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1.先化简,再求值:
(1)已知 $x=\sqrt{3}+1$,求 $x^2-2x-3$ 的值;
(2)$(\sqrt{2x}+\sqrt{y})^2-(\sqrt{2x}-\sqrt{y})^2$,其中 $y=\sqrt{1-3x}+\sqrt{3x-1}+4$.
(1)已知 $x=\sqrt{3}+1$,求 $x^2-2x-3$ 的值;
(2)$(\sqrt{2x}+\sqrt{y})^2-(\sqrt{2x}-\sqrt{y})^2$,其中 $y=\sqrt{1-3x}+\sqrt{3x-1}+4$.
答案
(1)原式=$x^2-2x+1-4=(x-1)^2-4$.当 $x=\sqrt{3}+1$ 时,原式=$(\sqrt{3}+1-1)^2-4=3-4=-1$;
(2)原式=$(\sqrt{2x}+\sqrt{y}+\sqrt{2x}-\sqrt{y})(\sqrt{2x}+\sqrt{y}-\sqrt{2x}+\sqrt{y})=2\sqrt{2x}·2\sqrt{y}=4\sqrt{2xy}$.$\because y=\sqrt{1-3x}+\sqrt{3x-1}+4$,$\therefore 1-3x≥0$ 且 $3x-1≥0$,$\therefore x=\frac{1}{3}$,$\therefore y=4$,$\therefore$ 原式=$4\sqrt{2×\frac{1}{3}×4}=\frac{8}{3}\sqrt{6}$.
(2)原式=$(\sqrt{2x}+\sqrt{y}+\sqrt{2x}-\sqrt{y})(\sqrt{2x}+\sqrt{y}-\sqrt{2x}+\sqrt{y})=2\sqrt{2x}·2\sqrt{y}=4\sqrt{2xy}$.$\because y=\sqrt{1-3x}+\sqrt{3x-1}+4$,$\therefore 1-3x≥0$ 且 $3x-1≥0$,$\therefore x=\frac{1}{3}$,$\therefore y=4$,$\therefore$ 原式=$4\sqrt{2×\frac{1}{3}×4}=\frac{8}{3}\sqrt{6}$.
解析
【分析】
(1) 若直接将$x=\sqrt{3}+1$代入原式计算，运算量较大，可先对代数式配方变形，转化为含$(x-1)$的式子，再代入$x$的值计算，能大幅简化运算。
(2) 所求代数式是两个平方的差，符合平方差公式的结构，可先用平方差公式化简；再根据二次根式被开方数非负的性质，求出$x$、$y$的取值，最后代入化简后的式子计算即可。
【解析】
(1) 先对代数式变形：
$x^2-2x-3=x^2-2x+1-4=(x-1)^2-4$
当$x=\sqrt{3}+1$时，代入得：
原式$=(\sqrt{3}+1-1)^2-4=(\sqrt{3})^2-4=3-4=-1$
(2) 利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$化简：
$(\sqrt{2x}+\sqrt{y})^2-(\sqrt{2x}-\sqrt{y})^2$
$=[(\sqrt{2x}+\sqrt{y})+(\sqrt{2x}-\sqrt{y})][(\sqrt{2x}+\sqrt{y})-(\sqrt{2x}-\sqrt{y})]$
$=2\sqrt{2x}·2\sqrt{y}=4\sqrt{2xy}$
要使$y=\sqrt{1-3x}+\sqrt{3x-1}+4$有意义，需满足：
$\begin{cases}1-3x≥0 \\3x-1≥0\end{cases}$
解得$1-3x=0$，即$x=\frac{1}{3}$，代入得$y=0+0+4=4$
将$x=\frac{1}{3}$、$y=4$代入化简后的式子：
原式$=4\sqrt{2×\frac{1}{3}×4}=4×\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{8\sqrt{6}}{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{\frac{8}{3}\sqrt{6}}$
【知识点】
二次根式化简求值，平方差公式，二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查代数式化简求值的常用技巧，优先通过公式、配方等方法简化代数式，可降低运算出错概率；求解含二次根式的未知数时，要注意挖掘被开方数非负的隐含条件，准确求出未知数取值后再代入计算。
【难度系数】
0.7
(1) 若直接将$x=\sqrt{3}+1$代入原式计算，运算量较大，可先对代数式配方变形，转化为含$(x-1)$的式子，再代入$x$的值计算，能大幅简化运算。
(2) 所求代数式是两个平方的差，符合平方差公式的结构，可先用平方差公式化简；再根据二次根式被开方数非负的性质，求出$x$、$y$的取值，最后代入化简后的式子计算即可。
【解析】
(1) 先对代数式变形：
$x^2-2x-3=x^2-2x+1-4=(x-1)^2-4$
当$x=\sqrt{3}+1$时，代入得：
原式$=(\sqrt{3}+1-1)^2-4=(\sqrt{3})^2-4=3-4=-1$
(2) 利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$化简：
$(\sqrt{2x}+\sqrt{y})^2-(\sqrt{2x}-\sqrt{y})^2$
$=[(\sqrt{2x}+\sqrt{y})+(\sqrt{2x}-\sqrt{y})][(\sqrt{2x}+\sqrt{y})-(\sqrt{2x}-\sqrt{y})]$
$=2\sqrt{2x}·2\sqrt{y}=4\sqrt{2xy}$
要使$y=\sqrt{1-3x}+\sqrt{3x-1}+4$有意义，需满足：
$\begin{cases}1-3x≥0 \\3x-1≥0\end{cases}$
解得$1-3x=0$，即$x=\frac{1}{3}$，代入得$y=0+0+4=4$
将$x=\frac{1}{3}$、$y=4$代入化简后的式子：
原式$=4\sqrt{2×\frac{1}{3}×4}=4×\frac{2\sqrt{6}}{3}=\frac{8\sqrt{6}}{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{\frac{8}{3}\sqrt{6}}$
【知识点】
二次根式化简求值，平方差公式，二次根式有意义的条件
【点评】
本题考查代数式化简求值的常用技巧，优先通过公式、配方等方法简化代数式，可降低运算出错概率；求解含二次根式的未知数时，要注意挖掘被开方数非负的隐含条件，准确求出未知数取值后再代入计算。
【难度系数】
0.7
2.若$ x = \sqrt{6} + 2 $，求$ (10 - 4\sqrt{6})x^2 - (\sqrt{6} - 2)x + 6 $的值.
答案
$\because x=\sqrt{6}+2$,$\therefore x^2=(\sqrt{6}+2)^2=6+4\sqrt{6}+4=10+4\sqrt{6}$,$\therefore$ 原式=$(10-4\sqrt{6})(10+4\sqrt{6})-(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)+6=100-96-(6-4)+6=8$.
解析
【分析】
要计算给定代数式的值，首先已知x的表达式，我们可以先求出x²的值，再观察代数式的结构：x²的系数是10-4√6，计算得到的x²是10+4√6，二者恰好符合平方差公式的特征；同时x的系数是√6-2，x本身是√6+2，也符合平方差公式的特征，利用平方差公式计算可以大幅简化运算，避免复杂的根式展开计算。
【解析】
解：
∵ $ x = \sqrt{6} + 2 $
∴ $ x^2 = (\sqrt{6} + 2)^2 = (\sqrt{6})^2 + 2×\sqrt{6}×2 + 2^2 = 6 + 4\sqrt{6} + 4 = 10 + 4\sqrt{6} $
将x和x²代入原式得：
原式$ = (10 - 4\sqrt{6})(10 + 4\sqrt{6}) - (\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 2) + 6 $
根据平方差公式$ (a-b)(a+b)=a^2 - b^2 $，分别计算前两项：
第一项：$ (10 - 4\sqrt{6})(10 + 4\sqrt{6}) = 10^2 - (4\sqrt{6})^2 = 100 - 96 = 4 $
第二项：$ (\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 2) = (\sqrt{6})^2 - 2^2 = 6 - 4 = 2 $
∴ 原式$ = 4 - 2 + 6 = 8 $
【答案】
$\boxed{8}$
【知识点】
代数式求值，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题属于代数式求值的常规题型，解题的关键是观察已知条件和待求式的结构特征，灵活运用平方差公式简化根式运算，避免直接展开计算带来的繁琐，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
要计算给定代数式的值，首先已知x的表达式，我们可以先求出x²的值，再观察代数式的结构：x²的系数是10-4√6，计算得到的x²是10+4√6，二者恰好符合平方差公式的特征；同时x的系数是√6-2，x本身是√6+2，也符合平方差公式的特征，利用平方差公式计算可以大幅简化运算，避免复杂的根式展开计算。
【解析】
解：
∵ $ x = \sqrt{6} + 2 $
∴ $ x^2 = (\sqrt{6} + 2)^2 = (\sqrt{6})^2 + 2×\sqrt{6}×2 + 2^2 = 6 + 4\sqrt{6} + 4 = 10 + 4\sqrt{6} $
将x和x²代入原式得：
原式$ = (10 - 4\sqrt{6})(10 + 4\sqrt{6}) - (\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 2) + 6 $
根据平方差公式$ (a-b)(a+b)=a^2 - b^2 $，分别计算前两项：
第一项：$ (10 - 4\sqrt{6})(10 + 4\sqrt{6}) = 10^2 - (4\sqrt{6})^2 = 100 - 96 = 4 $
第二项：$ (\sqrt{6} - 2)(\sqrt{6} + 2) = (\sqrt{6})^2 - 2^2 = 6 - 4 = 2 $
∴ 原式$ = 4 - 2 + 6 = 8 $
【答案】
$\boxed{8}$
【知识点】
代数式求值，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题属于代数式求值的常规题型，解题的关键是观察已知条件和待求式的结构特征，灵活运用平方差公式简化根式运算，避免直接展开计算带来的繁琐，降低出错概率。
【难度系数】
0.7
