10. 某校去年上半年发放给经济困难学生每人800 元,今年上半年发放给经济困难学生每人 1 152 元. 设每半年发放的资助金额平均增长率为$x$,则可列方程为.

10. 800(1+x)²=1 152 解析:根据题意列方程即可.

11. 某个体户第一年以5万元的资金投入，获得8%的利润，第二年以5万元和第一年的利润投入，获得6 500元的利润，则这两年的平均利润率为.

11. 10% 解析:设这两年的平均利润率为 x. 由题意,得5(1+x)²=5×(1+8%)+0.65,即(1+x)²=1.21,解得 x₁=0.1=10%,x₂=-2.1(不合题意,舍去). 故这两年的平均利润率为 10%.

12. (2025·江苏苏州二模)如图,在平面直角坐标系中,过点$O(0,0),A(0,2),C(6,0)$作矩形$OABC$,$∠ AOC$的平分线交$AB$于点$D$.点$P$从点$O$出发,以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度沿射线$OD$方向运动; 同时点$Q$从点$O$出发,以每秒2个单位长度的速度沿$x$轴正方向运动. 设运动的时间为$t\ \mathrm{s}$,则当$t$取何值时,$△ PQB$为直角三角形?

类题精讲

12. 过点 P 作 PG⊥OC 于点 G,则∠OGP=90°. 因为∠AOC=90°,OP 平分∠AOC,所以∠POG =1/2∠AOC=45°,所以△OPG 是等腰直角三角形,所以 OG = PG. 由题意,得 OP=√2 t,OQ=2t,所以Q(2t,0). 因为 OG²+PG²=OP²,所以 OG=PG=t,所以 P(t,t). 因为 Q(2t,0),B(6,2),所以 PB²=(6-t)²+(2-t)²=2t²-16t+40,QB²=(6-2t)²+2²=4t²-24t+40,PQ²=(2t-t)²+(0-t)²=2t². 分类讨论如下:① 若∠PQB=90°,则有PQ²+QB²=PB²,即 2t²+4t²-24t+40=2t²-16t+40. 整理,得 t²-2t=0,解得 t₁=2,t₂=0(不合题意,舍去);② 若∠PBQ=90°,则有 PB²+QB²=PQ²,即 2t²-16t+40+4t²-24t+40=2t². 整理,得t²-10t+20=0,解得 t₁=5+√5,t₂=5-√5;③ 若∠QPB=90°,则有 PQ²+PB²=QB²,即 2t²+2t²-16t+40=4t²-24t+40. 整理,得 8t=0,解得 t=0(不合题意,舍去). 综上所述,当 t=2 或 5+√5 或5-√5 时,△PQB 为直角三角形.

13. 某工厂第二季度的产值比第一季度的产值增长了 $x\%$,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了 $x\%$,则第三季度的产值比第一季度的产值增长了（）

A.$2x\%$
B.$1+2x\%$
C.$(1+x\%)x\%$
D.$(2+x\%)x\%$

13. D 解析:设第一季度的产值为 1,则第二季度的产值为 1×(1+x%),第三季度的产值为 1×(1+x%)×(1+x%),所以第三季度的产值比第一季度的产值增长了[1×(1+x%)×(1+x%)-1]÷1=(2+x%)x%.

14. (2025·江苏泰州三模)某农场去年种植南瓜 10 亩,总产量为 20 000 kg,今年该农场扩大了种植面积,并引进新品种,使产量增长到60 000 kg. 已知今年南瓜种植面积的增长率是今年南瓜平均亩产量增长率的 2 倍,则今年南瓜平均亩产量的增长率为.

14. 50% 解析:设今年南瓜平均亩产量的增长率为 x,则今年南瓜种植面积的增长率为 2x. 由题意,得10(1+2x)·(20000(1+x))/10=60000. 整理,得 2x²+3x-2=0,解得 x₁=0.5=50%,x₂=-2(不合题意,舍去). 故今年南瓜平均亩产量的增长率为 50%.

15. 亮点原创 某调查公司对本区域的共享单车数量及使用次数进行调查后发现，今年4月份第1周共有各类单车1 000辆，第2周比第1周增加了10%，第3周比第2周增加了100辆.调查还发现某款单车深受群众喜爱，第1周该款单车的每辆平均使用次数是这一周所有单车的每辆平均使用次数的2.5倍，第2周和第3周该款单车的每辆平均使用次数都比前一周增长一个相同的百分数$m$，第3周所有单车的每辆平均使用次数比第1周增加的百分数也是$m$，且第3周该款单车(共100辆)的总使用次数占所有单车总使用次数的四分之一.(注:总使用次数$=$每辆平均使用次数$×$车辆数)
(1)求第3周该区域内各类共享单车的总数；
(2)求$m$的值.

15. (1) 由题意,得 1 000 × (1 + 10%) + 100 =1 200(辆).故第 3 周该区域内各类共享单车的总数是1 200 辆.
(2) 设第 1 周所有单车的每辆平均使用次数为 a. 由题意,得 2.5a × (1+m)² × 100 = a × (1+m) ×1 200 × 1/4. 整理,得(5m-1)(m+1)=0,解得 m₁=0.2=20%,m₂=-1(不合题意,舍去). 故 m 的值为 20%.