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6.如图,直线$y=2x+6$与直线$y=kx+b$($k,b$为常数,$k≠0$)相交于点$A(m,4)$,则关于$x$的不等式$2x+6＜kx+b$的解集为 （
A.$x＞-1$
B.$x＜-2$
C.$x＜-1$
D.$x＞-2$
C
）A.$x＞-1$
B.$x＜-2$
C.$x＜-1$
D.$x＞-2$
答案
6.C
解析
【分析】
解题思路分为两步：第一步先确定交点A的横坐标，因为点A在直线$y=2x+6$上，将A点的纵坐标代入该解析式即可求出m的值，得到A点坐标；第二步结合一次函数图像与不等式的关系分析解集：不等式$2x+6＜kx+b$的几何意义是直线$y=2x+6$的图像位于直线$y=kx+b$图像下方时对应的x的取值范围，结合交点位置和图像走势即可得到解集。
【解析】
1. 求点A的横坐标：
∵点$A(m,4)$在直线$y=2x+6$上，将$y=4$代入解析式得：
$2m + 6 = 4$
解得$m = -1$，即点A坐标为$(-1,4)$。
2. 分析不等式的解集：
不等式$2x+6＜kx+b$的解集，是直线$y=2x+6$的函数值小于直线$y=kx+b$的函数值时x的取值范围。
观察图像可得：两条直线交点为$A(-1,4)$，在交点左侧（即$x＜-1$时），直线$y=2x+6$位于直线$y=kx+b$的下方，满足$2x+6＜kx+b$。
因此不等式的解集为$x＜-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数点坐标特征；一次函数与一元一次不等式；一次函数图像性质
【点评】
本题是一次函数与不等式的综合基础题，核心是理解一元一次不等式的几何意义，通过数形结合的方法可快速得出解集，需注意不要混淆两条直线的上下位置对应的x范围。
【难度系数】
0.7
解题思路分为两步：第一步先确定交点A的横坐标，因为点A在直线$y=2x+6$上，将A点的纵坐标代入该解析式即可求出m的值，得到A点坐标；第二步结合一次函数图像与不等式的关系分析解集：不等式$2x+6＜kx+b$的几何意义是直线$y=2x+6$的图像位于直线$y=kx+b$图像下方时对应的x的取值范围，结合交点位置和图像走势即可得到解集。
【解析】
1. 求点A的横坐标：
∵点$A(m,4)$在直线$y=2x+6$上，将$y=4$代入解析式得：
$2m + 6 = 4$
解得$m = -1$，即点A坐标为$(-1,4)$。
2. 分析不等式的解集：
不等式$2x+6＜kx+b$的解集，是直线$y=2x+6$的函数值小于直线$y=kx+b$的函数值时x的取值范围。
观察图像可得：两条直线交点为$A(-1,4)$，在交点左侧（即$x＜-1$时），直线$y=2x+6$位于直线$y=kx+b$的下方，满足$2x+6＜kx+b$。
因此不等式的解集为$x＜-1$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
一次函数点坐标特征；一次函数与一元一次不等式；一次函数图像性质
【点评】
本题是一次函数与不等式的综合基础题，核心是理解一元一次不等式的几何意义，通过数形结合的方法可快速得出解集，需注意不要混淆两条直线的上下位置对应的x范围。
【难度系数】
0.7
7.如图,已知正比例函数$y_1=ax$与一次函数$y_2=\frac{1}{2}x+b$的图象相交于点$P$,则以下结论:
①$a＞0$;②$2a+b=1$;③当$x＜0$时,$y_1＞0$;④当$x＜-2$时,$ax＜\frac{1}{2}x+b$.其中正确的有 (
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
①$a＞0$;②$2a+b=1$;③当$x＜0$时,$y_1＞0$;④当$x＜-2$时,$ax＜\frac{1}{2}x+b$.其中正确的有 (
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
7.B
解析
【分析】
解题时结合一次函数、正比例函数的图象性质，逐个分析4个结论：1. 先根据正比例函数图象所在象限判断a的符号，验证①；2. 利用交点P的横坐标，代入两个函数解析式，通过y值相等推导等式，验证②；3. 结合a的符号和x的取值范围，判断y1的正负，验证③；4. 观察x＜-2时两个函数图象的上下位置，判断函数值大小关系，验证④，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
我们逐个判断结论：
1. 判断①：正比例函数$y_1=ax$的图象经过第二、四象限，因此比例系数$a＜0$，故①错误；
2. 判断②：两函数交点$P$的横坐标为$-2$，即$x=-2$时，两个函数的$y$值相等，代入得：
$a×(-2)=\frac{1}{2}×(-2)+b$
整理得：$-2a=-1+b$，移项后可得$2a+b=1$，故②正确；
3. 判断③：已知$a＜0$，当$x＜0$时，$y_1=ax$为负数乘负数，结果为正，即$y_1＞0$，故③正确；
4. 判断④：观察图象，当$x＜-2$时，正比例函数$y_1=ax$的图象在一次函数$y_2=\frac{1}{2}x+b$的图象上方，此时$ax＞\frac{1}{2}x+b$，故④错误。
综上，正确的结论是②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的性质，一次函数的图象与性质，一次函数与不等式
【点评】
本题解题核心是运用数形结合思想，结合函数图象的位置、交点等信息判断系数符号、函数值大小关系，是一次函数部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
解题时结合一次函数、正比例函数的图象性质，逐个分析4个结论：1. 先根据正比例函数图象所在象限判断a的符号，验证①；2. 利用交点P的横坐标，代入两个函数解析式，通过y值相等推导等式，验证②；3. 结合a的符号和x的取值范围，判断y1的正负，验证③；4. 观察x＜-2时两个函数图象的上下位置，判断函数值大小关系，验证④，最后统计正确结论的个数即可。
【解析】
我们逐个判断结论：
1. 判断①：正比例函数$y_1=ax$的图象经过第二、四象限，因此比例系数$a＜0$，故①错误；
2. 判断②：两函数交点$P$的横坐标为$-2$，即$x=-2$时，两个函数的$y$值相等，代入得：
$a×(-2)=\frac{1}{2}×(-2)+b$
整理得：$-2a=-1+b$，移项后可得$2a+b=1$，故②正确；
3. 判断③：已知$a＜0$，当$x＜0$时，$y_1=ax$为负数乘负数，结果为正，即$y_1＞0$，故③正确；
4. 判断④：观察图象，当$x＜-2$时，正比例函数$y_1=ax$的图象在一次函数$y_2=\frac{1}{2}x+b$的图象上方，此时$ax＞\frac{1}{2}x+b$，故④错误。
综上，正确的结论是②③，共2个。
【答案】
B
【知识点】
正比例函数的性质，一次函数的图象与性质，一次函数与不等式
【点评】
本题解题核心是运用数形结合思想，结合函数图象的位置、交点等信息判断系数符号、函数值大小关系，是一次函数部分的常见基础题型。
【难度系数】
0.7
8.如图，直线$y=x+1$与直线$y=kx+b(k≠0)$的交点P的纵坐标为5，则关于x的不等式$kx+b≥x+1$的解集为
$x≤ 4$
。答案
8.$x≤ 4$
解析
【分析】
要解不等式$kx+b≥x+1$，可结合一次函数的图象意义分析：该不等式表示直线$y=kx+b$的函数值大于等于直线$y=x+1$的函数值，对应图象上就是$y=kx+b$的图象在$y=x+1$图象上方（含交点）的部分对应的x的取值。首先需要先求出两条直线交点P的横坐标：已知P的纵坐标为5，且P在$y=x+1$上，代入即可求出P的横坐标，再结合图象走势判断对应的x范围即可。
【解析】
1. 求交点P的横坐标
∵点P是直线$y=x+1$与$y=kx+b$的交点，且P的纵坐标为5，
∴将$y=5$代入$y=x+1$，得：$5 = x + 1$，
解得$x=4$，即点P的坐标为$(4,5)$。
2. 结合图象分析不等式解集
不等式$kx+b≥x+1$的几何意义是：直线$y=kx+b$的图象位于直线$y=x+1$图象的上方（包括交点）时对应的x的取值范围。
观察图象可知，在交点P的左侧，即$x≤4$时，满足$y=kx+b$的图象在$y=x+1$上方（含交点）。
【答案】
$x≤ 4$
【知识点】
一次函数与不等式，一次函数图象性质，函数交点求解
【点评】
本题将一元一次不等式与一次函数图象结合，核心是理解不等式对应的图象含义，利用数形结合的方法快速得到解集，避免了求未知直线解析式的复杂运算，是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
要解不等式$kx+b≥x+1$，可结合一次函数的图象意义分析：该不等式表示直线$y=kx+b$的函数值大于等于直线$y=x+1$的函数值，对应图象上就是$y=kx+b$的图象在$y=x+1$图象上方（含交点）的部分对应的x的取值。首先需要先求出两条直线交点P的横坐标：已知P的纵坐标为5，且P在$y=x+1$上，代入即可求出P的横坐标，再结合图象走势判断对应的x范围即可。
【解析】
1. 求交点P的横坐标
∵点P是直线$y=x+1$与$y=kx+b$的交点，且P的纵坐标为5，
∴将$y=5$代入$y=x+1$，得：$5 = x + 1$，
解得$x=4$，即点P的坐标为$(4,5)$。
2. 结合图象分析不等式解集
不等式$kx+b≥x+1$的几何意义是：直线$y=kx+b$的图象位于直线$y=x+1$图象的上方（包括交点）时对应的x的取值范围。
观察图象可知，在交点P的左侧，即$x≤4$时，满足$y=kx+b$的图象在$y=x+1$上方（含交点）。
【答案】
$x≤ 4$
【知识点】
一次函数与不等式，一次函数图象性质，函数交点求解
【点评】
本题将一元一次不等式与一次函数图象结合，核心是理解不等式对应的图象含义，利用数形结合的方法快速得到解集，避免了求未知直线解析式的复杂运算，是解决这类问题的常用技巧。
【难度系数】
0.7
9.如图，直线$y=kx+b$经过$A(-2,-1),B(-3,0)$两点，则不等式组$\frac{1}{2}x≤ kx+b＜0$的解集为________。
答案
9.$-3＜x≤ -2$
解析
【分析】要解不等式组$\frac{1}{2}x≤ kx+b＜0$，首先需要确定一次函数$y=kx+b$的解析式：已知直线经过$A(-2,-1)$、$B(-3,0)$两点，可通过待定系数法代入两点坐标求出$k$、$b$的值，再将$k$、$b$代入不等式组，分别求解两个不等式，最终取两个解集的公共部分即可得到结果。也可以结合一次函数图像的几何意义，直观判断解集范围。
【解析】
1. 求一次函数解析式：
将$A(-2,-1)$、$B(-3,0)$代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}-2k + b = -1 \\-3k + b = 0\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：$k=-1$
将$k=-1$代入$-3k + b = 0$，得：$3 + b = 0$，解得$b=-3$
因此直线解析式为$y=-x-3$
2. 解不等式组$\frac{1}{2}x≤ -x -3 ＜0$：
① 解$\frac{1}{2}x≤ -x -3$：
移项得：$\frac{1}{2}x + x ≤ -3$，即$\frac{3}{2}x ≤ -3$
两边同乘$\frac{2}{3}$得：$x ≤ -2$
② 解$-x -3 ＜0$：
移项得：$-x ＜ 3$
两边同乘$-1$，不等号方向改变，得：$x ＞ -3$
3. 取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为$-3 ＜ x ≤ -2$
【答案】$-3＜x≤ -2$
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；解一元一次不等式组；一次函数的性质
【点评】本题将一次函数和不等式组结合考查，既可以通过代数运算求解，也可以借助函数图像用数形结合的方法快速得到答案，是一次函数章节的典型基础题。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 求一次函数解析式：
将$A(-2,-1)$、$B(-3,0)$代入$y=kx+b$，可得方程组：
$\begin{cases}-2k + b = -1 \\-3k + b = 0\end{cases}$
用第一个方程减去第二个方程，得：$k=-1$
将$k=-1$代入$-3k + b = 0$，得：$3 + b = 0$，解得$b=-3$
因此直线解析式为$y=-x-3$
2. 解不等式组$\frac{1}{2}x≤ -x -3 ＜0$：
① 解$\frac{1}{2}x≤ -x -3$：
移项得：$\frac{1}{2}x + x ≤ -3$，即$\frac{3}{2}x ≤ -3$
两边同乘$\frac{2}{3}$得：$x ≤ -2$
② 解$-x -3 ＜0$：
移项得：$-x ＜ 3$
两边同乘$-1$，不等号方向改变，得：$x ＞ -3$
3. 取两个解集的公共部分，得不等式组的解集为$-3 ＜ x ≤ -2$
【答案】$-3＜x≤ -2$
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；解一元一次不等式组；一次函数的性质
【点评】本题将一次函数和不等式组结合考查，既可以通过代数运算求解，也可以借助函数图像用数形结合的方法快速得到答案，是一次函数章节的典型基础题。
【难度系数】0.7
10.已知点$P(a,b)$在直线$y=\frac{1}{2}x -1$上，点$Q(-a,2b)$在直线$y=x+1$上，则代数式$a^2 -4b^2 -1=$
1
。答案
10.1
解析
【分析】
解题思路如下：首先，根据“点在直线上，则点的坐标满足直线的函数解析式”这一性质，分别将点P、点Q的坐标代入对应的直线方程，整理得到关于a、b的两个等式；其次，观察待求代数式$a^2 -4b^2 -1$，发现$a^2-4b^2$符合平方差公式的形式，可分解为$(a-2b)(a+2b)$，最后将前面得到的两个等式整体代入计算即可，不需要单独求解a、b的具体值，简化运算过程。
【解析】
1. 将点$P(a,b)$代入直线$y=\frac{1}{2}x -1$的解析式，得：
$b = \frac{1}{2}a -1$
等式两边同乘2并整理得：$a - 2b = 2$
2. 将点$Q(-a,2b)$代入直线$y=x+1$的解析式，得：
$2b = -a + 1$
整理得：$a + 2b = 1$
3. 利用平方差公式对待求式变形：
$a^2 -4b^2 -1=(a-2b)(a+2b)-1$
将$a-2b=2$、$a+2b=1$整体代入上式：
原式$=2×1 -1=1$
【答案】
1
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；平方差公式；代数式求值
【点评】
本题将一次函数性质与整式运算结合考查，解题关键是熟练掌握点在函数图象上的坐标特征，灵活运用平方差公式对代数式变形，采用整体代入的方法可避免复杂计算，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先，根据“点在直线上，则点的坐标满足直线的函数解析式”这一性质，分别将点P、点Q的坐标代入对应的直线方程，整理得到关于a、b的两个等式；其次，观察待求代数式$a^2 -4b^2 -1$，发现$a^2-4b^2$符合平方差公式的形式，可分解为$(a-2b)(a+2b)$，最后将前面得到的两个等式整体代入计算即可，不需要单独求解a、b的具体值，简化运算过程。
【解析】
1. 将点$P(a,b)$代入直线$y=\frac{1}{2}x -1$的解析式，得：
$b = \frac{1}{2}a -1$
等式两边同乘2并整理得：$a - 2b = 2$
2. 将点$Q(-a,2b)$代入直线$y=x+1$的解析式，得：
$2b = -a + 1$
整理得：$a + 2b = 1$
3. 利用平方差公式对待求式变形：
$a^2 -4b^2 -1=(a-2b)(a+2b)-1$
将$a-2b=2$、$a+2b=1$整体代入上式：
原式$=2×1 -1=1$
【答案】
1
【知识点】
一次函数图象上点的坐标特征；平方差公式；代数式求值
【点评】
本题将一次函数性质与整式运算结合考查，解题关键是熟练掌握点在函数图象上的坐标特征，灵活运用平方差公式对代数式变形，采用整体代入的方法可避免复杂计算，提高解题效率。
【难度系数】
0.7
11.如图，在平面直角坐标系中，一次函数$y=kx+b$的图象经过点$A(-2,6)$，且与$x$轴相交于点$B$，与正比例函数$y=3x$的图象相交于点$C$，点$C$的横坐标为1.
(1)求$k$，$b$的值；
(2)若点$D$在$y$轴负半轴上，且满足$S_{△ COD}=\dfrac{1}{3}S_{△ BOC}$，求点$D$的坐标.
(1)求$k$，$b$的值；
(2)若点$D$在$y$轴负半轴上，且满足$S_{△ COD}=\dfrac{1}{3}S_{△ BOC}$，求点$D$的坐标.
答案
11.解:(1)当$x=1$时,$y=3x=3$,$\therefore$点$C$的坐标为$(1,3)$.将$A(-2,6)$,$C(1,3)$代入$y=kx+b$,得
$\begin{cases}-2k+b=6, \\k+b=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1. \\b=4;\end{cases}$
(2)由(1)知,直线$AB$的解析式为$y=-x+4$,当$y=0$时,有$-x+4=0$,解得$x=4$,$\therefore$点$B$的坐标为$(4,0)$.设点$D$的坐标为$(0,m)$($m＜0$),$\because S_{△ COD}=\frac{1}{3}S_{△ BOC}$,即$-\frac{1}{2}m×1=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×3$,解得$m=-4$,$\therefore$点$D$的坐标为$(0,-4)$。
$\begin{cases}-2k+b=6, \\k+b=3,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}k=-1. \\b=4;\end{cases}$
(2)由(1)知,直线$AB$的解析式为$y=-x+4$,当$y=0$时,有$-x+4=0$,解得$x=4$,$\therefore$点$B$的坐标为$(4,0)$.设点$D$的坐标为$(0,m)$($m＜0$),$\because S_{△ COD}=\frac{1}{3}S_{△ BOC}$,即$-\frac{1}{2}m×1=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×4×3$,解得$m=-4$,$\therefore$点$D$的坐标为$(0,-4)$。
解析
【分析】
(1) 要求一次函数的系数k、b，需先确定一次函数经过的两个点的坐标：已知点C在正比例函数y=3x上且横坐标为1，代入即可求出C点坐标；再将A、C两点坐标代入一次函数解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值。
(2) 先求点B坐标：令一次函数的y=0，解出x的值即为B点横坐标；算出△BOC的面积后，设D点坐标为(0,m)（m＜0），结合△COD和△BOC的面积关系列方程求解m，即可得到D点坐标。
【解析】
(1) 求点C坐标：当x=1时，代入y=3x得y=3×1=3，
∴点C的坐标为(1,3)。
将A(-2,6)、C(1,3)代入y=kx+b，可得方程组：
$\begin{cases}-2k + b = 6 \\k + b = 3\end{cases}$
两式相减消去b得：$3k=-3$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$k+b=3$，得$-1+b=3$，解得$b=4$。
(2) 由(1)可知直线AB的解析式为$y=-x+4$，求其与x轴交点B：令$y=0$，得$-x+4=0$，解得$x=4$，
∴点B坐标为(4,0)。
设点D的坐标为(0,m)，
∵D在y轴负半轴，
∴$m＜0$。
计算$△ BOC$的面积：以OB为底，长度为4，高为点C的纵坐标3，
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×4×3=6$，
由题意得$S_{△ COD}=\frac{1}{3}S_{△ BOC}=\frac{1}{3}×6=2$。
$△ COD$以OD为底，长度为$|m|=-m$（m＜0），高为点C的横坐标1，
∴$\frac{1}{2}×(-m)×1=2$，
解得$m=-4$，即点D的坐标为(0,-4)。
【答案】
(1) $k=-1$，$b=4$；(2) $D(0,-4)$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数交点问题；三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，核心是利用函数图象上的点满足函数解析式求出各关键点坐标，再结合面积关系列方程求解，侧重考察基础运算能力和方程思想。
【难度系数】
0.7
(1) 要求一次函数的系数k、b，需先确定一次函数经过的两个点的坐标：已知点C在正比例函数y=3x上且横坐标为1，代入即可求出C点坐标；再将A、C两点坐标代入一次函数解析式，得到关于k、b的二元一次方程组，解方程组即可求出k、b的值。
(2) 先求点B坐标：令一次函数的y=0，解出x的值即为B点横坐标；算出△BOC的面积后，设D点坐标为(0,m)（m＜0），结合△COD和△BOC的面积关系列方程求解m，即可得到D点坐标。
【解析】
(1) 求点C坐标：当x=1时，代入y=3x得y=3×1=3，
∴点C的坐标为(1,3)。
将A(-2,6)、C(1,3)代入y=kx+b，可得方程组：
$\begin{cases}-2k + b = 6 \\k + b = 3\end{cases}$
两式相减消去b得：$3k=-3$，解得$k=-1$，
将$k=-1$代入$k+b=3$，得$-1+b=3$，解得$b=4$。
(2) 由(1)可知直线AB的解析式为$y=-x+4$，求其与x轴交点B：令$y=0$，得$-x+4=0$，解得$x=4$，
∴点B坐标为(4,0)。
设点D的坐标为(0,m)，
∵D在y轴负半轴，
∴$m＜0$。
计算$△ BOC$的面积：以OB为底，长度为4，高为点C的纵坐标3，
$S_{△ BOC}=\frac{1}{2}×4×3=6$，
由题意得$S_{△ COD}=\frac{1}{3}S_{△ BOC}=\frac{1}{3}×6=2$。
$△ COD$以OD为底，长度为$|m|=-m$（m＜0），高为点C的横坐标1，
∴$\frac{1}{2}×(-m)×1=2$，
解得$m=-4$，即点D的坐标为(0,-4)。
【答案】
(1) $k=-1$，$b=4$；(2) $D(0,-4)$
【知识点】
待定系数法求一次函数解析式；一次函数交点问题；三角形面积计算
【点评】
本题属于一次函数基础综合题，核心是利用函数图象上的点满足函数解析式求出各关键点坐标，再结合面积关系列方程求解，侧重考察基础运算能力和方程思想。
【难度系数】
0.7
