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【变式2】马虎同学在解方程$\frac{1-3x}{2} - m = \frac{1 - m}{3}$时，把等式左边的“$-m$”错看成了“$+m$”，求出方程的解为$x=1$。请你根据上述内容，求代数式$m^2 - 2m + 1$的值。
答案
解:把x=1代入方程$\frac{1-3x}{2}+m=\frac{1-m}{3}$,得$-1+m=\frac{1-m}{3}$,解得m=1.
把m=1代入$m^2-2m+1$,得$1^2-2×1+1=0$.
把m=1代入$m^2-2m+1$,得$1^2-2×1+1=0$.
解析
【分析】
解题思路可分为三步：首先，马虎同学把左边的“$-m$”看成“$+m$”，所以他解的是错误方程$\frac{1-3x}{2}+m=\frac{1-m}{3}$，且$x=1$是这个错误方程的正确解；其次，将$x=1$代入错误方程，就能得到只含未知数$m$的一元一次方程，解出$m$的值；最后把$m$代入代数式$m^2-2m+1$计算结果即可。
【解析】
1. 求$m$的值：
根据题意，看错符号后的方程为$\frac{1-3x}{2}+m=\frac{1-m}{3}$，将$x=1$代入该方程：
$\frac{1-3×1}{2}+m=\frac{1-m}{3}$
化简左边得：$-1+m=\frac{1-m}{3}$
两边同时乘3消去分母：$-3+3m=1-m$
移项合并同类项：$4m=4$
解得：$m=1$
2. 计算代数式的值：
把$m=1$代入$m^2-2m+1$得：
$1^2-2×1+1=1-2+1=0$
【答案】
$0$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；代数式求值
【点评】
本题的关键是明确错解对应的是看错符号后的方程，利用方程解的含义建立关于$m$的方程，再代入代数式计算即可，主要考察学生的审题能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：首先，马虎同学把左边的“$-m$”看成“$+m$”，所以他解的是错误方程$\frac{1-3x}{2}+m=\frac{1-m}{3}$，且$x=1$是这个错误方程的正确解；其次，将$x=1$代入错误方程，就能得到只含未知数$m$的一元一次方程，解出$m$的值；最后把$m$代入代数式$m^2-2m+1$计算结果即可。
【解析】
1. 求$m$的值：
根据题意，看错符号后的方程为$\frac{1-3x}{2}+m=\frac{1-m}{3}$，将$x=1$代入该方程：
$\frac{1-3×1}{2}+m=\frac{1-m}{3}$
化简左边得：$-1+m=\frac{1-m}{3}$
两边同时乘3消去分母：$-3+3m=1-m$
移项合并同类项：$4m=4$
解得：$m=1$
2. 计算代数式的值：
把$m=1$代入$m^2-2m+1$得：
$1^2-2×1+1=1-2+1=0$
【答案】
$0$
【知识点】
一元一次方程的解；解一元一次方程；代数式求值
【点评】
本题的关键是明确错解对应的是看错符号后的方程，利用方程解的含义建立关于$m$的方程，再代入代数式计算即可，主要考察学生的审题能力和基础运算能力。
【难度系数】
0.7
【典例3】在关于$x$的一元一次方程$\frac{3x-1}{2}+m=3$中，$m$是正整数.若该方程有正整数解，求$m$的值.
[答案]解:解方程$\frac{3x-1}{2}+m=3$,得$x=\frac{7-2m}{3}$.
因为方程有正整数解,所以分子$7-2m$是分母$3$的倍数,且大于$0$.
因为$m$是正整数,
所以当$7-2m=3$时,解得$m=2$,符合题意;
当$7-2m=6$时,解得$m=\frac{1}{2}$,不符合题意;
当$7-2m=9$时,解得$m=-1$,不符合题意.
综上,$m$的值为$2$.
[答案]解:解方程$\frac{3x-1}{2}+m=3$,得$x=\frac{7-2m}{3}$.
因为方程有正整数解,所以分子$7-2m$是分母$3$的倍数,且大于$0$.
因为$m$是正整数,
所以当$7-2m=3$时,解得$m=2$,符合题意;
当$7-2m=6$时,解得$m=\frac{1}{2}$,不符合题意;
当$7-2m=9$时,解得$m=-1$,不符合题意.
综上,$m$的值为$2$.
答案
解：
解方程$\frac{3x-1}{2}+m=3$，得$x=\frac{7-2m}{3}$。
因为方程有正整数解，所以分子$7-2m$是分母3的倍数，且大于0。
因为$m$是正整数，
所以当$7-2m=3$时，解得$m=2$，符合题意；
当$7-2m=6$时，解得$m=\frac{1}{2}$，不符合题意；
当$7-2m=9$时，解得$m=-1$，不符合题意。
综上，$m$的值为2。
解方程$\frac{3x-1}{2}+m=3$，得$x=\frac{7-2m}{3}$。
因为方程有正整数解，所以分子$7-2m$是分母3的倍数，且大于0。
因为$m$是正整数，
所以当$7-2m=3$时，解得$m=2$，符合题意；
当$7-2m=6$时，解得$m=\frac{1}{2}$，不符合题意；
当$7-2m=9$时，解得$m=-1$，不符合题意。
综上，$m$的值为2。
解析
【分析】
解题时首先将m看作已知数，求解关于x的一元一次方程，用含m的代数式表示x；再根据“方程有正整数解”的条件，可知x＞0且x是整数，由此可得分子7-2m是3的正整数倍；最后结合m是正整数的限制，分类讨论所有可能的情况，筛选出符合要求的m值即可。
【解析】
解方程$\frac{3x-1}{2}+m=3$，得$x=\frac{7-2m}{3}$。
因为方程有正整数解，所以分子$7-2m$是分母3的倍数，且大于0。
因为$m$是正整数，
所以当$7-2m=3$时，解得$m=2$，符合题意；
当$7-2m=6$时，解得$m=\frac{1}{2}$，不符合题意；
当$7-2m=9$时，解得$m=-1$，不符合题意。
综上，$m$的值为2。
【答案】
$m=2$
【知识点】
一元一次方程的解法；方程的解的概念；含参方程整数解求值
【点评】
本题是含参一元一次方程的常见题型，解题的关键是先把参数当作已知数求出方程的解，再结合题目给出的限制条件分类讨论，筛选出符合要求的参数值，能够锻炼学生的逻辑分析能力和分类讨论意识。
【难度系数】
0.7
解题时首先将m看作已知数，求解关于x的一元一次方程，用含m的代数式表示x；再根据“方程有正整数解”的条件，可知x＞0且x是整数，由此可得分子7-2m是3的正整数倍；最后结合m是正整数的限制，分类讨论所有可能的情况，筛选出符合要求的m值即可。
【解析】
解方程$\frac{3x-1}{2}+m=3$，得$x=\frac{7-2m}{3}$。
因为方程有正整数解，所以分子$7-2m$是分母3的倍数，且大于0。
因为$m$是正整数，
所以当$7-2m=3$时，解得$m=2$，符合题意；
当$7-2m=6$时，解得$m=\frac{1}{2}$，不符合题意；
当$7-2m=9$时，解得$m=-1$，不符合题意。
综上，$m$的值为2。
【答案】
$m=2$
【知识点】
一元一次方程的解法；方程的解的概念；含参方程整数解求值
【点评】
本题是含参一元一次方程的常见题型，解题的关键是先把参数当作已知数求出方程的解，再结合题目给出的限制条件分类讨论，筛选出符合要求的参数值，能够锻炼学生的逻辑分析能力和分类讨论意识。
【难度系数】
0.7
【变式3】已知关于$x$的一元一次方程$\frac{7x - 1}{2} + m = 5$，其中$m$是正整数.若该方程有正整数解，求$m$的值.
答案
解:解方程$\frac{7x-1}{2}+m=5$,得$x=\frac{11-2m}{7}$.
因为方程有正整数解,
所以分子11−2m是分母7的倍数,且大于0.
因为m是正整数,
所以当11−2m=7时,解得m=2,符合题意;
当11−2m=14时,解得$m=-\frac{3}{2}$,不符合题意.
综上,m的值为2.
因为方程有正整数解,
所以分子11−2m是分母7的倍数,且大于0.
因为m是正整数,
所以当11−2m=7时,解得m=2,符合题意;
当11−2m=14时,解得$m=-\frac{3}{2}$,不符合题意.
综上,m的值为2.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按步骤思考：第一步先求解给定的一元一次方程，用含m的代数式表示出x；第二步根据“方程有正整数解”的条件，可知x是正整数，结合x的表达式就能得到分子11-2m的要求：既是7的正倍数，同时计算出的m也要是正整数，最后筛选出符合条件的m的值即可。
【解析】
首先解方程$\frac{7x - 1}{2} + m = 5$：
1. 移项得：$\frac{7x - 1}{2} = 5 - m$
2. 两边同时乘2得：$7x - 1 = 10 - 2m$
3. 移项合并得：$7x = 11 - 2m$
4. 系数化为1得：$x = \frac{11 - 2m}{7}$
因为方程的解x是正整数，所以$\frac{11 - 2m}{7}$是正整数，即$11 - 2m$是7的正整数倍。
又因为m是正整数，我们对7的正整数倍依次验证：
当$11 - 2m = 7$时，解得$m = 2$，是正整数，符合要求；
当$11 - 2m = 14$时，解得$m = -\frac{3}{2}$，不是正整数，不符合要求；
若取7更大的正整数倍，计算出的m均为负数，都不符合要求。
综上，符合条件的m的值为2。
【答案】
$m=2$
【知识点】
一元一次方程求解，方程解的应用，正整数性质
【点评】
本题核心是结合方程解的限制条件求参数值，解题的关键是先用参数表示出方程的解，再结合正整数的限制条件筛选出符合要求的参数，解题时要注意不要忽略题目给出的m本身是正整数的限制条件。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按步骤思考：第一步先求解给定的一元一次方程，用含m的代数式表示出x；第二步根据“方程有正整数解”的条件，可知x是正整数，结合x的表达式就能得到分子11-2m的要求：既是7的正倍数，同时计算出的m也要是正整数，最后筛选出符合条件的m的值即可。
【解析】
首先解方程$\frac{7x - 1}{2} + m = 5$：
1. 移项得：$\frac{7x - 1}{2} = 5 - m$
2. 两边同时乘2得：$7x - 1 = 10 - 2m$
3. 移项合并得：$7x = 11 - 2m$
4. 系数化为1得：$x = \frac{11 - 2m}{7}$
因为方程的解x是正整数，所以$\frac{11 - 2m}{7}$是正整数，即$11 - 2m$是7的正整数倍。
又因为m是正整数，我们对7的正整数倍依次验证：
当$11 - 2m = 7$时，解得$m = 2$，是正整数，符合要求；
当$11 - 2m = 14$时，解得$m = -\frac{3}{2}$，不是正整数，不符合要求；
若取7更大的正整数倍，计算出的m均为负数，都不符合要求。
综上，符合条件的m的值为2。
【答案】
$m=2$
【知识点】
一元一次方程求解，方程解的应用，正整数性质
【点评】
本题核心是结合方程解的限制条件求参数值，解题的关键是先用参数表示出方程的解，再结合正整数的限制条件筛选出符合要求的参数，解题时要注意不要忽略题目给出的m本身是正整数的限制条件。
【难度系数】
0.7
