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证明：
∵ 四边形ABCD是矩形
∴ AB=CD，∠B=∠D=90°
由折叠的性质得：△ABC≌△AEC
∴ AB=AE，∠B=∠E=90°
∴ AE=CD，∠E=∠D
在△AEF和△CDF中
$\{\begin{array}{l}∠E=∠D \\∠AFE=∠CFD \\AE=CD\end{array} $
∴ △AEF≌△CDF(AAS)
∴ EF=DF

(2026·南京期中)【问题情境】折纸,常常能为证明提供思路和方法.我们曾用正方形纸片折叠过等边三角形,用直角三角形纸片能折出等边三角形吗?
【复习回顾】课本第57页,第22题:



(1)如图1①,把正方形纸片ABCD对折后再展开.折痕为EF;如图1②,将点A翻折到EF上的点$A'$处,且使折痕过点B;如图1③,沿$A'C$折叠,得$△ A'BC$(如图1④).
阅读上述材料,$△ A'BC$是等边三角形的判定依据是.
(2)【小慧的思考】小慧做完了这道题后进行了思考:尝试用直角三角形折出等边三角形,她先从特殊的直角三角形进行研究:如图2①是一张直角三角形纸片($∠ C=90°$,$∠ B=15°$),将此三角形纸片按图2②折叠,使得点B与点A重合,展开,折痕为DE,连接AE;如图2③,将AC翻折到$AC'$,点C翻折到AE上的点$C'$处,再展开,连接$CC'$,得到$△ ACC'$.请你帮小慧证明$△ ACC'$是等边三角形.
(3)【你的思考】请你以图3的直角三角形纸片($∠ C=90°$,$∠ B=15°$),再设计一个不同于(2)的折纸方法(要求:折纸次数不得超过四次,并且画出示意图),使得折出的等边三角形与此直角三角形有一个顶点重合,并说明你折法的正确性.
(4)【再思考】一般的直角三角形纸片可以折出等边三角形吗?如果能,请说明你的折纸思路;若不能,请说明理由.
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(1) 三边相等的三角形是等边三角形 解析:由折叠可知, $A'B=AB,EF$ 是 $BC$ 的垂直平分线,$\therefore A'B=A'C.\because$ 四方形 $ABCD$ 是正方形,$\therefore AB=BC,\therefore AB=A'B=A'C=BC,\therefore △ A'BC$ 是等边三角形.
(2) 由折叠可知, $AE=BE,\therefore ∠ EAB=∠ B=15^{\circ },\therefore ∠ CEA=$ $∠ EAB+∠ B=30^{\circ }$. 又 $\because ∠ ACB=90^{\circ },\therefore ∠ CAE=90^{\circ }-∠ CEA=$ $60^{\circ }.\because$ 由折叠可知, $AC=AC',\therefore △ ACC'$ 是等边三角形.
(3) 合理即可,如:方法 1,如图①,将 $AC$ 翻折到 $A'C$,点 $A$ 翻折到 $AB$ 上的点 $A'$ 处,展开,再将 $AC$ 翻折到 $A''C$,点 $A$ 翻折到 $BC$ 上的点 $A''$ 处,再展开,连接 $CA',A'A''$ 得到 $△ CA'A''$,即 $△ CA'A''$ 是等边三角形. $\because ∠ C=90^{\circ },∠ B=15^{\circ },\therefore ∠ A=90^{\circ }-∠ B=75^{\circ }.$ 又 $\because AC=A'C,\therefore ∠ AA'C=75^{\circ },\therefore ∠ ACA'=180^{\circ }-∠ A-∠ AA'C=$ $30^{\circ },\therefore ∠ A'CA''=90^{\circ }-∠ ACA'=60^{\circ }$. 又 $\because A''C=AC=A'C$, $\therefore △ CA'A''$ 是等边三角形.

方法 2,如图②,将点 $A$ 翻折到 $AC$ 上的点 $C$ 处,展开,折痕为 $DE$; 将 $AC$ 翻折到 $A'C$,点 $A$ 翻折到 $DE$ 上的点 $A'$ 处,再展开,连接 $CA',A'A$ 得到 $△ ACA'$,即 $△ ACA'$ 是等边三角形. $\because DE$ 是 $AC$ 的垂直平分线,$\therefore A'A=A'C$. 又 $\because A'C=AC,\therefore △ ACA'$ 是等边三角形.
(4) 能.如图③,在较短边上取一点 $A'$( 为保证以后折叠时 $A''$ 在 $△ ABC$ 内部,$∠ CA'B ≥ 60^{\circ }$),将点 $A'$ 翻折到 $AC$ 上的点 $C$ 处,展开,折痕为 $DE$; 将 $CA'$ 翻折到 $CA''$,点 $A'$ 翻折到 $DE$ 上的点 $A''$ 处,再展开,连接 $CA'',A'A''$ 得到 $△ CA'A''$,即 $△ CA'A''$ 是等边三角形. $\because DE$ 是 $A'C$ 的垂直平分线,$\therefore A'A''=A''C$. 又 $\because A'C=A''C$, $\therefore △ CA'A''$ 是等边三角形.