4. 通过对下面数学模型的研究学习,解决下列问题:
【模型理解】
(1) 如图①,$△ ABC$,$△ ADE$共顶点$A$,$AB=AC$,
$AD=AE$,$∠ BAC = ∠ DAE$, 连接 $BD$, $CE$. 由
$∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$, 得 $∠ BAD =$
$∠ CAE$. 又 $AB = AC$, $AD = AE$, 可以推理得到
$△ ABD ≌ △ ACE$, 进而得到 $BD =$ ,
$∠ ABD =$ .
【问题研究】(2)小明同学在思考完上述问题后,解决了下面的尺规作图问题.
如图②,已知直线 $a$,$b$ 及点 $P$,$a$ 与 $b$ 不平行.
作等腰直角三角形 $PAB$,使得点 $A$,$B$ 分别在直线 $a$,$b$ 上.小明同学作法简述如下:如图③,
过点 $P$ 作 $PD ⊥ a$,垂足为点 $D$,以 $P$ 为直角顶点作等腰直角三角形 $PDE$,过点 $E$ 作 $EB ⊥$
$PE$,交$b$于点$B$,在$a$上截取$DA=BE$,连接$AB$.
$△ PAB$ 即为所要求作的等腰直角三角形.
请证明小明的作法是正确的.
【深入研究】小明同学经过研究发现:在上题条件下,也能作出等边三角形 $PAB$,使得点 $A$,
$B$ 分别在直线 $a$,$b$ 上.
(3)请你简述作法,并在图④中画出示意图.
(不需要尺规作图)

4.(1)$CE$ $∠ ACE$ 解析:$\because ∠ BAC=∠ DAE$,$\therefore ∠ BAC-$$∠ DAC=∠ DAE-∠ DAC$,$\therefore ∠ BAD=∠ CAE$.在$△ ABD$和$△ ACE$中,$\begin{cases} AB=AC, \\ ∠ BAD=∠ CAE, \\ AD=AE, \end{cases}$$\therefore △ ABD≌ △ ACE(SAS)$,$\therefore BD=CE$,$∠ ABD=∠ ACE$.故答案为$CE$,$∠ ACE.$
(2)$\because △ PDE$是以P为直角顶点的等腰直角三角形,$\therefore PE=PD$,$∠ DPE=90^{\circ }.\because EB⊥ PE$,$PD⊥ a$,$\therefore ∠ PEB=$$∠ PDA=90^{\circ }$.在$△ PEB$和$△ PDA$中,$\begin{cases} EB=DA, \\ ∠ PEB=∠ PDA, \\ PE=PD, \end{cases}$$\therefore △ PEB≌ △ PDA(SAS)$,$\therefore PB=PA$,$∠ BPE=∠ APD$,$\therefore ∠ APB=∠ APE+∠ BPE=$$∠ APE+∠ APD=∠ DPE=90^{\circ }$,$\therefore △ PAB$即为所要求作的等腰直角三角形.
(3)如图,$△ PAB$即为所求.

作法:①作$PF⊥ a$于点F;
②以PF为边在PF右侧作等边三角形PFG;
③以FG为边在FG上方作等边三角形FGH;
④连接PH交直线a于点I;
⑤连接并延长IG交直线b于点B;
⑥在射线FI上取一点A,连接PB,PA,使$PA=PB$,连接AB.