23.(9分)如图,正方形ABCD的边长为2,点E在边BC上,BE的中垂线分别交AC,BC于点P,N,延长CB至点F,使$BF=\frac{1}{2}CE$,连结PD,PE,PF。
(1)求证:$PE=PD$。
(2)设$CE=a(a＞0)$,四边形CDPE的面积为S。
①用含a的代数式表示S。
②当$△ PEF$为等腰三角形时,求S的值。

23.(1)如图,连结PB。因为PN垂直平分BE,所以PE=PB。因为四边形ABCD是正方形,所以BC=CD,∠ACB=∠ACD=45°。因为PC=PC,所以△BCP≌△DCP。所以PD=PB。所以PE=PD。
(2)①如图,过点P作PM⊥CD于点M。
因为PN垂直平分BE,∠ACB=∠ACD=45°,CE=a,
所以$BN=NE=\frac{2-a}{2}=1-\frac{a}{2}$,$PN=PM=CN=1+\frac{a}{2}$。
所以$S=S_{△ PCE}+S_{△ PCD}=\frac{1}{2}a(1+\frac{a}{2})+\frac{1}{2}×2(1+\frac{a}{2})=(1+\frac{a}{2})^2$。
②因为$BF=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}a$,所以$FN=\frac{1}{2}a+1-\frac{a}{2}=1$,$FE=\frac{1}{2}a+2-a=2-\frac{a}{2}$。因为PF＞PB=PE,所以有两种情况:
Ⅰ.当FP=FE时,$FP^2=FE^2$,所以$1^2+(1+\frac{a}{2})^2=(2-\frac{a}{2})^2$,解得$a=\frac{2}{3}$。所以$S=(1+\frac{a}{2})^2=(1+\frac{1}{3})^2=\frac{16}{9}$。
Ⅱ.当PE=EF时,$PE^2=EF^2$,所以$(2-\frac{a}{2})^2=(1+\frac{a}{2})^2+(1-\frac{a}{2})^2$,解得$a=-4±2\sqrt{6}$。
因为a＞0,所以$a=-4+2\sqrt{6}$。所以$S=(1+\frac{a}{2})^2=(1-2+\sqrt{6})^2=7-2\sqrt{6}$。
综上所述,S的值为$\frac{16}{9}$或$7-2\sqrt{6}$。