3. 如图,直线 $ l_1: y = -3x + 3 $ 与坐标轴交于 $ A,B $ 两点,与过点 $ C(4,0) $ 的直线 $ l_2 $ 交于点 $ D $,且 $ AD = AB $.
(1)求点 $ D $ 的坐标及直线 $ l_2 $ 的表达式.
(2)求 $ △ ADC $ 的面积.
(3)在 $ y $ 轴上是否存在一点 $ P $,使 $ |PC - PD| $ 最大? 若存在,请求出点 $ P $ 的坐标,并求出 $ |PC - PD| $ 的最大值;若不存在,请说明理由.

3.(1)作$DE⊥ x$轴于点E,根据题意,$∠ BOA=∠ DEA=90°$,$∠ BAO=∠ DAE$,$\because AD=AB$,$\therefore △ DAE≌△ BAO(\mathrm{AAS})$,$\therefore AE=OA$,$DE=OB$。由$y=-3x+3$,令$x=0$,得$y=3$,$\therefore B(0,3)$,$OB=3$;令$y=0$,得$-3x+3=0$,解得$x=1$,$\therefore A(1,0)$,$OA=1$,$\therefore AE=OA=1$,$OE=2$,$DE=OB=3$,$\therefore$点D的坐标为$(2,-3)$。设直线$l_2$的表达式为$y=kx+b$,代入$C(4,0)$和$D(2,-3)$,得$\begin{cases}4k+b=0,\\2k+b=-3,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=\frac{3}{2},\\b=-6,\end{cases}$$\therefore$直线$l_2$的表达式为$y=\frac{3}{2}x-6$。$\therefore$点D的坐标为$(2,-3)$,直线$l_2$的表达式为$y=\frac{3}{2}x-6$。
(2)根据题意得$AC=4-1=3$,$DE=3$,$\therefore S_{△ ADC}=\frac{1}{2}AC· DE=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$。
(3)存在,理由如下:延长CD交y轴于点P,则点P即是所求的点,此时$|PC-PD|$的最大值为线段CD的长度。令$x=0$,代入$y=\frac{3}{2}x-6$,解得$y=-6$,$\therefore$点P的坐标为$(0,-6)$。在$\mathrm{Rt}△ CDE$中,由勾股定理得$CD=\sqrt{DE^2+CE^2}=\sqrt{3^2+(4-2)^2}=\sqrt{13}$。综上,点P的坐标为$(0,-6)$时,$|PC-PD|$的最大值为$\sqrt{13}$。

4. 我们知道$|a|=\begin{cases}a(a≥0),\\-a(a＜0),\end{cases}$由此我们给出如下定义:对于给定的一次函数$y=kx+b$($k,b$为常数且$k≠0$),把形如$y=\begin{cases}kx+b(x≥0),\\-kx+b(x＜0)\end{cases}$($k,b$为常数且$k≠0$)的函数称为一次函数$y=kx+b$的演变函数.如图,一次函数$y=kx+b$($k≠0,k,b$为常数)的演变函数图象与一次函数$y=-\dfrac{3}{5}x+\dfrac{11}{5}$的图象相交于$A(-3,p),B(2,q)$两点.
(1)求该一次函数的表达式.
(2)一次函数$y=kx+b$($k≠0,k,b$为常数)的演变函数图象与$y$轴相交于点$C$,求$△ ABC$的面积.
(3)在一次函数$y=kx+b$($k≠0,k,b$为常数)的演变函数图象上是否存在点$P$,使得$PA=PB$,若存在,请直接写出点$P$的坐标;若不存在,请说明理由.

4.(1)把$A(-3,p)$,$B(2,q)$代入$y=-\frac{3}{5}x+\frac{11}{5}$得$\begin{cases}p=-\frac{3}{5}×(-3)+\frac{11}{5},\\q=-\frac{3}{5}×2+\frac{11}{5},\end{cases}$解得$\begin{cases}p=4,\\q=1,\end{cases}$$\therefore A(-3,4)$,$B(2,1)$,把$A(-3,4)$代入$y=-kx+b$,$B(2,1)$代入$y=kx+b$得$\begin{cases}4=3k+b,\\1=2k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=3,\\b=-5,\end{cases}$$\therefore$一次函数的表达式为$y=3x-5$。
(2)设一次函数$y=-\frac{3}{5}x+\frac{11}{5}$的图象与y轴交点为K,如图。在$y=3x-5$中,令$x=0$得$y=-5$;在$y=-3x-5$中,令$x=0$得$y=-5$,$\therefore$一次函数$y=3x-5$的演变函数图象与y轴交点C的坐标为$(0,-5)$;在$y=-\frac{3}{5}x+\frac{11}{5}$中,令$x=0$得$y=\frac{11}{5}$,$\therefore K(0,\frac{11}{5})$,$\therefore CK=\frac{11}{5}-(-5)=\frac{36}{5}$,$\therefore S_{△ ABC}=S_{△ ACK}+S_{△ BCK}=\frac{1}{2}×\frac{36}{5}×3+\frac{1}{2}×\frac{36}{5}×2=18$,$\therefore △ ABC$的面积为18。
(3)存在,点P的坐标为$(\frac{25}{4},\frac{55}{4})$或$(-\frac{25}{14},\frac{5}{14})$。解析:设$P(m,n)$,当$m＞0$时,$P(m,3m-5)$,$\because A(-3,4)$,$B(2,1)$,$\therefore (m+3)^2+(3m-5-4)^2=(m-2)^2+(3m-5-1)^2$,解得$m=\frac{25}{4}$,$\therefore$点P的坐标为$(\frac{25}{4},\frac{55}{4})$;当$m＜0$时,$P(m,-3m-5)$,$\because A(-3,4)$,$B(2,1)$,$\therefore (m+3)^2+(-3m-5-4)^2=(m-2)^2+(-3m-5-1)^2$,解得$m=-\frac{25}{14}$,$\therefore P$的坐标为$(-\frac{25}{14},\frac{5}{14})$。综上所述,点P的坐标为$(\frac{25}{4},\frac{55}{4})$或$(-\frac{25}{14},\frac{5}{14})$。