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例3 如图,已知四边形ABCD是正方形,点E,F分别在AD,DC上,BE与AF相交于点G,且BE=AF。
(1)求证:$BE ⊥ AF$;
(2)如果正方形ABCD的边长为5,$AE=2$,点H为BF的中点,连结GH,求GH的长。
(1)求证:$BE ⊥ AF$;
(2)如果正方形ABCD的边长为5,$AE=2$,点H为BF的中点,连结GH,求GH的长。
答案
证明：(1) ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠BAE = ∠ADF = 90°，AB = AD。
在Rt△ABE和Rt△DAF中，
$\{\begin{array}{l} BE = AF \\ AB = DA \end{array} $
∴ Rt△ABE ≌ Rt△DAF (HL)，
∴ ∠ABE = ∠DAF。
∵ ∠ABE + ∠AEB = 90°，
∴ ∠DAF + ∠AEB = 90°，
∴ ∠AGE = 180° - (∠DAF + ∠AEB) = 90°，
∴ BE ⊥ AF。
解：(2) ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB = BC = CD = 5，∠C = 90°。
由Rt△ABE ≌ Rt△DAF，得DF = AE = 2，
∴ FC = CD - DF = 5 - 2 = 3。
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
$BF = \sqrt{BC^2 + FC^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$。
∵ BE ⊥ AF，∴ ∠BGF = 90°，即△BGF是直角三角形。
∵ H为BF的中点，
∴ GH = $\frac{1}{2}$BF = $\frac{\sqrt{34}}{2}$。
∴ ∠BAE = ∠ADF = 90°，AB = AD。
在Rt△ABE和Rt△DAF中，
$\{\begin{array}{l} BE = AF \\ AB = DA \end{array} $
∴ Rt△ABE ≌ Rt△DAF (HL)，
∴ ∠ABE = ∠DAF。
∵ ∠ABE + ∠AEB = 90°，
∴ ∠DAF + ∠AEB = 90°，
∴ ∠AGE = 180° - (∠DAF + ∠AEB) = 90°，
∴ BE ⊥ AF。
解：(2) ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB = BC = CD = 5，∠C = 90°。
由Rt△ABE ≌ Rt△DAF，得DF = AE = 2，
∴ FC = CD - DF = 5 - 2 = 3。
在Rt△BCF中，由勾股定理得：
$BF = \sqrt{BC^2 + FC^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$。
∵ BE ⊥ AF，∴ ∠BGF = 90°，即△BGF是直角三角形。
∵ H为BF的中点，
∴ GH = $\frac{1}{2}$BF = $\frac{\sqrt{34}}{2}$。
解析
【分析】
要解决本题，分两步思考：
1. 证明$BE⊥AF$：利用正方形的性质得到边和角的关系，结合已知$BE=AF$，通过HL判定直角三角形全等，再利用全等三角形的对应角相等，结合直角三角形两锐角互余，推出夹角为90°，从而证明垂直。
2. 求$GH$的长：先由全等得到$DF=AE$，算出$FC$的长度，用勾股定理求出$BF$；再根据$BE⊥AF$得到$△ BGF$是直角三角形，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合$H$是$BF$中点，计算出$GH$的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $∠ BAE = ∠ ADF = 90°$，$AB = AD$。
在$Rt△ ABE$和$Rt△ DAF$中，
$\{\begin{array}{l} BE = AF \\ AB = DA \end{array} $
∴ $Rt△ ABE ≌ Rt△ DAF$ (HL)，
∴ $∠ ABE = ∠ DAF$。
∵ 在$Rt△ ABE$中，$∠ ABE + ∠ AEB = 90°$，
∴ $∠ DAF + ∠ AEB = 90°$，
∴ $∠ AGE = 180° - (∠ DAF + ∠ AEB) = 90°$，
∴ $BE ⊥ AF$。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB = BC = CD = 5$，$∠ C = 90°$。
由$Rt△ ABE ≌ Rt△ DAF$，得$DF = AE = 2$，
∴ $FC = CD - DF = 5 - 2 = 3$。
在$Rt△ BCF$中，根据勾股定理：
$BF = \sqrt{BC^2 + FC^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$。
∵ $BE ⊥ AF$，
∴ $∠ BGF = 90°$，即$△ BGF$是直角三角形。
又
∵ $H$为$BF$的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线定理，$GH = \frac{1}{2}BF = \frac{\sqrt{34}}{2}$。
【答案】
(1) 证明成立，$BE⊥AF$；(2) $GH$的长为$\frac{\sqrt{34}}{2}$。
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题是正方形背景下的几何综合题，综合考查了正方形的性质、直角三角形全等的判定、勾股定理及直角三角形斜边中线定理，解题时需熟练运用相关几何定理，逻辑清晰推导，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.6
要解决本题，分两步思考：
1. 证明$BE⊥AF$：利用正方形的性质得到边和角的关系，结合已知$BE=AF$，通过HL判定直角三角形全等，再利用全等三角形的对应角相等，结合直角三角形两锐角互余，推出夹角为90°，从而证明垂直。
2. 求$GH$的长：先由全等得到$DF=AE$，算出$FC$的长度，用勾股定理求出$BF$；再根据$BE⊥AF$得到$△ BGF$是直角三角形，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合$H$是$BF$中点，计算出$GH$的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $∠ BAE = ∠ ADF = 90°$，$AB = AD$。
在$Rt△ ABE$和$Rt△ DAF$中，
$\{\begin{array}{l} BE = AF \\ AB = DA \end{array} $
∴ $Rt△ ABE ≌ Rt△ DAF$ (HL)，
∴ $∠ ABE = ∠ DAF$。
∵ 在$Rt△ ABE$中，$∠ ABE + ∠ AEB = 90°$，
∴ $∠ DAF + ∠ AEB = 90°$，
∴ $∠ AGE = 180° - (∠ DAF + ∠ AEB) = 90°$，
∴ $BE ⊥ AF$。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ $AB = BC = CD = 5$，$∠ C = 90°$。
由$Rt△ ABE ≌ Rt△ DAF$，得$DF = AE = 2$，
∴ $FC = CD - DF = 5 - 2 = 3$。
在$Rt△ BCF$中，根据勾股定理：
$BF = \sqrt{BC^2 + FC^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{34}$。
∵ $BE ⊥ AF$，
∴ $∠ BGF = 90°$，即$△ BGF$是直角三角形。
又
∵ $H$为$BF$的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线定理，$GH = \frac{1}{2}BF = \frac{\sqrt{34}}{2}$。
【答案】
(1) 证明成立，$BE⊥AF$；(2) $GH$的长为$\frac{\sqrt{34}}{2}$。
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题是正方形背景下的几何综合题，综合考查了正方形的性质、直角三角形全等的判定、勾股定理及直角三角形斜边中线定理，解题时需熟练运用相关几何定理，逻辑清晰推导，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.6
练3 如图,在正方形ABCD中,G是对角线BD上的一点(不与点B,D重合),过点G作GE//BC,GF//DC,分别交DC,BC于点E,F。
(1)求证:四边形GECF是矩形;
(2)若$AB=7$,$CF=3$,求AG的长。
(1)求证:四边形GECF是矩形;
(2)若$AB=7$,$CF=3$,求AG的长。
答案
解：
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠C = 90°。
∵ GE//BC，GF//DC，
∴ 四边形GECF是平行四边形。
又∵ ∠C = 90°，
∴ 平行四边形GECF是矩形。
(2) 连接CG，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB = BC = 7，∠ABG = ∠CBG = 45°。
在△ABG和△CBG中，
$\{\begin{array}{l}AB = CB \\∠ABG = ∠CBG \\BG = BG\end{array} $
∴ △ABG ≌ △CBG (SAS)，
∴ AG = CG。
∵ GF//DC，∠DBC = 45°，∠BFG = 90°，
∴ △BFG是等腰直角三角形，BF = GF。
∵ BC = 7，CF = 3，
∴ BF = BC - CF = 7 - 3 = 4，
∴ GF = 4。
∵ 四边形GECF是矩形，
∴ EC = GF = 4，GE = CF = 3。
在Rt△GEC中，由勾股定理得：
$CG = \sqrt{CE^2 + GE^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$，
∴ AG = CG = 5。
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠C = 90°。
∵ GE//BC，GF//DC，
∴ 四边形GECF是平行四边形。
又∵ ∠C = 90°，
∴ 平行四边形GECF是矩形。
(2) 连接CG，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB = BC = 7，∠ABG = ∠CBG = 45°。
在△ABG和△CBG中，
$\{\begin{array}{l}AB = CB \\∠ABG = ∠CBG \\BG = BG\end{array} $
∴ △ABG ≌ △CBG (SAS)，
∴ AG = CG。
∵ GF//DC，∠DBC = 45°，∠BFG = 90°，
∴ △BFG是等腰直角三角形，BF = GF。
∵ BC = 7，CF = 3，
∴ BF = BC - CF = 7 - 3 = 4，
∴ GF = 4。
∵ 四边形GECF是矩形，
∴ EC = GF = 4，GE = CF = 3。
在Rt△GEC中，由勾股定理得：
$CG = \sqrt{CE^2 + GE^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$，
∴ AG = CG = 5。
解析
【分析】
要解决这道题，分两小问逐步思考：
(1) 证明四边形GECF是矩形，先根据两组对边平行判定它是平行四边形，再结合正方形的内角为直角，利用矩形的判定定理完成证明；
(2) 求AG的长，利用正方形的对称性，连接CG，通过SAS证明△ABG≌△CBG，将AG转化为CG，再结合矩形GECF的性质和等腰直角三角形的特点求出相关线段长度，最后用勾股定理计算CG，即可得到AG的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠C = 90°，
∵ GE//BC，GF//DC，
∴ 四边形GECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
又
∵ ∠C = 90°，
∴ 平行四边形GECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2) 解：连接CG，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB = BC = 7，∠ABG = ∠CBG = 45°，
在△ABG和△CBG中：
$\{\begin{array}{l} AB = CB \\ ∠ABG = ∠CBG \\ BG = BG \end{array} $
∴ △ABG ≌ △CBG（SAS），
∴ AG = CG，
∵ GF//DC，∠DBC = 45°，∠BFG = 90°，
∴ △BFG是等腰直角三角形，故BF = GF，
∵ BC = 7，CF = 3，
∴ BF = BC - CF = 7 - 3 = 4，
∴ GF = 4，
∵ 四边形GECF是矩形，
∴ EC = GF = 4，GE = CF = 3，
在Rt△GEC中，由勾股定理得：
$CG = \sqrt{CE^2 + GE^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$，
∴ AG = CG = 5。
【答案】(1) 四边形GECF是矩形，证明成立；(2) AG的长为5
【知识点】正方形的性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】本题是正方形性质的综合应用题，第一问考查矩形的判定方法，第二问利用正方形对称性和全等三角形转化线段，结合矩形性质与勾股定理求解，注重几何知识的综合运用，难度适中。
【难度系数】0.6
要解决这道题，分两小问逐步思考：
(1) 证明四边形GECF是矩形，先根据两组对边平行判定它是平行四边形，再结合正方形的内角为直角，利用矩形的判定定理完成证明；
(2) 求AG的长，利用正方形的对称性，连接CG，通过SAS证明△ABG≌△CBG，将AG转化为CG，再结合矩形GECF的性质和等腰直角三角形的特点求出相关线段长度，最后用勾股定理计算CG，即可得到AG的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠C = 90°，
∵ GE//BC，GF//DC，
∴ 四边形GECF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
又
∵ ∠C = 90°，
∴ 平行四边形GECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
(2) 解：连接CG，
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB = BC = 7，∠ABG = ∠CBG = 45°，
在△ABG和△CBG中：
$\{\begin{array}{l} AB = CB \\ ∠ABG = ∠CBG \\ BG = BG \end{array} $
∴ △ABG ≌ △CBG（SAS），
∴ AG = CG，
∵ GF//DC，∠DBC = 45°，∠BFG = 90°，
∴ △BFG是等腰直角三角形，故BF = GF，
∵ BC = 7，CF = 3，
∴ BF = BC - CF = 7 - 3 = 4，
∴ GF = 4，
∵ 四边形GECF是矩形，
∴ EC = GF = 4，GE = CF = 3，
在Rt△GEC中，由勾股定理得：
$CG = \sqrt{CE^2 + GE^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = 5$，
∴ AG = CG = 5。
【答案】(1) 四边形GECF是矩形，证明成立；(2) AG的长为5
【知识点】正方形的性质、矩形的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理
【点评】本题是正方形性质的综合应用题，第一问考查矩形的判定方法，第二问利用正方形对称性和全等三角形转化线段，结合矩形性质与勾股定理求解，注重几何知识的综合运用，难度适中。
【难度系数】0.6
例4 如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H依次是AB，BC，DA 的中点。①若四边形ABCD是平行四边形,则四边形EFGH是平行四边形;②若$AC=BD$,则四边形EFGH是菱形;③若$AC⊥BD$,则四边形EFGH是矩形;④若$AC=BD,AC⊥BD$,则四边形EFGH是正方形。则上述四个结论中正确的是（）
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
答案
D
解析
【分析】
本题考查中点四边形的判定，核心思路是利用三角形中位线定理分析中点四边形与原四边形对角线的关系。具体步骤：①连接原四边形ABCD的对角线AC、BD；②根据三角形中位线定理，得出四边形EFGH各边与AC、BD的平行及数量关系；③结合平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，逐一验证四个结论的正确性。
【解析】
连接AC、BD。
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理：EF//AC，EF=½AC。
同理，GH是△ADC的中位线，故GH//AC，GH=½AC；FG是△BCD的中位线，故FG//BD，FG=½BD；HE是△ABD的中位线，故HE//BD，HE=½BD。
① 若ABCD是平行四边形，仅能推出EF//GH且EF=GH，故四边形EFGH是平行四边形，①正确；
② 若AC=BD，则EF=½AC=½BD=FG，平行四边形EFGH中邻边相等，故为菱形，②正确；
③ 若AC⊥BD，因EF//AC、FG//BD，故EF⊥FG，平行四边形EFGH有一个内角为直角，故为矩形，③正确；
④ 若AC=BD且AC⊥BD，则EFGH是邻边相等且有一个内角为直角的平行四边形，故为正方形，④正确。
综上，四个结论均正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理、特殊四边形的判定
【点评】
本题是中点四边形的典型题型，通过三角形中位线定理建立原四边形对角线与中点四边形的联系，考查特殊四边形的判定，需熟练掌握各特殊四边形的判定条件，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题考查中点四边形的判定，核心思路是利用三角形中位线定理分析中点四边形与原四边形对角线的关系。具体步骤：①连接原四边形ABCD的对角线AC、BD；②根据三角形中位线定理，得出四边形EFGH各边与AC、BD的平行及数量关系；③结合平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定定理，逐一验证四个结论的正确性。
【解析】
连接AC、BD。
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理：EF//AC，EF=½AC。
同理，GH是△ADC的中位线，故GH//AC，GH=½AC；FG是△BCD的中位线，故FG//BD，FG=½BD；HE是△ABD的中位线，故HE//BD，HE=½BD。
① 若ABCD是平行四边形，仅能推出EF//GH且EF=GH，故四边形EFGH是平行四边形，①正确；
② 若AC=BD，则EF=½AC=½BD=FG，平行四边形EFGH中邻边相等，故为菱形，②正确；
③ 若AC⊥BD，因EF//AC、FG//BD，故EF⊥FG，平行四边形EFGH有一个内角为直角，故为矩形，③正确；
④ 若AC=BD且AC⊥BD，则EFGH是邻边相等且有一个内角为直角的平行四边形，故为正方形，④正确。
综上，四个结论均正确，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
三角形中位线定理、特殊四边形的判定
【点评】
本题是中点四边形的典型题型，通过三角形中位线定理建立原四边形对角线与中点四边形的联系，考查特殊四边形的判定，需熟练掌握各特殊四边形的判定条件，难度适中。
【难度系数】
0.6
