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【典例4】已知关于$x$的一元一次方程$2(x-1)=ax+3$有正整数解.
(1)此方程的解为$x=$(用含$a$的代数式表示);
(2)整数$a$的值为.
[解析](1)原方程去括号,得$2x-2=ax+3$.移项,得$2x-ax=3+2$.合并同类项,得$(2-a)x=5$.
系数化为1,得$x=\frac{5}{2-a}(a≠2)$.
(2)因为关于$x$的方程有正整数解,且$a$为整数,所以$2-a=1$或$2-a=5$,解得$a=1$或$a=-3$.
[答案](1)$\frac{5}{2-a}$ (2)$-3$或$1$
(1)此方程的解为$x=$(用含$a$的代数式表示);
(2)整数$a$的值为.
[解析](1)原方程去括号,得$2x-2=ax+3$.移项,得$2x-ax=3+2$.合并同类项,得$(2-a)x=5$.
系数化为1,得$x=\frac{5}{2-a}(a≠2)$.
(2)因为关于$x$的方程有正整数解,且$a$为整数,所以$2-a=1$或$2-a=5$,解得$a=1$或$a=-3$.
[答案](1)$\frac{5}{2-a}$ (2)$-3$或$1$
答案
(1) $\boldsymbol{\frac{5}{2-a}}$；(2) $\boldsymbol{-3或1}$
解析
【分析】
(1) 要求用含a的代数式表示x，可把a看作已知数，按照解一元一次方程的常规步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1逐步计算即可，注意一元一次方程的未知数系数不能为0。
(2) 已知方程的解是正整数，且a为整数，那么第一问得到的x的表达式中，分母(2-a)必须是分子5的正因数，找出5的所有正因数后分别列等式计算，就能求出整数a的值。
【解析】
(1) 对原方程去括号，得：
$2x - 2 = ax + 3$
移项，将含x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，得：
$2x - ax = 3 + 2$
合并同类项，得：
$(2 - a)x = 5$
一元一次方程的未知数系数不为0，即$2-a≠0$，系数化为1得：
$x = \frac{5}{2-a}$
(2) 因为方程有正整数解，即x为正整数，且a为整数，所以$2-a$是5的正因数。
5的正因数有1、5，分两种情况计算：
① 当$2-a=1$时，解得$a=1$，此时$x=5$，符合正整数解的要求；
② 当$2-a=5$时，解得$a=-3$，此时$x=1$，符合正整数解的要求。
综上，整数a的值为1或-3。
【答案】
(1) $\frac{5}{2-a}$；(2) $-3$或$1$
【知识点】
1. 解一元一次方程
2. 含参方程解的应用
3. 正因数的性质
【点评】
本题是含参一元一次方程的经典题型，既考查了一元一次方程的基本运算能力，又结合整数性质考查逻辑分析能力，解题的关键是抓住“正整数解”这一条件，明确分母是分子的正约数，同时注意一元一次方程未知数系数不为0的隐含限制。
【难度系数】
0.6
(1) 要求用含a的代数式表示x，可把a看作已知数，按照解一元一次方程的常规步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1逐步计算即可，注意一元一次方程的未知数系数不能为0。
(2) 已知方程的解是正整数，且a为整数，那么第一问得到的x的表达式中，分母(2-a)必须是分子5的正因数，找出5的所有正因数后分别列等式计算，就能求出整数a的值。
【解析】
(1) 对原方程去括号，得：
$2x - 2 = ax + 3$
移项，将含x的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，得：
$2x - ax = 3 + 2$
合并同类项，得：
$(2 - a)x = 5$
一元一次方程的未知数系数不为0，即$2-a≠0$，系数化为1得：
$x = \frac{5}{2-a}$
(2) 因为方程有正整数解，即x为正整数，且a为整数，所以$2-a$是5的正因数。
5的正因数有1、5，分两种情况计算：
① 当$2-a=1$时，解得$a=1$，此时$x=5$，符合正整数解的要求；
② 当$2-a=5$时，解得$a=-3$，此时$x=1$，符合正整数解的要求。
综上，整数a的值为1或-3。
【答案】
(1) $\frac{5}{2-a}$；(2) $-3$或$1$
【知识点】
1. 解一元一次方程
2. 含参方程解的应用
3. 正因数的性质
【点评】
本题是含参一元一次方程的经典题型，既考查了一元一次方程的基本运算能力，又结合整数性质考查逻辑分析能力，解题的关键是抓住“正整数解”这一条件，明确分母是分子的正约数，同时注意一元一次方程未知数系数不为0的隐含限制。
【难度系数】
0.6
方法锦囊
特殊解问题的解题步骤：
第一步：解方程，即用含待定字母的代数式表示出方程的解。
第二步：列出符合条件的值。当表示方程的解的代数式的分子中含字母时，如典例3，考虑符合题意的分母的倍数；当表示方程的解的代数式的分母中含字母时，如典例4，考虑符合题意的分子的因数。
【变式4】已知关于x的一元一次方程2x－6＝－mx有整数解，则正整数m的值为
特殊解问题的解题步骤：
第一步：解方程，即用含待定字母的代数式表示出方程的解。
第二步：列出符合条件的值。当表示方程的解的代数式的分子中含字母时，如典例3，考虑符合题意的分母的倍数；当表示方程的解的代数式的分母中含字母时，如典例4，考虑符合题意的分子的因数。
【变式4】已知关于x的一元一次方程2x－6＝－mx有整数解，则正整数m的值为
1或4
。答案
1或4
[解析] 原方程移项,得2x+mx=6.合并同类项,得(2+m)x=6.系数化为1,得$x=\frac{6}{2+m}(m≠-2)$.
因为关于x的一元一次方程有整数解,且m为正整数,所以2+m=3或2+m=6,解得m=1或m=4.
[解析] 原方程移项,得2x+mx=6.合并同类项,得(2+m)x=6.系数化为1,得$x=\frac{6}{2+m}(m≠-2)$.
因为关于x的一元一次方程有整数解,且m为正整数,所以2+m=3或2+m=6,解得m=1或m=4.
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按照特殊解问题的解题步骤思考：第一步先解这个一元一次方程，用含m的代数式表示出x的解；第二步结合“方程有整数解、m是正整数”两个条件分析x的表达式，因为x=6/(2+m)是整数，所以分母2+m必须是分子6的正因数，再结合m是正整数的要求筛选出符合条件的2+m的取值，最后算出对应的m值即可。
【解析】
首先对原方程进行求解：
1. 移项，把含x的项移到等号左边，常数项留在右边，得：$2x + mx = 6$
2. 合并同类项，得：$(2 + m)x = 6$
3. 因为这是一元一次方程，x的系数不为0即$2+m≠0$，系数化为1得：$x = \frac{6}{2+m}$
已知方程有整数解，且m是正整数，所以$2+m$是6的正因数，且$2+m＞2$（正整数m≥1）。
6的正因数有1、2、3、6，其中大于2的正因数是3和6：
当$2+m=3$时，解得$m=1$；
当$2+m=6$时，解得$m=4$。
【答案】
1或4
【知识点】
一元一次方程求解；参数求值；因数应用
【点评】
本题是一元一次方程参数求解的典型题型，解题核心是先将方程的解用含参数的代数式表示，再把整数解的条件转化为分母是分子因数的关系，结合参数的限制条件筛选出符合要求的结果，能锻炼学生的逻辑推理和分类讨论能力。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以按照特殊解问题的解题步骤思考：第一步先解这个一元一次方程，用含m的代数式表示出x的解；第二步结合“方程有整数解、m是正整数”两个条件分析x的表达式，因为x=6/(2+m)是整数，所以分母2+m必须是分子6的正因数，再结合m是正整数的要求筛选出符合条件的2+m的取值，最后算出对应的m值即可。
【解析】
首先对原方程进行求解：
1. 移项，把含x的项移到等号左边，常数项留在右边，得：$2x + mx = 6$
2. 合并同类项，得：$(2 + m)x = 6$
3. 因为这是一元一次方程，x的系数不为0即$2+m≠0$，系数化为1得：$x = \frac{6}{2+m}$
已知方程有整数解，且m是正整数，所以$2+m$是6的正因数，且$2+m＞2$（正整数m≥1）。
6的正因数有1、2、3、6，其中大于2的正因数是3和6：
当$2+m=3$时，解得$m=1$；
当$2+m=6$时，解得$m=4$。
【答案】
1或4
【知识点】
一元一次方程求解；参数求值；因数应用
【点评】
本题是一元一次方程参数求解的典型题型，解题核心是先将方程的解用含参数的代数式表示，再把整数解的条件转化为分母是分子因数的关系，结合参数的限制条件筛选出符合要求的结果，能锻炼学生的逻辑推理和分类讨论能力。
【难度系数】
0.7
1.若关于x的一元一次方程$2x+1=-3$和$2-\frac{a-x}{3}=0$的解相同，则a的值是
4
。答案
解方程$2x+1=-3$,得$x=-2$.将$x=-2$代入$2-\frac{a-x}{3}=0$,得$2-\frac{a+2}{3}=0$,解得$a=4$.
解析
【分析】
两个方程的解相同，说明两个方程里x的取值完全一样。我们可以先求解只含有未知数x的方程$2x+1=-3$，算出x的具体值，再把这个x的值代入第二个含有参数a的方程，此时第二个方程就只有a一个未知数，解这个新的方程就能求出a的数值。
【解析】
1. 求解方程$2x+1=-3$：
移项计算得$2x=-3-1$，即$2x=-4$，两边同时除以2，解得$x=-2$。
2. 因为两个方程的解相同，把$x=-2$代入$2-\frac{a-x}{3}=0$中：
代入后得$2-\frac{a-(-2)}{3}=0$，化简为$2-\frac{a+2}{3}=0$。
两边同时乘3消去分母得$6-(a+2)=0$，去括号得$6-a-2=0$，整理得$4-a=0$，解得$a=4$。
【答案】
4
【知识点】
一元一次方程求解，同解方程的应用
【点评】
本题是同解方程的基础常考题，解题关键是抓住“解相同”的条件，先求出不含参数的方程的解，再代入含参数的方程计算即可，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
两个方程的解相同，说明两个方程里x的取值完全一样。我们可以先求解只含有未知数x的方程$2x+1=-3$，算出x的具体值，再把这个x的值代入第二个含有参数a的方程，此时第二个方程就只有a一个未知数，解这个新的方程就能求出a的数值。
【解析】
1. 求解方程$2x+1=-3$：
移项计算得$2x=-3-1$，即$2x=-4$，两边同时除以2，解得$x=-2$。
2. 因为两个方程的解相同，把$x=-2$代入$2-\frac{a-x}{3}=0$中：
代入后得$2-\frac{a-(-2)}{3}=0$，化简为$2-\frac{a+2}{3}=0$。
两边同时乘3消去分母得$6-(a+2)=0$，去括号得$6-a-2=0$，整理得$4-a=0$，解得$a=4$。
【答案】
4
【知识点】
一元一次方程求解，同解方程的应用
【点评】
本题是同解方程的基础常考题，解题关键是抓住“解相同”的条件，先求出不含参数的方程的解，再代入含参数的方程计算即可，解题逻辑清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
2.小马虎在解关于x的一元一次方程7－2(x－1)－3m＝－3x－3时，把括号里的“x－1”错看成了“x＋1”，求出方程的解为x＝1，则m＝
3
，方程正确的解是$x=-3$
。答案
把$x=1$代入小虎错看的方程$7-2(x+1)-3m=-3x-3$,得$7-2×(1+1)-3m=-3×1-3$,解得$m=3$,所以将$m=3$代入原方程,得$7-2(x-1)-9=-3x-3$,解得$x=-3$.
解析
【分析】
解题分两步完成：第一步，小马虎虽然看错了括号内的式子，但他算出的解x=1是符合看错后的方程的，且参数m没有看错，因此把x=1代入看错后的方程就能求出m的值；第二步，将求出的m代入原来的正确方程，解一元一次方程即可得到正确的解。
【解析】
1. 求m的值
小马虎错看后的方程为：$7-2(x+1)-3m=-3x-3$
将错解$x=1$代入上述方程：
左边：$7-2×(1+1)-3m=7-4-3m=3-3m$
右边：$-3×1-3=-6$
根据左右两边相等列等式：$3-3m=-6$
计算得：$3m=3+6=9$，解得$m=3$。
2. 求正确方程的解
把$m=3$代入原正确方程$7-2(x-1)-3m=-3x-3$，得：
$7-2(x-1)-9=-3x-3$
去括号：$7-2x+2-9=-3x-3$
合并左边同类项：$-2x=-3x-3$
移项计算：$3x-2x=-3$，解得$x=-3$。
【答案】
3；-3
【知识点】
方程的解的应用；解一元一次方程；错中求解
【点评】
本题是一元一次方程的典型错解题型，解题核心是抓住错解满足看错后的方程这一关键点，先求出不变的参数m，再代入原方程求解，主要考查学生对方程解的概念的理解和基础运算能力，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.75
解题分两步完成：第一步，小马虎虽然看错了括号内的式子，但他算出的解x=1是符合看错后的方程的，且参数m没有看错，因此把x=1代入看错后的方程就能求出m的值；第二步，将求出的m代入原来的正确方程，解一元一次方程即可得到正确的解。
【解析】
1. 求m的值
小马虎错看后的方程为：$7-2(x+1)-3m=-3x-3$
将错解$x=1$代入上述方程：
左边：$7-2×(1+1)-3m=7-4-3m=3-3m$
右边：$-3×1-3=-6$
根据左右两边相等列等式：$3-3m=-6$
计算得：$3m=3+6=9$，解得$m=3$。
2. 求正确方程的解
把$m=3$代入原正确方程$7-2(x-1)-3m=-3x-3$，得：
$7-2(x-1)-9=-3x-3$
去括号：$7-2x+2-9=-3x-3$
合并左边同类项：$-2x=-3x-3$
移项计算：$3x-2x=-3$，解得$x=-3$。
【答案】
3；-3
【知识点】
方程的解的应用；解一元一次方程；错中求解
【点评】
本题是一元一次方程的典型错解题型，解题核心是抓住错解满足看错后的方程这一关键点，先求出不变的参数m，再代入原方程求解，主要考查学生对方程解的概念的理解和基础运算能力，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.75
3.方程 $2 - 3(x + 1) = 0$ 的解与关于 $x$ 的方程 $\frac{k + x}{2} - 3k - 2 = 2x$ 的解互为倒数，求 $k$ 的值.
答案
解:解方程$2-3(x+1)=0$,得$x=-\frac{1}{3}$.
因为这两个方程的解互为倒数,
所以方程$\frac{k+x}{2}-3k-2=2x$的解为$x=-3$,所以$\frac{k-3}{2}-3k-2=-6$,解得$k=1$.
因为这两个方程的解互为倒数,
所以方程$\frac{k+x}{2}-3k-2=2x$的解为$x=-3$,所以$\frac{k-3}{2}-3k-2=-6$,解得$k=1$.
解析
【分析】
解题分三步思考：第一步先求解不含参数的方程$2 - 3(x + 1) = 0$，得到它的解；第二步根据“两个解互为倒数”的条件，利用倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数），算出第二个方程的解；第三步把第二个方程的解代入含k的方程，得到只关于k的一元一次方程，解出k的值即可。
【解析】
解：先解方程$2 - 3(x + 1) = 0$
移项得：$3(x+1)=2$
两边同时除以3得：$x+1=\frac{2}{3}$
解得：$x=-\frac{1}{3}$
因为两个方程的解互为倒数，所以第二个方程的解为$1÷(-\frac{1}{3})=-3$
将$x=-3$代入方程$\frac{k + x}{2} - 3k - 2 = 2x$，可得：
$\frac{k - 3}{2} - 3k - 2 = 2×(-3)$
化简得：$\frac{k - 3}{2} - 3k - 2 = -6$
两边同时乘2消去分母：$k - 3 - 6k - 4 = -12$
合并同类项得：$-5k -7 = -12$
移项计算得：$-5k = -5$
解得：$k=1$
【答案】
$k=1$
【知识点】
一元一次方程求解，倒数的定义，方程的解的应用
【点评】
本题是基础类综合题，结合了一元一次方程解法和倒数性质两个考点，解题的关键是先求出已知方程的解，再利用倒数关系得到含参方程的解，代入后即可求出参数，熟练掌握基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题分三步思考：第一步先求解不含参数的方程$2 - 3(x + 1) = 0$，得到它的解；第二步根据“两个解互为倒数”的条件，利用倒数的定义（乘积为1的两个数互为倒数），算出第二个方程的解；第三步把第二个方程的解代入含k的方程，得到只关于k的一元一次方程，解出k的值即可。
【解析】
解：先解方程$2 - 3(x + 1) = 0$
移项得：$3(x+1)=2$
两边同时除以3得：$x+1=\frac{2}{3}$
解得：$x=-\frac{1}{3}$
因为两个方程的解互为倒数，所以第二个方程的解为$1÷(-\frac{1}{3})=-3$
将$x=-3$代入方程$\frac{k + x}{2} - 3k - 2 = 2x$，可得：
$\frac{k - 3}{2} - 3k - 2 = 2×(-3)$
化简得：$\frac{k - 3}{2} - 3k - 2 = -6$
两边同时乘2消去分母：$k - 3 - 6k - 4 = -12$
合并同类项得：$-5k -7 = -12$
移项计算得：$-5k = -5$
解得：$k=1$
【答案】
$k=1$
【知识点】
一元一次方程求解，倒数的定义，方程的解的应用
【点评】
本题是基础类综合题，结合了一元一次方程解法和倒数性质两个考点，解题的关键是先求出已知方程的解，再利用倒数关系得到含参方程的解，代入后即可求出参数，熟练掌握基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
4.(福建龙岩新罗区期末)若关于x的方程$(k-1)x=3$有整数解，则正整数k的值为
2或4
。答案
解方程$(k-1)x=3$,得$x=\frac{3}{k-1}(k≠1)$.
因为关于$x$的方程$(k-1)x=3$有整数解,且$k$为正整数,
所以$k-1=1$或$k-1=3$,解得$k=2$或$k=4$,所以正整数$k$的值为2或4.
因为关于$x$的方程$(k-1)x=3$有整数解,且$k$为正整数,
所以$k-1=1$或$k-1=3$,解得$k=2$或$k=4$,所以正整数$k$的值为2或4.
解析
【分析】
首先我们要先把方程中的x用含k的式子表示出来，注意x的系数不能为0，也就是k≠1。题目要求方程有整数解，且k是正整数，说明$\frac{3}{k-1}$的结果是整数，因此k-1必须是3的因数，再结合k是正整数的限制，筛选出符合要求的k-1的取值，最后计算对应的k值即可。
【解析】
解：求解方程$(k-1)x=3$，
当$k≠1$时，方程两边同时除以$(k-1)$，得$x=\frac{3}{k-1}$。
因为方程有整数解，且k为正整数，所以k-1是3的正因数（若k-1为负因数，计算出的k不是正整数，不符合要求）。
3的正因数为1、3，分情况讨论：
① 当$k-1=1$时，解得$k=2$；
② 当$k-1=3$时，解得$k=4$。
因此正整数k的值为2或4。
【答案】
2或4
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 因数的应用
【点评】
本题属于含参数一元一次方程整数解的基础题型，解题关键是先将方程的解用参数表示，再结合整数解要求和参数的取值限制筛选出符合条件的结果，解题时注意不要忽略一次项系数不为0的前提。
【难度系数】
0.7
首先我们要先把方程中的x用含k的式子表示出来，注意x的系数不能为0，也就是k≠1。题目要求方程有整数解，且k是正整数，说明$\frac{3}{k-1}$的结果是整数，因此k-1必须是3的因数，再结合k是正整数的限制，筛选出符合要求的k-1的取值，最后计算对应的k值即可。
【解析】
解：求解方程$(k-1)x=3$，
当$k≠1$时，方程两边同时除以$(k-1)$，得$x=\frac{3}{k-1}$。
因为方程有整数解，且k为正整数，所以k-1是3的正因数（若k-1为负因数，计算出的k不是正整数，不符合要求）。
3的正因数为1、3，分情况讨论：
① 当$k-1=1$时，解得$k=2$；
② 当$k-1=3$时，解得$k=4$。
因此正整数k的值为2或4。
【答案】
2或4
【知识点】
1. 一元一次方程的解法
2. 因数的应用
【点评】
本题属于含参数一元一次方程整数解的基础题型，解题关键是先将方程的解用参数表示，再结合整数解要求和参数的取值限制筛选出符合条件的结果，解题时注意不要忽略一次项系数不为0的前提。
【难度系数】
0.7
5.(安徽合肥瑶海区期中)已知关于x的方程$2(x-1)=3m-1$与$3x+2=-2(m+1)$的解互为相反数，求$m$的值.
答案
解:解方程$2(x-1)=3m-1$,得$x=\frac{3m+1}{2}$.解方程$3x+2=-2(m+1)$,得$x=\frac{-2m-4}{3}$.
因为这两个方程的解互为相反数,所以$\frac{3m+1}{2}+\frac{-2m-4}{3}=0$,解得$m=1$.
因为这两个方程的解互为相反数,所以$\frac{3m+1}{2}+\frac{-2m-4}{3}=0$,解得$m=1$.
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照3个步骤思考：第一步，分别把两个方程中的m看作已知数，解关于x的一元一次方程，用含m的式子表示出两个方程的解；第二步，根据“两个解互为相反数”的性质，互为相反数的两个数相加和为0，把两个表示解的式子相加等于0，得到一个只含m的方程；第三步，解这个关于m的方程，就能求出m的值。
【解析】
先解方程$2(x-1)=3m-1$：
去括号得：$2x - 2 = 3m - 1$
移项合并得：$2x = 3m + 1$
两边同时除以2得：$x = \frac{3m + 1}{2}$
再解方程$3x + 2 = -2(m + 1)$：
去括号得：$3x + 2 = -2m - 2$
移项合并得：$3x = -2m - 4$
两边同时除以3得：$x = \frac{-2m - 4}{3}$
因为两个方程的解互为相反数，所以两个解的和为0，列方程得：
$\frac{3m + 1}{2} + \frac{-2m - 4}{3} = 0$
两边同时乘6消去分母得：$3(3m + 1) + 2(-2m - 4) = 0$
去括号得：$9m + 3 - 4m - 8 = 0$
合并同类项得：$5m - 5 = 0$
解得：$m = 1$
【答案】
$m=1$
【知识点】
一元一次方程的解法，相反数的性质
【点评】
本题属于一元一次方程的综合基础题，重点考查对一元一次方程解的理解和相反数性质的应用，解题核心是先把两个方程的解用含参数m的式子表示出来，再根据题意列方程求解。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按照3个步骤思考：第一步，分别把两个方程中的m看作已知数，解关于x的一元一次方程，用含m的式子表示出两个方程的解；第二步，根据“两个解互为相反数”的性质，互为相反数的两个数相加和为0，把两个表示解的式子相加等于0，得到一个只含m的方程；第三步，解这个关于m的方程，就能求出m的值。
【解析】
先解方程$2(x-1)=3m-1$：
去括号得：$2x - 2 = 3m - 1$
移项合并得：$2x = 3m + 1$
两边同时除以2得：$x = \frac{3m + 1}{2}$
再解方程$3x + 2 = -2(m + 1)$：
去括号得：$3x + 2 = -2m - 2$
移项合并得：$3x = -2m - 4$
两边同时除以3得：$x = \frac{-2m - 4}{3}$
因为两个方程的解互为相反数，所以两个解的和为0，列方程得：
$\frac{3m + 1}{2} + \frac{-2m - 4}{3} = 0$
两边同时乘6消去分母得：$3(3m + 1) + 2(-2m - 4) = 0$
去括号得：$9m + 3 - 4m - 8 = 0$
合并同类项得：$5m - 5 = 0$
解得：$m = 1$
【答案】
$m=1$
【知识点】
一元一次方程的解法，相反数的性质
【点评】
本题属于一元一次方程的综合基础题，重点考查对一元一次方程解的理解和相反数性质的应用，解题核心是先把两个方程的解用含参数m的式子表示出来，再根据题意列方程求解。
【难度系数】
0.7
6. 练思维·逆向推理 已知关于$x$的方程$x - \frac{1 - ax}{6} = \frac{x}{3} - 1$有正整数解，求整数$a$的所有可能的值的和。
答案
解:解方程$x-\frac{1-ax}{6}=\frac{x}{3}-1$,
得$x=-\frac{5}{4+a}(a≠-4)$.
因为$-\frac{5}{4+a}$是正整数,且$a$为整数,
所以$4+a=-1$或$4+a=-5$,
解得$a=-5$或$a=-9$,所以整数$a$的所有可能的值的和为$-5+(-9)=-14$.
得$x=-\frac{5}{4+a}(a≠-4)$.
因为$-\frac{5}{4+a}$是正整数,且$a$为整数,
所以$4+a=-1$或$4+a=-5$,
解得$a=-5$或$a=-9$,所以整数$a$的所有可能的值的和为$-5+(-9)=-14$.
解析
【分析】
解题时按照三步思路推导：第一步，先解关于x的一元一次方程，将x用含a的代数式表示；第二步，结合“解是正整数、a是整数”的条件分析，要让x为正整数，需保证分母是-5的负因数（分子是-5，只有分母为负时，分式结果才为正，同时分母要能整除-5才能让x是整数）；第三步，求出所有符合要求的a的值，再相加得到最终结果。
【解析】
1. 解方程：
先去分母，方程两边同时乘6得：
$6x - (1 - ax) = 2x - 6$
去括号得：
$6x - 1 + ax = 2x - 6$
移项、合并同类项得：
$(4 + a)x = -5$
当$a≠-4$时，系数化为1得：
$x=-\frac{5}{4+a}$
2. 结合条件筛选a的取值：
因为x是正整数，a是整数，所以$4+a$是-5的负因数，-5的负因数有-1、-5：
① 当$4+a=-1$时，解得$a=-5$，此时$x=5$，是正整数，符合要求；
② 当$4+a=-5$时，解得$a=-9$，此时$x=1$，是正整数，符合要求。
3. 计算所有a的和：
$(-5)+(-9)=-14$
【答案】
$-14$
【知识点】
一元一次方程解法，正整数概念，因数应用
【点评】
本题侧重考查逆向推理能力，解题关键是先将方程的解用含参数的代数式表示，再结合解的属性限制筛选参数的可能值，解题时要注意分母不能为0的隐含条件。
【难度系数】
0.6
解题时按照三步思路推导：第一步，先解关于x的一元一次方程，将x用含a的代数式表示；第二步，结合“解是正整数、a是整数”的条件分析，要让x为正整数，需保证分母是-5的负因数（分子是-5，只有分母为负时，分式结果才为正，同时分母要能整除-5才能让x是整数）；第三步，求出所有符合要求的a的值，再相加得到最终结果。
【解析】
1. 解方程：
先去分母，方程两边同时乘6得：
$6x - (1 - ax) = 2x - 6$
去括号得：
$6x - 1 + ax = 2x - 6$
移项、合并同类项得：
$(4 + a)x = -5$
当$a≠-4$时，系数化为1得：
$x=-\frac{5}{4+a}$
2. 结合条件筛选a的取值：
因为x是正整数，a是整数，所以$4+a$是-5的负因数，-5的负因数有-1、-5：
① 当$4+a=-1$时，解得$a=-5$，此时$x=5$，是正整数，符合要求；
② 当$4+a=-5$时，解得$a=-9$，此时$x=1$，是正整数，符合要求。
3. 计算所有a的和：
$(-5)+(-9)=-14$
【答案】
$-14$
【知识点】
一元一次方程解法，正整数概念，因数应用
【点评】
本题侧重考查逆向推理能力，解题关键是先将方程的解用含参数的代数式表示，再结合解的属性限制筛选参数的可能值，解题时要注意分母不能为0的隐含条件。
【难度系数】
0.6
