1.如图，一架梯子斜靠在与地面BC垂直的墙上，梯子与墙的夹角∠BAC=30°.若梯子AB的长为8 m，则BC的长为 m.

$\boldsymbol{4}$

【分析】
首先根据题意墙与地面垂直，可判断△ACB是直角三角形，∠C=90°。已知∠BAC=30°，斜边AB的长度，要求BC的长，可运用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质求解，30°角∠BAC对的直角边恰好是BC，因此BC长度为AB的一半。
【解析】
解：由题意可知AC⊥BC，因此∠ACB=90°，△ABC为直角三角形。
在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=8m，
根据直角三角形的性质：直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4(\mathrm{m})$
【答案】
4
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质、垂直的定义
【点评】
本题是基础题，解题关键是先结合实际场景确定三角形为直角三角形，再对应运用含30°角的直角三角形的性质计算，熟记相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9

2.如图,在等边三角形ABC中,D是AB的中点,DE⊥AC于点E,EF⊥BC于点F.若AB=16 cm,则CF=cm.

$\boldsymbol{6}$

【分析】
解题时首先利用等边三角形的性质得到三边长度和各内角度数，再结合线段中点的定义求出AD的长度；接下来在含有30°角的直角三角形ADE中，根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”求出AE的长度，进而得到EC的长度；最后在直角三角形EFC中，再次利用30°角直角三角形的性质即可求出CF的长度。
【解析】
∵△ABC是等边三角形，AB=16cm，
∴AB=AC=BC=16cm，∠A=∠C=60°，
∵D是AB的中点，
∴AD=$\frac{1}{2}$AB=8cm，
∵DE⊥AC，
∴∠AED=90°，
在Rt△ADE中，∠ADE=90°-∠A=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$×8=4cm，
∴EC=AC-AE=16-4=12cm，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°，
在Rt△EFC中，∠CEF=90°-∠C=30°，
∴CF=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$×12=6cm。
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
等边三角形的性质；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是几何基础计算题，解题的核心是熟练掌握等边三角形的角、边性质，以及含30°角的直角三角形的边长关系，通过逐步推导线段长度即可得到结果。
【难度系数】
0.7

3.如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ B=30°$，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D，连接AD。若CD=5，则BC=。

$\boldsymbol{15}$

【分析】
解题时首先从已知条件“AB的垂直平分线DE”入手，回忆线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，进而推出∠BAD=∠B=30°；再结合△ABC是直角三角形，先计算出∠BAC的度数，得到∠DAC=30°；接下来利用含30°角的直角三角形的性质，求出AD的长度，也就得到了BD的长度，最后将BD与CD相加即可得到BC的长度。
【解析】
解：
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B=30°，
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=90°-∠B=60°，
∴∠DAC=∠BAC - ∠BAD=60°-30°=30°，
在Rt△ADC中，∠C=90°，∠DAC=30°，CD=5，
∴AD=2CD=2×5=10，
∴BD=AD=10，
∴BC=BD+CD=10+5=15。
【答案】
$\boldsymbol{15}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考察了多个基础几何性质，解题的关键是通过垂直平分线的性质得到相等线段，进而推导角的度数，再结合特殊直角三角形的性质完成线段长度的计算，是几何部分的常见题型。
【难度系数】
0.7

4. 提升题 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，$AB=60\ \mathrm{cm}$. 动点$P$，$Q$同时从$A$，$B$两点出发，分别在$AB$，$BC$边上匀速移动，点$P$的运动速度为$2\ \mathrm{cm/s}$，点$Q$的运动速度为$1\ \mathrm{cm/s}$. 当点$P$到达点$B$时，$P$，$Q$两点同时停止运动. 设点$P$的运动时间为$t\ \mathrm{s}$.
(1)当$t$为何值时，$△ PBQ$为等边三角形？
(2)当$t$为何值时，$△ PBQ$为直角三角形？

解：
在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
∴ ∠B=60°，$BC=\frac{1}{2}AB=30\ \mathrm{cm}$。
由题意得：$AP=2t\ \mathrm{cm}$，$BQ=t\ \mathrm{cm}$，
∴ $PB=AB-AP=(60-2t)\ \mathrm{cm}$，其中$0≤ t≤30$。
(1) 若△PBQ为等边三角形，
∵ ∠B=60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，
∴ 只需满足 $PB=BQ$，
即 $60-2t=t$，
解得 $t=20$。
∴ 当$t=20$时，△PBQ为等边三角形。
(2) 若△PBQ为直角三角形，已知∠B=60°，分两种情况：
① 当∠PQB=90°时，∠BPQ=30°，
由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得$BQ=\frac{1}{2}PB$，
即 $t=\frac{1}{2}(60-2t)$，
解得 $t=15$；
② 当∠BPQ=90°时，∠BQP=30°，
由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得$PB=\frac{1}{2}BQ$，
即 $60-2t=\frac{1}{2}t$，
解得 $t=24$。
综上，当$t=15$或$t=24$时，△PBQ为直角三角形。

【分析】
首先先分析静态三角形$△ABC$的已知条件：由$∠C=90°$，$∠A=30°$，可先求出$∠B=60°$、$BC$的长度；再结合动点的运动速度，用含$t$的代数式表示出$PB$、$BQ$的长度，并确定$t$的取值范围。
(1) 要判断$△PBQ$为等边三角形，已知$∠B=60°$，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，只需满足$PB=BQ$，列方程求解即可。
(2) 要判断$△PBQ$为直角三角形，已知$∠B=60°$，因此直角顶点只能是$P$或$Q$，分两种情况讨论：每种情况利用“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”列方程求解，最后验证解是否符合$t$的取值范围。
【解析】
在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ A=30°$，
∴ $∠B=180°-90°-30°=60°$，$BC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×60=30\ \mathrm{cm}$。
由题意得：点P的运动路程$AP=2t\ \mathrm{cm}$，点Q的运动路程$BQ=t\ \mathrm{cm}$，
∴ $PB=AB-AP=(60-2t)\ \mathrm{cm}$，其中$t$的取值范围为$0≤ t≤30$。
(1) 若$△ PBQ$为等边三角形，
∵ $∠B=60°$，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，
∴ 只需满足 $PB=BQ$，
即 $60-2t=t$，
解得 $t=20$，符合$0≤ t≤30$。
(2) 若$△ PBQ$为直角三角形，已知$∠B=60°$，分两种情况讨论：
① 当$∠PQB=90°$时，$∠BPQ=30°$，
由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得$BQ=\frac{1}{2}PB$，
即 $t=\frac{1}{2}(60-2t)$，
解得 $t=15$，符合$0≤ t≤30$；
② 当$∠BPQ=90°$时，$∠BQP=30°$，
由直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，得$PB=\frac{1}{2}BQ$，
即 $60-2t=\frac{1}{2}t$，
解得 $t=24$，符合$0≤ t≤30$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{t=20}$；
(2) $\boldsymbol{t=15}$或$\boldsymbol{t=24}$
【知识点】
1. 含30°角的直角三角形性质
2. 等边三角形的判定
3. 分类讨论思想
【点评】
本题结合动点问题考查特殊三角形的判定与性质，解题的核心是将运动路程转化为对应线段的长度，求解直角三角形问题时需注意分类讨论直角的位置，避免漏解，同时要注意检验结果是否符合运动的实际取值范围。
【难度系数】
0.6