24.(8分)如图1,用四个相同的面积均为3的长方形①,②,③,④和一个小正方形⑤拼成一个大正方形,其中长方形的长为a,宽为b(a＞2b)。

(1)如图1,用含a,b的代数式表示小正方形⑤的面积;
(2)借助图1,请直接写出代数式$(a+b)^2,ab,(a-b)^2$之间的数量关系;
(3)现将图1中①号和②号小长方形纸片同时向下平移b个单位长度,得到一个新的图形如图2所示,若阴影部分图形Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的面积和为12,求代数式$a-2b$的值。

24.解:(1)小正方形⑤的面积为$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。 (2)$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$。 (3)由题意可知$b^2+(a-2b)(a-b)+b^2=a^2-3ab+4b^2=12$,因为$ab=3$,所以$a^2+4b^2=12+3ab=21$,所以$(a-2b)^2=a^2+4b^2-4ab=9$,又因为$a＞2b$,所以$a-2b=3$。

【分析】
第(1)问：观察图1，小正方形⑤的边长为长方形的长与宽的差，即$a - b$，利用正方形面积公式即可求出其面积。第(2)问：大正方形的边长为$a + b$，面积可表示为$(a + b)^2$；同时大正方形由4个长为$a$、宽为$b$的长方形和1个小正方形⑤组成，面积也等于$4ab + (a - b)^2$，由此推导三者的数量关系。第(3)问：分析图2中三个阴影部分的形状与边长，分别计算面积后求和，结合已知$ab=3$，通过代数变形求出$(a - 2b)^2$的值，再根据$a＞2b$确定$a - 2b$的取值。
【解析】
(1) 由图1可知，小正方形⑤的边长为$a - b$，根据正方形面积公式，小正方形⑤的面积为：
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
(2) 大正方形的边长为$a + b$，其面积为$(a + b)^2$；同时大正方形由4个面积为$ab$的长方形和1个面积为$(a - b)^2$的小正方形组成，因此面积也可表示为$4ab + (a - b)^2$，故三者的数量关系为：
$(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$
(3) 计算图2中阴影部分的面积和：
阴影Ⅰ是边长为$b$的正方形，面积为$b^2$；
阴影Ⅱ是长为$(a - b)$、宽为$(a - 2b)$的长方形，面积为$(a - b)(a - 2b)$；
阴影Ⅲ是边长为$b$的正方形，面积为$b^2$；
因此阴影面积和为：
$\begin{aligned}b^2 + (a - b)(a - 2b) + b^2&=b^2 + a^2 - 2ab - ab + 2b^2 + b^2\\&=a^2 - 3ab + 4b^2\end{aligned}$
已知阴影面积和为12，且$ab=3$，代入得：
$a^2 - 3×3 + 4b^2 = 12$，整理得$a^2 + 4b^2 = 21$。
根据完全平方公式，$(a - 2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2$，将$ab=3$、$a^2 + 4b^2=21$代入：
$(a - 2b)^2 = 21 - 4×3 = 9$。
又因为$a＞2b$，所以$a - 2b = 3$。
【答案】
(1) $(a - b)^2$（或$a^2 - 2ab + b^2$）；
(2) $(a + b)^2 = (a - b)^2 + 4ab$；
(3) $3$
【知识点】
整式运算、完全平方公式、代数式求值
【点评】
本题结合图形面积推导代数关系，考查完全平方公式的几何意义与代数变形能力，需要将图形边长与代数式对应，通过面积和建立等式求解，综合性较强。
【难度系数】
0.5