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13. (★★)已知关于x的方程$3x - x = -2a + 7$,小明同学在解方程时,把方程右边的“$-2a + 7$”抄成了“$-2a - 7$”,解得的结果为$x = 2$,求原方程的解.
答案
解：
将$x=2$代入抄错后的方程$3x - x = -2a - 7$，得：
$3×2 - 2 = -2a -7$
化简左边，得：$4 = -2a -7$
移项，得：$2a = -7 -4$
合并同类项，得：$2a = -11$
将$2a=-11$代入原方程$3x - x = -2a +7$，得：
$2x = 11 +7$
合并同类项，得：$2x = 18$
系数化为1，得：$x=9$
原方程的解为$x=9$。
将$x=2$代入抄错后的方程$3x - x = -2a - 7$，得：
$3×2 - 2 = -2a -7$
化简左边，得：$4 = -2a -7$
移项，得：$2a = -7 -4$
合并同类项，得：$2a = -11$
将$2a=-11$代入原方程$3x - x = -2a +7$，得：
$2x = 11 +7$
合并同类项，得：$2x = 18$
系数化为1，得：$x=9$
原方程的解为$x=9$。
解析
【分析】
这是一元一次方程的错解类题目，解题思路分为两步：第一步，小明解得的$x=2$是抄错后方程的正确解，因此先把$x=2$代入抄错的方程，求出参数$a$相关的代数式的值；第二步，将得到的参数相关值代入原正确方程，解出$x$即可，可采用整体代入的方法简化计算。
【解析】
解：
∵$x=2$是抄错后的方程$3x - x = -2a - 7$的解
∴将$x=2$代入$3x - x = -2a -7$，得：
$3×2 - 2 = -2a -7$
化简左边，得：$4 = -2a -7$
移项，得：$2a = -7 - 4$
合并同类项，得：$2a = -11$
将$2a=-11$代入原方程$3x - x = -2a +7$，得：
$2x = 11 + 7$
合并同类项，得：$2x = 18$
系数化为1，得：$x=9$
【答案】
$x=9$
【知识点】
1. 一元一次方程的解的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程的错解应用类问题，解题核心是明确错解对应抄错后方程的正确解，先求出参数相关值再代入原方程求解，重点考查对一元一次方程解的概念的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
这是一元一次方程的错解类题目，解题思路分为两步：第一步，小明解得的$x=2$是抄错后方程的正确解，因此先把$x=2$代入抄错的方程，求出参数$a$相关的代数式的值；第二步，将得到的参数相关值代入原正确方程，解出$x$即可，可采用整体代入的方法简化计算。
【解析】
解：
∵$x=2$是抄错后的方程$3x - x = -2a - 7$的解
∴将$x=2$代入$3x - x = -2a -7$，得：
$3×2 - 2 = -2a -7$
化简左边，得：$4 = -2a -7$
移项，得：$2a = -7 - 4$
合并同类项，得：$2a = -11$
将$2a=-11$代入原方程$3x - x = -2a +7$，得：
$2x = 11 + 7$
合并同类项，得：$2x = 18$
系数化为1，得：$x=9$
【答案】
$x=9$
【知识点】
1. 一元一次方程的解的定义
2. 解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程的错解应用类问题，解题核心是明确错解对应抄错后方程的正确解，先求出参数相关值再代入原方程求解，重点考查对一元一次方程解的概念的理解和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
14. (★★)我国古代使用硫黄、木炭和火硝制作黑火药时，经过长期实践积累，总结出了三种原料的配比是2：3：15，要制作300 kg黑火药，三种原料分别需要多少千克？
答案
解：设每份原料的质量为$x$ kg，则硫黄需要$2x$ kg，木炭需要$3x$ kg，火硝需要$15x$ kg。
根据题意列方程，得：
$2x + 3x + 15x = 300$
合并同类项，得：
$20x = 300$
系数化为1，得：
$x = 15$
则$2x=2×15=30$，$3x=3×15=45$，$15x=15×15=225$。
答：需要硫黄30千克，木炭45千克，火硝225千克。
根据题意列方程，得：
$2x + 3x + 15x = 300$
合并同类项，得：
$20x = 300$
系数化为1，得：
$x = 15$
则$2x=2×15=30$，$3x=3×15=45$，$15x=15×15=225$。
答：需要硫黄30千克，木炭45千克，火硝225千克。
解析
【分析】
这是一道结合按比例分配的一元一次方程实际应用题，解题思路如下：首先根据三种原料的配比2:3:15，设每份原料的质量为x kg，即可用含x的式子分别表示三种原料的质量；再依据“三种原料总质量为300kg”的等量关系列出方程，求解得到x的值后，分别代入三种原料的质量表达式计算，就能得出各原料所需的质量。
【解析】
解：设每份原料的质量为$x$ kg，则硫黄需要$2x$ kg，木炭需要$3x$ kg，火硝需要$15x$ kg。
根据题意列方程，得：
$2x + 3x + 15x = 300$
合并同类项，得：
$20x = 300$
系数化为1，得：
$x = 15$
则$2x=2×15=30$，$3x=3×15=45$，$15x=15×15=225$。
答：需要硫黄30千克，木炭45千克，火硝225千克。
【答案】
硫黄30千克，木炭45千克，火硝225千克
【知识点】
按比例分配、一元一次方程的应用、解一元一次方程
【点评】
本题是比例类实际问题的基础题型，解题核心是根据比例关系合理设未知数，结合总数量的等量关系列方程求解，计算难度低，掌握按比例设元的技巧即可快速解答。
【难度系数】
0.85
这是一道结合按比例分配的一元一次方程实际应用题，解题思路如下：首先根据三种原料的配比2:3:15，设每份原料的质量为x kg，即可用含x的式子分别表示三种原料的质量；再依据“三种原料总质量为300kg”的等量关系列出方程，求解得到x的值后，分别代入三种原料的质量表达式计算，就能得出各原料所需的质量。
【解析】
解：设每份原料的质量为$x$ kg，则硫黄需要$2x$ kg，木炭需要$3x$ kg，火硝需要$15x$ kg。
根据题意列方程，得：
$2x + 3x + 15x = 300$
合并同类项，得：
$20x = 300$
系数化为1，得：
$x = 15$
则$2x=2×15=30$，$3x=3×15=45$，$15x=15×15=225$。
答：需要硫黄30千克，木炭45千克，火硝225千克。
【答案】
硫黄30千克，木炭45千克，火硝225千克
【知识点】
按比例分配、一元一次方程的应用、解一元一次方程
【点评】
本题是比例类实际问题的基础题型，解题核心是根据比例关系合理设未知数，结合总数量的等量关系列方程求解，计算难度低，掌握按比例设元的技巧即可快速解答。
【难度系数】
0.85
15. (★★★)将连续的奇数1,3,5,7,9,…排成如图所示的数阵：
(1)十字框中的五个数的和与中间的数15有什么关系？
(2)设中间数为a,用含a的式子表示十字框中五个数的和.
(3)若将十字框上下左右平移,可框住另外五个数,这五个数的和还有这种规律吗？
(4)若十字框平移后框住的五个数之和为435,求框住的五个数.
(1)十字框中的五个数的和与中间的数15有什么关系？
(2)设中间数为a,用含a的式子表示十字框中五个数的和.
(3)若将十字框上下左右平移,可框住另外五个数,这五个数的和还有这种规律吗？
(4)若十字框平移后框住的五个数之和为435,求框住的五个数.
答案
解：
(1) 十字框中五个数的和为$5+13+15+17+25=75$，$75=15×5$，
可得十字框中的五个数的和是中间数15的5倍。
(2) 若中间数为$a$，则其余四个数分别为$a-10$，$a-2$，$a+2$，$a+10$，
五个数的和为：$(a-10)+(a-2)+a+(a+2)+(a+10)=5a$。
(3) 十字框平移后，上下相邻行同列的数相差10，左右相邻的数相差2，五个数的和仍为$5a$，因此仍然满足五个数的和是中间数的5倍的规律。
(4) 根据题意列方程：$5a=435$，
解得$a=87$，
则$a-10=77$，$a-2=85$，$a+2=89$，$a+10=97$。
答：框住的五个数分别是77，85，87，89，97。
(1) 十字框中五个数的和为$5+13+15+17+25=75$，$75=15×5$，
可得十字框中的五个数的和是中间数15的5倍。
(2) 若中间数为$a$，则其余四个数分别为$a-10$，$a-2$，$a+2$，$a+10$，
五个数的和为：$(a-10)+(a-2)+a+(a+2)+(a+10)=5a$。
(3) 十字框平移后，上下相邻行同列的数相差10，左右相邻的数相差2，五个数的和仍为$5a$，因此仍然满足五个数的和是中间数的5倍的规律。
(4) 根据题意列方程：$5a=435$，
解得$a=87$，
则$a-10=77$，$a-2=85$，$a+2=89$，$a+10=97$。
答：框住的五个数分别是77，85，87，89，97。
解析
【分析】
解决本题首先需要观察数阵的排列规律：数阵由连续奇数排列，每行有5个数，上下相邻行同一列的数相差10，同一行相邻的数相差2。
(1) 先计算十字框内5个数的总和，再和中间数15做比较，即可得出二者的数量关系；
(2) 结合数阵的差值规律，用含中间数a的式子表示出上下左右四个数，再相加化简就能得到五个数的和；
(3) 十字框平移后，数阵本身的排列规律不变，因此五个数的和与中间数的关系也不会改变；
(4) 利用第二问得到的和与中间数的关系列方程，解出中间数后再计算其余四个数即可得到结果。
【解析】
(1) 计算十字框中五个数的和：$5+13+15+17+25=75$，对比中间数15可得$75=15×5$，因此十字框中五个数的和是中间数15的5倍。
(2) 若中间数为$a$，根据数阵规律：上方数比$a$小10，为$a-10$；下方数比$a$大10，为$a+10$；左侧数比$a$小2，为$a-2$；右侧数比$a$大2，为$a+2$。
五个数的和为：
$\begin{aligned}&(a-10)+(a-2)+a+(a+2)+(a+10)\\=&a-10+a-2+a+a+2+a+10\\=&5a\end{aligned}$
(3) 十字框平移后，数阵的排列规律不变：上下相邻行同列数仍相差10，同一行相邻数仍相差2，因此五个数的和仍然为$5a$，依旧满足五个数的和是中间数的5倍的规律。
(4) 设中间数为$a$，根据题意列方程：$5a=435$
解得$a=435÷5=87$
则其余四个数分别为：
$a-10=87-10=77$，$a-2=87-2=85$，$a+2=87+2=89$，$a+10=87+10=97$。
【答案】
(1) 十字框中的五个数的和是中间数15的5倍；
(2) 十字框中五个数的和为$\boldsymbol{5a}$；
(3) 仍然有这种规律，五个数的和是中间数的5倍；
(4) 框住的五个数分别是77，85，87，89，97。
【知识点】
数字规律探究；代数式表示数；一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的数阵规律类题目，解题核心是先找到数阵中数的排列差值规律，再通过代数式推导通用结论，最后利用结论列方程解决问题，能够很好地锻炼学生的规律观察能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
解决本题首先需要观察数阵的排列规律：数阵由连续奇数排列，每行有5个数，上下相邻行同一列的数相差10，同一行相邻的数相差2。
(1) 先计算十字框内5个数的总和，再和中间数15做比较，即可得出二者的数量关系；
(2) 结合数阵的差值规律，用含中间数a的式子表示出上下左右四个数，再相加化简就能得到五个数的和；
(3) 十字框平移后，数阵本身的排列规律不变，因此五个数的和与中间数的关系也不会改变；
(4) 利用第二问得到的和与中间数的关系列方程，解出中间数后再计算其余四个数即可得到结果。
【解析】
(1) 计算十字框中五个数的和：$5+13+15+17+25=75$，对比中间数15可得$75=15×5$，因此十字框中五个数的和是中间数15的5倍。
(2) 若中间数为$a$，根据数阵规律：上方数比$a$小10，为$a-10$；下方数比$a$大10，为$a+10$；左侧数比$a$小2，为$a-2$；右侧数比$a$大2，为$a+2$。
五个数的和为：
$\begin{aligned}&(a-10)+(a-2)+a+(a+2)+(a+10)\\=&a-10+a-2+a+a+2+a+10\\=&5a\end{aligned}$
(3) 十字框平移后，数阵的排列规律不变：上下相邻行同列数仍相差10，同一行相邻数仍相差2，因此五个数的和仍然为$5a$，依旧满足五个数的和是中间数的5倍的规律。
(4) 设中间数为$a$，根据题意列方程：$5a=435$
解得$a=435÷5=87$
则其余四个数分别为：
$a-10=87-10=77$，$a-2=87-2=85$，$a+2=87+2=89$，$a+10=87+10=97$。
【答案】
(1) 十字框中的五个数的和是中间数15的5倍；
(2) 十字框中五个数的和为$\boldsymbol{5a}$；
(3) 仍然有这种规律，五个数的和是中间数的5倍；
(4) 框住的五个数分别是77，85，87，89，97。
【知识点】
数字规律探究；代数式表示数；一元一次方程的应用
【点评】
本题是典型的数阵规律类题目，解题核心是先找到数阵中数的排列差值规律，再通过代数式推导通用结论，最后利用结论列方程解决问题，能够很好地锻炼学生的规律观察能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
