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例2 (杭州市上城区)某班20名男同学所穿鞋子的尺码如表所示,则鞋子尺码的众数和中位数分别是
(
A.39码,39码
B.38码,39码
C.40码,40码
D.40码,39码
(
C
)A.39码,39码
B.38码,39码
C.40码,40码
D.40码,39码
答案
数据40出现了10次,次数最多,所以众数为40码。一共有20个数据,位置处于中间的数是40和40,所以中位数是(40+40)÷2=40(码)。故选C。
3.(杭州市余杭区)某班30名学生的身高情况如表所示：
这30名学生身高的众数和中位数分别是 （
A.7m,1.71m
B.1.72m,1.70m
C.1.72m,1.71m
D.1.72m,1.72m
这30名学生身高的众数和中位数分别是 （
D
）A.7m,1.71m
B.1.72m,1.70m
C.1.72m,1.71m
D.1.72m,1.72m
答案
D
4.(永嘉县)已知一组数据2,x,1,4,9的众数为9,则这组数据的中位数为
4
。答案
4
例3 (杭州市余杭区)甲、乙两名运动员的五次射击成绩如表所示(不完全)(单位:环)：
(1)若甲、乙的射击平均成绩一样，求$a+b$的值。
(2)在(1)的条件下，若$a,b$是两个连续整数，试问：谁发挥得更稳定？
(1)若甲、乙的射击平均成绩一样，求$a+b$的值。
(2)在(1)的条件下，若$a,b$是两个连续整数，试问：谁发挥得更稳定？
答案
(1)由题意得$\frac{10+8+9+10+8}{5}=\frac{10+9+9+a+b}{5}$,所以$a+b=17$。
(2)因为$a+b=17$,$a,b$是两个连续整数,所以令$a=8$,$b=9$。
因为$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙=9$,所以$S_甲^2=\frac{1}{5}×[(10-9)^2+(8-9)^2+(9-9)^2+(10-9)^2+(8-9)^2]=0.8$,$S_乙^2=\frac{1}{5}×[(10-9)^2+(9-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(9-9)^2]=0.4$。因为$S_甲^2＞S_乙^2$,所以乙发挥得更稳定。
(2)因为$a+b=17$,$a,b$是两个连续整数,所以令$a=8$,$b=9$。
因为$\overline{x}_甲=\overline{x}_乙=9$,所以$S_甲^2=\frac{1}{5}×[(10-9)^2+(8-9)^2+(9-9)^2+(10-9)^2+(8-9)^2]=0.8$,$S_乙^2=\frac{1}{5}×[(10-9)^2+(9-9)^2+(9-9)^2+(8-9)^2+(9-9)^2]=0.4$。因为$S_甲^2＞S_乙^2$,所以乙发挥得更稳定。
1. 各数据与平均数的差(又称离差)的平方和称为离差平方和,记作$D^2=(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+···+(x_n-\overline{x})^2$。
而这组数据的各离差的平方的平均数叫作这组数据的方差,即$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+···+(x_n-\overline{x})^2]$。
2. 方差是反映数据波动大小的统计量,若方差越大,则数据波动越大。
而这组数据的各离差的平方的平均数叫作这组数据的方差,即$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+···+(x_n-\overline{x})^2]$。
2. 方差是反映数据波动大小的统计量,若方差越大,则数据波动越大。
答案
解：
根据定义推导相关性质与关系：
1. 离差平方和化简推导：
$\begin{aligned}D^2&=(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2\\&=x_1^2-2x_1\overline{x}+\overline{x}^2+x_2^2-2x_2\overline{x}+\overline{x}^2+\dots+x_n^2-2x_n\overline{x}+\overline{x}^2\\&=(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-2\overline{x}(x_1+x_2+\dots+x_n)+n\overline{x}^2\end{aligned}$
由平均数定义$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，得$x_1+x_2+\dots+x_n=n\overline{x}$，代入上式得：
$D^2=(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-n\overline{x}^2$
2. 离差平方和与方差的关系：
结合方差定义$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，可得：
$S^2=\frac{D^2}{n},\quad D^2=nS^2$
3. 数据波动规律：
方差是反映数据波动大小的统计量，方差越大，数据偏离平均数的程度越大，数据波动越大，稳定性越差；方差越小，数据偏离平均数的程度越小，数据波动越小，稳定性越好。
根据定义推导相关性质与关系：
1. 离差平方和化简推导：
$\begin{aligned}D^2&=(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2\\&=x_1^2-2x_1\overline{x}+\overline{x}^2+x_2^2-2x_2\overline{x}+\overline{x}^2+\dots+x_n^2-2x_n\overline{x}+\overline{x}^2\\&=(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-2\overline{x}(x_1+x_2+\dots+x_n)+n\overline{x}^2\end{aligned}$
由平均数定义$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$，得$x_1+x_2+\dots+x_n=n\overline{x}$，代入上式得：
$D^2=(x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2)-n\overline{x}^2$
2. 离差平方和与方差的关系：
结合方差定义$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+\dots+(x_n-\overline{x})^2]$，可得：
$S^2=\frac{D^2}{n},\quad D^2=nS^2$
3. 数据波动规律：
方差是反映数据波动大小的统计量，方差越大，数据偏离平均数的程度越大，数据波动越大，稳定性越差；方差越小，数据偏离平均数的程度越小，数据波动越小，稳定性越好。
