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8. (★★)有一列数,按一定规律排列为1,-4,16,-64,256,-1 024,…,其中有三个相邻的数的和是-13 312,求这三个数分别是多少.
答案
解：设这三个相邻数中第一个数为x，则第二个数为-4x，第三个数为16x。
根据题意列方程，得
$x - 4x + 16x = -13312$
合并同类项，得
$13x = -13312$
系数化为1，得
$x = -1024$
则$-4x = -4×(-1024) = 4096$
$16x = 16×(-1024) = -16384$
答：这三个数分别是-1024，4096，-16384。
根据题意列方程，得
$x - 4x + 16x = -13312$
合并同类项，得
$13x = -13312$
系数化为1，得
$x = -1024$
则$-4x = -4×(-1024) = 4096$
$16x = 16×(-1024) = -16384$
答：这三个数分别是-1024，4096，-16384。
解析
【分析】
首先观察数列的排列规律，可发现后一个数是前一个数的-4倍，要求三个相邻数的和，我们可以先设三个相邻数中的第一个数为未知数，利用数列规律用含未知数的式子表示出另外两个数，再根据“三个相邻数的和是-13312”的等量关系列一元一次方程，最后解方程求出未知数，进而算出另外两个数即可。
【解析】
设这三个相邻数中第一个数为$ x $，则第二个数为$ -4x $，第三个数为$ 16x $。
根据题意列方程，得：
$ x - 4x + 16x = -13312 $
合并同类项，得：
$ 13x = -13312 $
系数化为1，得：
$ x = -1024 $
则$ -4x = -4×(-1024) = 4096 $
$ 16x = 16×(-1024) = -16384 $
【答案】
这三个数分别是-1024，4096，-16384。
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程的应用，解一元一次方程
【点评】
本题解题的核心是先准确找到数列的变化规律，合理设置未知数，再结合题目给出的等量关系列方程求解，熟练掌握一元一次方程的解法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
首先观察数列的排列规律，可发现后一个数是前一个数的-4倍，要求三个相邻数的和，我们可以先设三个相邻数中的第一个数为未知数，利用数列规律用含未知数的式子表示出另外两个数，再根据“三个相邻数的和是-13312”的等量关系列一元一次方程，最后解方程求出未知数，进而算出另外两个数即可。
【解析】
设这三个相邻数中第一个数为$ x $，则第二个数为$ -4x $，第三个数为$ 16x $。
根据题意列方程，得：
$ x - 4x + 16x = -13312 $
合并同类项，得：
$ 13x = -13312 $
系数化为1，得：
$ x = -1024 $
则$ -4x = -4×(-1024) = 4096 $
$ 16x = 16×(-1024) = -16384 $
【答案】
这三个数分别是-1024，4096，-16384。
【知识点】
数字规律探究，一元一次方程的应用，解一元一次方程
【点评】
本题解题的核心是先准确找到数列的变化规律，合理设置未知数，再结合题目给出的等量关系列方程求解，熟练掌握一元一次方程的解法是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.7
9. (★)甲、乙两站间的路程为 450 km,一列慢车从甲站开出,每小时行驶 65 km,一列快车从乙站开出,每小时行驶 85 km. 设慢车在前、快车在后,两车同时开出,同向而行,则快车几小时后追上慢车?
答案
解：设快车x小时后追上慢车。
根据题意列方程，得
$85x = 65x + 450$
移项，得
$85x - 65x = 450$
合并同类项，得
$20x = 450$
系数化为1，得
$x = 22.5$
答：快车22.5小时后追上慢车。
根据题意列方程，得
$85x = 65x + 450$
移项，得
$85x - 65x = 450$
合并同类项，得
$20x = 450$
系数化为1，得
$x = 22.5$
答：快车22.5小时后追上慢车。
解析
【分析】
这是典型的同向追及问题，解题核心是找准快车追上慢车时的路程等量关系：快车行驶的总路程 = 慢车行驶的总路程 + 甲、乙两站初始的路程差。我们可以设快车追上慢车的时间为x小时，用“速度×时间”分别表示两车x小时行驶的路程，代入等量关系列出一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
解：设快车x小时后追上慢车。
根据题意列方程，得
$85x = 65x + 450$
移项，得
$85x - 65x = 450$
合并同类项，得
$20x = 450$
系数化为1，得
$x = 22.5$
答：快车22.5小时后追上慢车。
【答案】
22.5小时
【知识点】
一元一次方程应用；追及问题；解一元一次方程
【点评】
本题是行程追及类的基础题型，解题关键是准确梳理追及过程中的路程等量关系，熟练掌握一元一次方程的列法和解法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
这是典型的同向追及问题，解题核心是找准快车追上慢车时的路程等量关系：快车行驶的总路程 = 慢车行驶的总路程 + 甲、乙两站初始的路程差。我们可以设快车追上慢车的时间为x小时，用“速度×时间”分别表示两车x小时行驶的路程，代入等量关系列出一元一次方程，再按解一元一次方程的步骤求解即可。
【解析】
解：设快车x小时后追上慢车。
根据题意列方程，得
$85x = 65x + 450$
移项，得
$85x - 65x = 450$
合并同类项，得
$20x = 450$
系数化为1，得
$x = 22.5$
答：快车22.5小时后追上慢车。
【答案】
22.5小时
【知识点】
一元一次方程应用；追及问题；解一元一次方程
【点评】
本题是行程追及类的基础题型，解题关键是准确梳理追及过程中的路程等量关系，熟练掌握一元一次方程的列法和解法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
10. (★)若关于y的方程$3m+6n=7y-4y$的解为$y=1$，则m和n应满足的关系式为
【 】
A.$m+2n=-1$
B.$m-2n=1$
C.$3m+6n=11$
D.$m+2n=1$
【 】
A.$m+2n=-1$
B.$m-2n=1$
C.$3m+6n=11$
D.$m+2n=1$
答案
D
解析
【分析】
解题的核心是利用方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知y=1是方程的解，所以首先将y=1代入原方程，得到关于m、n的等式，再通过等式的性质化简等式，最终得到m和n满足的关系式，再对应选项选择即可。
【解析】
第一步：将y=1代入原方程$3m+6n=7y-4y$，可得：
$3m+6n=7×1 - 4×1$
第二步：计算方程右边的结果：
$7×1 -4×1=7-4=3$，因此等式变为$3m+6n=3$
第三步：根据等式的基本性质，等式两边同时除以3，化简得：
$m+2n=1$
对应选项可知D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
方程的解的定义；等式的基本性质
【点评】
本题考查方程解的应用，属于基础题型，只要掌握方程的解代入原方程后等式成立这一要点，结合简单的代数化简就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题的核心是利用方程的解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。已知y=1是方程的解，所以首先将y=1代入原方程，得到关于m、n的等式，再通过等式的性质化简等式，最终得到m和n满足的关系式，再对应选项选择即可。
【解析】
第一步：将y=1代入原方程$3m+6n=7y-4y$，可得：
$3m+6n=7×1 - 4×1$
第二步：计算方程右边的结果：
$7×1 -4×1=7-4=3$，因此等式变为$3m+6n=3$
第三步：根据等式的基本性质，等式两边同时除以3，化简得：
$m+2n=1$
对应选项可知D符合要求。
【答案】
D
【知识点】
方程的解的定义；等式的基本性质
【点评】
本题考查方程解的应用，属于基础题型，只要掌握方程的解代入原方程后等式成立这一要点，结合简单的代数化简就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
11. (★)解下列方程：
(1) $-\frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x = 14$；
(2) $0.4y - 1.2y = -3.2$。
(1) $-\frac{1}{3}x - \frac{1}{4}x = 14$；
(2) $0.4y - 1.2y = -3.2$。
答案
解：
(1) 合并同类项，得
$-\frac{7}{12}x = 14$
系数化为1，得
$x = -24$
(2) 合并同类项，得
$-0.8y = -3.2$
系数化为1，得
$y = 4$
(1) 合并同类项，得
$-\frac{7}{12}x = 14$
系数化为1，得
$x = -24$
(2) 合并同类项，得
$-0.8y = -3.2$
系数化为1，得
$y = 4$
解析
【分析】
这两道题都是基础的一元一次方程求解，解题可按两步进行：第一步合并同类项，将含有未知数的项的系数相加，把方程简化为“ax=b（a≠0）”的形式；第二步系数化为1，利用等式的性质2，等式两边同时除以未知数的系数a，即可求出未知数的值。计算时注意分数通分、小数运算的准确性，不要弄错符号。
【解析】
(1) 合并同类项，得
$-\frac{7}{12}x = 14$
系数化为1，得
$x = -24$
(2) 合并同类项，得
$-0.8y = -3.2$
系数化为1，得
$y = 4$
【答案】
(1) $x=-24$；(2) $y=4$
【知识点】
解一元一次方程；合并同类项；等式的性质
【点评】
本题是解一元一次方程的入门题型，主要考察合并同类项、系数化为1的基础运算能力，熟练掌握运算规则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
这两道题都是基础的一元一次方程求解，解题可按两步进行：第一步合并同类项，将含有未知数的项的系数相加，把方程简化为“ax=b（a≠0）”的形式；第二步系数化为1，利用等式的性质2，等式两边同时除以未知数的系数a，即可求出未知数的值。计算时注意分数通分、小数运算的准确性，不要弄错符号。
【解析】
(1) 合并同类项，得
$-\frac{7}{12}x = 14$
系数化为1，得
$x = -24$
(2) 合并同类项，得
$-0.8y = -3.2$
系数化为1，得
$y = 4$
【答案】
(1) $x=-24$；(2) $y=4$
【知识点】
解一元一次方程；合并同类项；等式的性质
【点评】
本题是解一元一次方程的入门题型，主要考察合并同类项、系数化为1的基础运算能力，熟练掌握运算规则、细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8
12. (★★)下列方程的解不正确的是
【 】
A.$4x + 6x = 7 - 1, x = \dfrac{3}{5}$
B.$-\dfrac{3}{5}x + \dfrac{7}{5}x = 10, x = \dfrac{25}{2}$
C.$3x - 7x = 7 + 13, x = -5$
D.$2(x - 2) + 3(x + 1) = 2, x = -1$
【 】
A.$4x + 6x = 7 - 1, x = \dfrac{3}{5}$
B.$-\dfrac{3}{5}x + \dfrac{7}{5}x = 10, x = \dfrac{25}{2}$
C.$3x - 7x = 7 + 13, x = -5$
D.$2(x - 2) + 3(x + 1) = 2, x = -1$
答案
D
解析
【分析】
本题要求选出解不正确的选项，可通过两种思路解题：一是逐个求解每个选项的一元一次方程，将得到的解和选项给出的解对比；二是把选项给出的x值代入对应方程，检验左右两边是否相等。解一元一次方程的常规步骤为：有括号先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1，计算时注意符号不要出错。
【解析】
我们逐个验证每个选项：
A选项：方程$4x + 6x = 7 - 1$，
左边合并同类项得$10x$，右边计算得$6$，
即$10x=6$，系数化为1得$x=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，与选项给出的解一致，A正确。
B选项：方程$-\frac{3}{5}x + \frac{7}{5}x = 10$，
左边合并同类项得$\frac{4}{5}x$，
即$\frac{4}{5}x=10$，系数化为1得$x=10×\frac{5}{4}=\frac{25}{2}$，与选项给出的解一致，B正确。
C选项：方程$3x - 7x = 7 + 13$，
左边合并同类项得$-4x$，右边计算得$20$，
即$-4x=20$，系数化为1得$x=-5$，与选项给出的解一致，C正确。
D选项：方程$2(x - 2) + 3(x + 1) = 2$，
先去括号得$2x - 4 + 3x + 3 = 2$，
合并同类项得$5x -1 = 2$，
移项得$5x=2+1=3$，
系数化为1得$x=\frac{3}{5}$，和选项给出的$x=-1$不一致，D错误。
【答案】
D
【知识点】
解一元一次方程；合并同类项；去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程解法的基础考查题，解题时熟练掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤即可，计算过程中要特别注意去括号、移项时的符号变化，也可以通过代入检验的方法快速判断解是否正确。
【难度系数】
0.8
本题要求选出解不正确的选项，可通过两种思路解题：一是逐个求解每个选项的一元一次方程，将得到的解和选项给出的解对比；二是把选项给出的x值代入对应方程，检验左右两边是否相等。解一元一次方程的常规步骤为：有括号先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1，计算时注意符号不要出错。
【解析】
我们逐个验证每个选项：
A选项：方程$4x + 6x = 7 - 1$，
左边合并同类项得$10x$，右边计算得$6$，
即$10x=6$，系数化为1得$x=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，与选项给出的解一致，A正确。
B选项：方程$-\frac{3}{5}x + \frac{7}{5}x = 10$，
左边合并同类项得$\frac{4}{5}x$，
即$\frac{4}{5}x=10$，系数化为1得$x=10×\frac{5}{4}=\frac{25}{2}$，与选项给出的解一致，B正确。
C选项：方程$3x - 7x = 7 + 13$，
左边合并同类项得$-4x$，右边计算得$20$，
即$-4x=20$，系数化为1得$x=-5$，与选项给出的解一致，C正确。
D选项：方程$2(x - 2) + 3(x + 1) = 2$，
先去括号得$2x - 4 + 3x + 3 = 2$，
合并同类项得$5x -1 = 2$，
移项得$5x=2+1=3$，
系数化为1得$x=\frac{3}{5}$，和选项给出的$x=-1$不一致，D错误。
【答案】
D
【知识点】
解一元一次方程；合并同类项；去括号法则
【点评】
本题是一元一次方程解法的基础考查题，解题时熟练掌握去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤即可，计算过程中要特别注意去括号、移项时的符号变化，也可以通过代入检验的方法快速判断解是否正确。
【难度系数】
0.8
