例 如图，搭一个正方形需要4根火柴.

（1）按上面的方式，搭2个正方形需要根火柴，搭3个正方形需要根火柴，搭7个这样的正方形需要根火柴.
（2）搭100个这样的正方形需要多少根火柴？
（3）如果用x表示所搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴？
（4）根据你的计算方法，搭200个这样的正方形需要根火柴；搭2027个这样的正方形需要根火柴.

(1). 7 10 22
(2). 搭 100 个这样的正方形需要 1+3×100=301(根)火柴.
(3). (3x+1)根.
(4). 601 6 082

【分析】
解题时先观察图形的火柴数量变化：搭1个正方形用4根火柴，搭2个正方形时两个正方形共用1条边，总火柴数比2个独立正方形少1根为7根；搭3个正方形时共用2条边，总火柴数比3个独立正方形少2根为10根。可总结出规律：每多搭1个正方形就增加3根火柴，因此搭x个正方形的火柴总数可以用代数式表示，再将对应x的数值代入计算即可得到各小问答案。
【解析】
（1）观察图形直接计数：搭2个正方形需要7根火柴，搭3个正方形需要10根火柴。
由上述规律可得，搭x个正方形需要的火柴数为：$4+3(x-1)=3x+1$（根），当x=7时，$3×7+1=22$，即搭7个正方形需要22根火柴。
（2）当x=100时，代入$3x+1$计算得：$3×100+1=301$（根）。
（3）将正方形个数用x表示，代入规律可得，搭x个正方形需要$(3x+1)$根火柴。
（4）当x=200时，$3×200+1=601$（根）；当x=2027时，$3×2027+1=6082$（根）。
【答案】
(1) 7；10；22
(2) 301根
(3) $(3x+1)$根
(4) 601；6082
【知识点】
图形规律探究；列代数式；代数式求值
【点评】
本题是典型的图形类规律探究基础题，解题核心是通过观察相邻图形的差异找到数量变化的通用规律，将图形特征转化为代数式，再通过代入计算解决具体数值类问题，掌握此类题的分析方法可提升逻辑推理和代数应用能力。
【难度系数】
0.75

如图，把高度为11 cm 的同种杯子叠在一起，2个的高度是13 cm，3个的高度是15 cm……呈现一定的规律. 由此推断，n个杯子叠在一起的高度是cm.

(9+2n)

【分析】
首先观察给出的杯子叠放高度数据：1个杯子高11cm，2个杯子叠放高13cm，3个杯子叠放高15cm。第一步先计算相邻数量的高度差，判断每多叠1个杯子高度的增量：13-11=2cm，15-13=2cm，可知每增加1个杯子，总高度就增加2cm。接下来推导n个杯子的总高度：最下方1个杯子贡献完整的11cm高度，上方每多1个杯子仅增加2cm的高度，n个杯子时上方共有(n-1)个额外叠加的杯子，因此总高度可表示为基础高度加上额外增加的高度，再化简代数式即可得到规律。
【解析】
解：首先计算每新增1个杯子增加的高度：
$13-11=2(\mathrm{cm})$，$15-13=2(\mathrm{cm})$，即每多叠1个杯子，总高度增加2cm。
n个杯子叠放时，总高度 = 1个杯子的高度 + (n-1)×每个新增杯子的增高量，代入得：
$\begin{split}\mathrm{总高度}&=11 + 2(n-1)\\&=11 + 2n - 2\\&=9+2n(\mathrm{cm})\end{split}$
验证：当n=1时，$9+2×1=11$，符合已知条件；n=2时，$9+2×2=13$，符合；n=3时，$9+2×3=15$，符合规律。
【答案】
$(9+2n)$
【知识点】
图形规律探究，列代数式，整式加减
【点评】
本题属于规律探究类基础题，解题核心是先通过已知数据找到高度随杯子数量增加的变化规律，再结合基础量推导通用表达式，最后代入验证即可，重点考察观察归纳能力和整式运算能力。
【难度系数】
0.7

已知长方形的面积为120 cm²，完成下列探究.
探究1：根据题意，填表.

探究2：长方形的长和宽这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？
探究3：若用字母a，b分别表示长方形的长和宽，用字母S表示长方形的面积. 你能列出代数式表示该数量关系吗？
新知生成：像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也，且这两个量的一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系.
如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的（k是一个确定的值，且k≠），反比例关系可以用来表示.

1. 探究1 填表如下：长为40cm对应宽3cm，长为30cm对应宽4cm，长为25cm对应宽4.8cm，长为20cm对应宽6cm，长为15cm对应宽8cm
2. 探究2 长方形的长增加，宽减少；长减少，宽增加。长和宽的乘积不变。
3. 探究3 S=ab 或a=S/b 或b=S/a

【分析】
解题时按三个探究逐步推导：1. 探究1利用长方形面积公式“面积=长×宽”，已知面积固定为120cm²，因此宽=面积÷长，将给出的长依次代入计算即可得到对应宽的值。2. 探究2通过对比表格中长和宽的变化趋势，再计算长和宽的乘积，就能总结出两个量的变化规律和关系。3. 探究3直接将指定字母代入长方形面积公式即可得到数量关系，再结合反比例的定义完成对应填空即可。
【解析】
探究1
已知长方形面积为120cm²，根据长方形面积公式$\mathrm{面积}=\mathrm{长}×\mathrm{宽}$，可得$\mathrm{宽}=120÷\mathrm{长}$：
当长为40cm时，宽$=120÷40=3$cm
当长为30cm时，宽$=120÷30=4$cm
当长为25cm时，宽$=120÷25=4.8$cm
当长为20cm时，宽$=120÷20=6$cm
当长为15cm时，宽$=120÷15=8$cm
探究2
观察表格中长和宽的数值：长逐渐增大时宽逐渐减小，长逐渐减小时宽逐渐增大，且每组长和宽的乘积都等于120cm²，即长和宽的乘积保持不变。
探究3
已知a表示长，b表示宽，S表示面积，代入长方形面积公式可得数量关系：$S=ab$，也可变形为$a=\frac{S}{b}$或$b=\frac{S}{a}$。
新知生成填空
根据反比例的定义依次填写：两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系。如果用字母x和y表示两个相关联的量，用k表示它们的乘积（k是一个确定的值，且$k\ne0$），反比例关系可以用$xy=k$（一定）来表示。
【答案】
1. 探究1表格从左到右依次填：$\boxed{3}$、$\boxed{4}$、$\boxed{4.8}$、$\boxed{6}$、$\boxed{8}$
2. 探究2：长方形的长增加时宽减少，长减少时宽增加，长和宽的乘积不变。
3. 探究3：$\boxed{S=ab}$（或$a=\frac{S}{b}$、$b=\frac{S}{a}$）
4. 新知生成依次填：$\boxed{随着变化}$、$\boxed{乘积}$、$\boxed{乘积}$、$\boxed{0}$、$\boxed{xy=k（一定）}$
【知识点】
长方形面积计算、反比例的意义、用字母表示数
【点评】
本题结合长方形面积的实际情境，从计算、规律观察到概念归纳逐步递进，既考查了长方形面积公式的灵活应用，也帮助大家直观理解反比例关系的核心特征，是基础概念类的典型习题。
【难度系数】
0.8