登录
12. 三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.
(1)写出下列各点的坐标:A
(2)将三角形ABC向左平移3个单位长度,再向下平移3个单位长度得到三角形A'B'C',在图中画出三角形A'B'C';
(3)求三角形A'B'C'的面积.
(1)写出下列各点的坐标:A
(1,3)
,B (2,0)
,C (3,1)
;(2)将三角形ABC向左平移3个单位长度,再向下平移3个单位长度得到三角形A'B'C',在图中画出三角形A'B'C';
(3)求三角形A'B'C'的面积.
答案
12.解:(1)(1,3) (2,0) (3,1)
(2)
∵点A(1,3),B(2,0),C(3,1),
且△ABC向左平移3个单位长度,再向下平移3个单位长度得到△A'B'C',
∴点A'(-2,0),B'(-1,-3),C'(0,-2),依次连接A'B',A'C',B'C',如图,
∴△A'B'C'即为所求。
(3)△A'B'C'的面积=2×3 - 1/2×1×3 - 1/2×1×1 - 1/2×2×2=2。
解析
【分析】
(1) 求点的坐标时，根据平面直角坐标系中点的坐标定义，横坐标是点向x轴作垂线对应的x轴数值，纵坐标是向y轴作垂线对应的y轴数值，依次读取A、B、C三点的横、纵坐标即可。
(2) 图形平移时，图形上每个点的平移规则一致：向左平移横坐标减小，向下平移纵坐标减小，所以将A、B、C三点的横坐标都减3，纵坐标都减3，得到平移后A'、B'、C'的坐标，再依次连接三个点即可得到平移后的三角形。
(3) 平移不改变图形的面积，所以△A'B'C'的面积和△ABC的面积相等。对于格点三角形的面积，我们可以用割补法：将三角形放在一个可计算面积的矩形内，用矩形面积减去三角形周围三个直角三角形的面积，即可得到所求三角形的面积。
【解析】
(1) 观察坐标系可得：点A的横坐标为1，纵坐标为3，即A(1,3)；点B的横坐标为2，纵坐标为0，即B(2,0)；点C的横坐标为3，纵坐标为1，即C(3,1)。
(2) 根据平移规则：向左平移3个单位，横坐标减3；向下平移3个单位，纵坐标减3。
则A'的坐标为$(1-3, 3-3)=(-2,0)$，
B'的坐标为$(2-3, 0-3)=(-1,-3)$，
C'的坐标为$(3-3,1-3)=(0,-2)$，
依次连接A'、B'、C'，得到△A'B'C'，如图：
(3) 用割补法计算面积：
将△A'B'C'放在长为3、宽为2的矩形中，矩形面积$=2×3=6$，
周围三个直角三角形的面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}×1×3=1.5$，$S_2=\frac{1}{2}×1×1=0.5$，$S_3=\frac{1}{2}×2×2=2$，
所以△A'B'C'的面积$=6 - 1.5 - 0.5 - 2=2$。
【答案】
(1) $(1,3)$；$(2,0)$；$(3,1)$
(2) 点$A'(-2,0)$，$B'(-1,-3)$，$C'(0,-2)$，依次连接得到△A'B'C'，
(3) $2$
【知识点】
点的坐标书写；图形平移的坐标变化；割补法求图形面积
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，考察的都是坐标系相关的核心基础知识点，平移坐标变化规则和割补法求格点图形面积是常考内容，掌握方法后解题难度低，计算时注意仔细即可。
【难度系数】
0.7
(1) 求点的坐标时，根据平面直角坐标系中点的坐标定义，横坐标是点向x轴作垂线对应的x轴数值，纵坐标是向y轴作垂线对应的y轴数值，依次读取A、B、C三点的横、纵坐标即可。
(2) 图形平移时，图形上每个点的平移规则一致：向左平移横坐标减小，向下平移纵坐标减小，所以将A、B、C三点的横坐标都减3，纵坐标都减3，得到平移后A'、B'、C'的坐标，再依次连接三个点即可得到平移后的三角形。
(3) 平移不改变图形的面积，所以△A'B'C'的面积和△ABC的面积相等。对于格点三角形的面积，我们可以用割补法：将三角形放在一个可计算面积的矩形内，用矩形面积减去三角形周围三个直角三角形的面积，即可得到所求三角形的面积。
【解析】
(1) 观察坐标系可得：点A的横坐标为1，纵坐标为3，即A(1,3)；点B的横坐标为2，纵坐标为0，即B(2,0)；点C的横坐标为3，纵坐标为1，即C(3,1)。
(2) 根据平移规则：向左平移3个单位，横坐标减3；向下平移3个单位，纵坐标减3。
则A'的坐标为$(1-3, 3-3)=(-2,0)$，
B'的坐标为$(2-3, 0-3)=(-1,-3)$，
C'的坐标为$(3-3,1-3)=(0,-2)$，
依次连接A'、B'、C'，得到△A'B'C'，如图：
(3) 用割补法计算面积：
将△A'B'C'放在长为3、宽为2的矩形中，矩形面积$=2×3=6$，
周围三个直角三角形的面积分别为：
$S_1=\frac{1}{2}×1×3=1.5$，$S_2=\frac{1}{2}×1×1=0.5$，$S_3=\frac{1}{2}×2×2=2$，
所以△A'B'C'的面积$=6 - 1.5 - 0.5 - 2=2$。
【答案】
(1) $(1,3)$；$(2,0)$；$(3,1)$
(2) 点$A'(-2,0)$，$B'(-1,-3)$，$C'(0,-2)$，依次连接得到△A'B'C'，
(3) $2$
【知识点】
点的坐标书写；图形平移的坐标变化；割补法求图形面积
【点评】
本题是平面直角坐标系的基础综合题，考察的都是坐标系相关的核心基础知识点，平移坐标变化规则和割补法求格点图形面积是常考内容，掌握方法后解题难度低，计算时注意仔细即可。
【难度系数】
0.7
13.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为$(0,a),(b,0)$,其中$a,b$满足$|2a-3-1|+\sqrt{2+2b-8}=0$.
(1)求$A,B$两点的坐标;
(2)将线段$AB$平移到$CD$位置,点$A$的对应点为第三象限中的点$C(-2,t)$.若三角形$ABC$的面积为$9$,求点$D$的坐标.
(1)求$A,B$两点的坐标;
(2)将线段$AB$平移到$CD$位置,点$A$的对应点为第三象限中的点$C(-2,t)$.若三角形$ABC$的面积为$9$,求点$D$的坐标.
答案
13.解:(1)
∵|2a-3-1|+√(2+2b-8)=0,
∴2a-3-1=0,2+2b-8=0,解得a=2,b=3,
∴A,B两点的坐标分别为(0,2),(3,0)。
(2)如图,S△ABC=S长方形CMNT - (S△ANB + S△ACT + S△CMB),
由题意得9=5×(2-t) - [1/2×2×3 + 1/2×2×(2-t) + 1/2×5×(-t)],
解得t=-8/3,
∴点C的坐标为(-2,-8/3)。
由点A平移到点C可知,先向左移2个单位长度,再向下移14/3个单位长度,
∴点D的横坐标为3-2=1,纵坐标为0 - 14/3 = -14/3,
∴点D的坐标为(1,-14/3)。
解析
【分析】
（1）第一问观察到等式是绝对值加算术平方根等于0的形式，根据非负数的性质：绝对值和算术平方根都是非负数，两个非负数的和为0时，这两个非负数各自为0，据此列一元一次方程即可求出a、b的值，进而得到A、B两点的坐标。
（2）第二问要求点D的坐标，需要先明确线段AB平移到CD的平移规律，平移规律由点A到点C的坐标变化确定，因此需要先求出点C的纵坐标t。已知△ABC的面积为9，坐标系中无直接底高的三角形面积可通过割补法计算：将△ABC置于长方形内，用长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，据此列关于t的方程求解得到t，确定点C坐标后推导平移规律，再将点B按该规律平移即可得到点D的坐标。
【解析】
(1) 已知$|2a-3-1|+\sqrt{2+2b-8}=0$，
∵绝对值和算术平方根均为非负数，两个非负数的和为0，则两个非负数的值均为0，
∴$\begin{cases}2a-3-1=0 \\2+2b-8=0 \end{cases}$，
解得$\begin{cases}a=2 \\b=3 \end{cases}$，
∴A、B两点的坐标分别为$A(0,2)$，$B(3,0)$。
(2) 如图构造长方形$CMNT$，根据割补法可得$S_{△ ABC}=S_{\mathrm{长方形}CMNT} - (S_{△ ANB} + S_{△ ACT} + S_{△ CMB})$，
将已知面积和坐标代入得：
$9=5×(2-t) - [\frac{1}{2}×2×3 + \frac{1}{2}×2×(2-t) + \frac{1}{2}×5×(-t)]$，
解方程得$t=-\frac{8}{3}$，
∴点C的坐标为$(-2,-\frac{8}{3})$。
由点$A(0,2)$平移到点$C(-2,-\frac{8}{3})$可知，平移规律为：横坐标减2，纵坐标减$\frac{14}{3}$，
∴点$B(3,0)$按此规律平移后，横坐标为$3-2=1$，纵坐标为$0-\frac{14}{3}=-\frac{14}{3}$，
∴点D的坐标为$(1,-\frac{14}{3})$。
【答案】
(1) $A(0,2)$，$B(3,0)$；
(2) $D(1,-\frac{14}{3})$
【知识点】
非负数的性质；坐标平移规律；割补法求面积
【点评】
本题综合考查了非负数的性质、平面直角坐标系中图形平移的坐标变化规律，以及坐标系中三角形面积的计算方法，解题的关键是熟练掌握平移前后对应点坐标的变化规律，灵活运用割补法处理无直接底高的三角形面积问题，计算时注意第三象限内点的坐标符号为负，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
（1）第一问观察到等式是绝对值加算术平方根等于0的形式，根据非负数的性质：绝对值和算术平方根都是非负数，两个非负数的和为0时，这两个非负数各自为0，据此列一元一次方程即可求出a、b的值，进而得到A、B两点的坐标。
（2）第二问要求点D的坐标，需要先明确线段AB平移到CD的平移规律，平移规律由点A到点C的坐标变化确定，因此需要先求出点C的纵坐标t。已知△ABC的面积为9，坐标系中无直接底高的三角形面积可通过割补法计算：将△ABC置于长方形内，用长方形面积减去周围三个直角三角形的面积，据此列关于t的方程求解得到t，确定点C坐标后推导平移规律，再将点B按该规律平移即可得到点D的坐标。
【解析】
(1) 已知$|2a-3-1|+\sqrt{2+2b-8}=0$，
∵绝对值和算术平方根均为非负数，两个非负数的和为0，则两个非负数的值均为0，
∴$\begin{cases}2a-3-1=0 \\2+2b-8=0 \end{cases}$，
解得$\begin{cases}a=2 \\b=3 \end{cases}$，
∴A、B两点的坐标分别为$A(0,2)$，$B(3,0)$。
(2) 如图构造长方形$CMNT$，根据割补法可得$S_{△ ABC}=S_{\mathrm{长方形}CMNT} - (S_{△ ANB} + S_{△ ACT} + S_{△ CMB})$，
将已知面积和坐标代入得：
$9=5×(2-t) - [\frac{1}{2}×2×3 + \frac{1}{2}×2×(2-t) + \frac{1}{2}×5×(-t)]$，
解方程得$t=-\frac{8}{3}$，
∴点C的坐标为$(-2,-\frac{8}{3})$。
由点$A(0,2)$平移到点$C(-2,-\frac{8}{3})$可知，平移规律为：横坐标减2，纵坐标减$\frac{14}{3}$，
∴点$B(3,0)$按此规律平移后，横坐标为$3-2=1$，纵坐标为$0-\frac{14}{3}=-\frac{14}{3}$，
∴点D的坐标为$(1,-\frac{14}{3})$。
【答案】
(1) $A(0,2)$，$B(3,0)$；
(2) $D(1,-\frac{14}{3})$
【知识点】
非负数的性质；坐标平移规律；割补法求面积
【点评】
本题综合考查了非负数的性质、平面直角坐标系中图形平移的坐标变化规律，以及坐标系中三角形面积的计算方法，解题的关键是熟练掌握平移前后对应点坐标的变化规律，灵活运用割补法处理无直接底高的三角形面积问题，计算时注意第三象限内点的坐标符号为负，避免符号错误。
【难度系数】
0.6
