1. 如图,直线$OC:y_1=x$,直线$BC:y_2=-x+6$.
(1)点$C$的坐标是________;当________时,$y_1＞y_2＞0$.
(2)点$D$在直线$OC$上,若$S_{△ DOB}=\dfrac{1}{2}S_{△ COB}$,求点$D$的坐标.
(3)作直线$a ⊥ x$轴,并分别交直线$OC,BC$于点$E,F$,若$EF$的长度不超过$3$,求$x$的取值范围.

1.(1) $(3,3)$，$3＜x＜6$
解析:联立两个函数表达式可得$\begin{cases}y=x,\\y=-x+6,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=3,\\y=3,\end{cases}$$\therefore C(3,3)$。当$-x+6=0$时,$x=6$,$\therefore B(6,0)$,$\therefore$当$3＜x＜6$时,$y_1＞y_2＞0$。
(2)如图①,点D在直线OC上,$S_{△ DOB}=\frac{1}{2}S_{△ COB}$,$\therefore D$为$CO$的中点或$OD'=\frac{1}{2}CO$。当D为CO的中点时,$C(3,3)$,$\therefore D(1.5,1.5)$;当$OD'=\frac{1}{2}CO$时,O为$DD'$的中点,$\therefore D'(-1.5,-1.5)$,$\therefore$点D的坐标为$(1.5,1.5)$或$(-1.5,-1.5)$。
(3)如图②,$\because$直线$a⊥ x$轴,并分别交直线OC,BC于点E,F,$\therefore$设$E(x,x)$,则$F(x,-x+6)$,$\therefore EF=|x+x-6|=|2x-6|$,$\therefore |2x-6|≤3$,$\therefore -3≤2x-6≤3$,解得$1.5≤ x≤4.5$。

2. 综合应用:如图①,直线$l_1:y=2x+3$与$x$轴交于点$B$,直线$l_2$与$x$轴交于点$C(\dfrac{3}{2},0)$,$l_1$,$l_2$交于$y$轴上一点$A$.
(1)特征探究:求直线$l_2$的表达式;
(2)坐标探究:过$OA$的中点$D$,作$DE// AB$交$AC$于点$E$,求$E$点坐标;
(3)规律探究:将$△ ABC$向左平移$m$个单位长度$(0＜m＜\dfrac{3}{2})$得到图②,$AC$与$y$轴交于点$P$(点$P$不与点$A$和点$C$重合),在$AB$的延长线上取一点$Q$,使$BQ=CP$,连接$PQ$交$x$轴于点$M$. 请探究$△ ABC$向左平移的过程中,线段$MO$的长度的变化情况.

2.(1)$\because$直线$l_1:y=2x+3$与y轴交于点A,$\therefore$当$x=0$时,$y=3$,则$A(0,3)$,设直线$l_2$的表达式为$y=kx+b$,将$A(0,3)$,$C(\frac{3}{2},0)$代入,得$\begin{cases}b=3,\\\frac{3}{2}k+b=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=3,\\k=-2,\end{cases}$$\therefore$直线$l_2$的函数表达式为$y=-2x+3$。
(2)$\because D$为$OA$的中点,$A(0,3)$,$\therefore D(0,\frac{3}{2})$。$\because DE// AB$,$\therefore$直线$DE$的表达式为$y=2x+\frac{3}{2}$,由$\begin{cases}y=2x+\frac{3}{2},\\y=-2x+3,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=\frac{3}{8},\\y=\frac{9}{4},\end{cases}$$\therefore E$点坐标为$(\frac{3}{8},\frac{9}{4})$。
(3)线段MO的长度不变,且$MO=\frac{3}{2}$。理由:$△ ABC$移动前,$\because$直线$l_1:y=2x+3$与x轴交于点B,$\therefore$当$y=0$时,由$2x+3=0$得$x=-\frac{3}{2}$,则$B(-\frac{3}{2},0)$,$\therefore OB=OC=\frac{3}{2}$,则$BC=OB+OC=3$。又$∠ AOB=∠ AOC$,$OA=OA$,$\therefore △ AOB≌△ AOC(\mathrm{SAS})$,$\therefore ∠ ABO=∠ ACO$,即$∠ ABC=∠ ACB$。$△ ABC$移动后,如图,过点Q作$QH⊥ x$轴于点H,则$∠ QHB=∠ POC=90°$,又$∠ QBH=∠ ABC=∠ PCO$,$BQ=PC$,$\therefore △ QHB≌△ POC(\mathrm{AAS})$,$\therefore QH=OP$,$BH=OC$,$\therefore OH=OB+BH=OB+OC=BC=3$。在$△ QHM$和$△ POM$中,$\begin{cases}∠ QHM=∠ POM=90°,\\∠ QMH=∠ PMO,\\QH=PO,\end{cases}$$\therefore △ QHM≌△ POM(\mathrm{AAS})$,$\therefore HM=OM$,$\therefore OM=\frac{1}{2}OH=\frac{3}{2}$。