^2}{9b^2}$约去分子分母的公因式$b^2$得到$\frac{5}{9}$，属于分式的约分操作。
(2) 遇到连比形式的等式时，可先设比值为参数$k$（$k≠0$），将$x、y、z$全部转化为含$k$的代数式，再代入待求分式，分子分母的参数$k$可通过约分化去，即可得到分式的结果。
【解析】
(1) ① 等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立，因此第一步运用了等式的基本性质；
② 把$a=-2b$整体代入分式运算，运用了代入消元的方法；$\frac{5b^2}{9b^2}$约去公因式$b^2$得到$\frac{5}{9}$，是对分式进行约分。
(2) 设$\frac{x}{3}=\frac{y}{4}=\frac{z}{5}=k\ (k≠0)$，
则$x=3k$，$y=4k$，$z=5k$，
将其代入分式得：
$\begin{aligned}\frac{x+y-z}{x-y+z}&=\frac{3k+4k-5k}{3k-4k+5k}\\&=\frac{2k}{4k}\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
(1) ① 等式；② 代入消元；约分
(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
等式的基本性质，分式约分，参数法求值
【点评】
本题既考察了等式、分式的基础概念，又考察了连比式的求值技巧，设参数是解决比值类问题的常用方法，熟练掌握该技巧可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.8
