12.学习函数的时候,我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象,进而研究函数的性质.
请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数$y=-|x+1|+2$的图象和性质,并解决问题.
(1)①列表填空:

②在平面直角坐标系中作出函数$y=-|x+1|+2$的图象.

(2)观察函数图象,写出关于这个函数的两条性质:

(3)进一步探究函数图象发现:
①方程$-|x+1|+2=0$有个解;
②若关于$x$的方程$-|x+1|+2=a$无解,则$a$的取值范围是.

12.解:(1)①0 1;
②函数$y=-|x+1|+2$的图象如图所示:
(2)①函数的最大值是2[或者函数图象最高点的坐标是$(-1,2)$];②函数图象关于直线$x=-1$对称;③当$x＞-1$时,$y$随$x$的增大而减小(或当$x＜-1$时,$y$随$x$的增大而增大)(答案不唯一);
(3)①2 ②$a＞2$。

【分析】
解题时按照以下思路推进：1. 第一问列表填空只需将对应x值代入函数表达式计算即可得到y值；画图像按照描点、连线的步骤，先确定函数顶点，再对称选取两侧的点顺次连接即可。2. 第二问总结函数性质可从最值、增减性、对称性三个角度观察图像归纳。3. 第三问利用数形结合思想：方程$-|x+1|+2=0$的解的个数对应函数图像与x轴的交点个数；方程$-|x+1|+2=a$无解对应直线$y=a$与该函数图像无交点，结合函数的最大值即可判断a的取值范围。
【解析】
(1)① 把$x=-3$代入$y=-|x+1|+2$，得$y=-|-3+1|+2=-2+2=0$；把$x=-2$代入$y=-|x+1|+2$，得$y=-|-2+1|+2=-1+2=1$，因此两个空依次为0、1。
② 先描出$(-3,0)、(-2,1)、(-1,2)、(0,1)、(1,0)$等点，再用平滑曲线顺次连接各点，得到函数图象：
(2) 观察图像可总结性质：
① 函数的最大值是2，当$x=-1$时取得最大值；
② 函数图象关于直线$x=-1$对称（或当$x＞-1$时，$y$随$x$的增大而减小；当$x＜-1$时，$y$随$x$的增大而增大，任选两条即可）。
(3) ① 方程$-|x+1|+2=0$的解对应函数$y=-|x+1|+2$与x轴的交点，由图像可知交点共有2个，因此方程有2个解。
② 函数$y=-|x+1|+2$的最大值为2，当$a＞2$时，直线$y=a$与函数图象没有交点，即方程$-|x+1|+2=a$无解，因此a的取值范围是$a＞2$。
【答案】
(1)①$\boxed{0}$；$\boxed{1}$
②函数$y=-|x+1|+2$的图象如图所示:
(2)①函数的最大值是2；②当$x＞-1$时,$y$随$x$的增大而减小（答案不唯一）
(3)①$\boxed{2}$；②$\boxed{a＞2}$
【知识点】
绝对值函数的图象与性质；函数与方程的关系；一次函数的增减性
【点评】
本题以一次函数的研究方法为载体，考查绝对值函数的图象绘制、性质总结及数形结合思想的应用，要求学生能将方程问题转化为函数图象的交点问题，对学生的知识迁移能力和读图分析能力有一定锻炼作用。
【难度系数】
0.7