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8.已知菱形ABCD的面积为8,它的一条对角线长为$2\sqrt{2}$,则菱形ABCD的边长为（
A.2
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{10}$
D.4
C
）A.2
B.$\sqrt{6}$
C.$\sqrt{10}$
D.4
答案
C
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用菱形的核心性质：①菱形面积等于两条对角线乘积的一半；②菱形的对角线互相垂直且平分，两条对角线的一半与菱形的边长构成直角三角形，可通过勾股定理计算边长。解题步骤为：先根据面积公式求出另一条对角线的长度，再计算两条对角线一半的长度，最后用勾股定理求边长。
【解析】
设菱形的两条对角线分别为$d_1$、$d_2$，已知$d_1=2\sqrt{2}$，面积$S=8$。
根据菱形面积公式：$S=\frac{1}{2}d_1d_2$，代入数据得：
$8=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}× d_2$，化简得$\sqrt{2}d_2=8$，解得$d_2=4\sqrt{2}$。
由于菱形对角线互相垂直平分，因此两条对角线的一半分别为：
$\frac{d_1}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，$\frac{d_2}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
根据勾股定理，菱形边长$a=\sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2}$，代入得：
$a=\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2}=\sqrt{2 + 8}=\sqrt{10}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题结合菱形的面积公式与对角线性质，通过勾股定理计算边长，属于基础几何计算题，需牢记菱形对角线互相垂直平分的特点，是常见的几何考点。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需利用菱形的核心性质：①菱形面积等于两条对角线乘积的一半；②菱形的对角线互相垂直且平分，两条对角线的一半与菱形的边长构成直角三角形，可通过勾股定理计算边长。解题步骤为：先根据面积公式求出另一条对角线的长度，再计算两条对角线一半的长度，最后用勾股定理求边长。
【解析】
设菱形的两条对角线分别为$d_1$、$d_2$，已知$d_1=2\sqrt{2}$，面积$S=8$。
根据菱形面积公式：$S=\frac{1}{2}d_1d_2$，代入数据得：
$8=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}× d_2$，化简得$\sqrt{2}d_2=8$，解得$d_2=4\sqrt{2}$。
由于菱形对角线互相垂直平分，因此两条对角线的一半分别为：
$\frac{d_1}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$，$\frac{d_2}{2}=\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$。
根据勾股定理，菱形边长$a=\sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2}$，代入得：
$a=\sqrt{(\sqrt{2})^2 + (2\sqrt{2})^2}=\sqrt{2 + 8}=\sqrt{10}$。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、勾股定理
【点评】
本题结合菱形的面积公式与对角线性质，通过勾股定理计算边长，属于基础几何计算题，需牢记菱形对角线互相垂直平分的特点，是常见的几何考点。
【难度系数】
0.5
9. 如图,已知线段$AB⊥CD$,连结$AD,BC$,$E,F$分别是边$AD,CB$的中点,连结$EF$,且$AB=16$,$CD=12$,则$EF$的长为 （
A.$8$
B.$6$
C.$10$
D.$2\sqrt{7}$
C
）A.$8$
B.$6$
C.$10$
D.$2\sqrt{7}$
答案
C
解析
【分析】
要计算EF的长度，需利用AB⊥CD的垂直关系和E、F为中点的条件，通过构造三角形中位线将线段转化为直角三角形的边，再用勾股定理求解。具体思路：先确定AB与CD的交点，取BD中点构造两条中位线，利用中位线性质得到线段长度和垂直关系，最终用勾股定理计算EF。
【解析】
设AB与CD交于点G，
∵AB⊥CD，
∴∠AGD=∠BGC=90°。
取BD的中点M，连接EM、FM。
∵E是AD中点，M是BD中点，
∴EM是△ABD的中位线，根据三角形中位线定理：EM//AB，且EM=½AB=½×16=8。
同理，F是CB中点，M是BD中点，
∴FM是△BCD的中位线，FM//CD，且FM=½CD=½×12=6。
∵EM//AB，FM//CD，AB⊥CD，
∴EM⊥FM，即∠EMF=90°。
在Rt△EMF中，由勾股定理得：EF=√(EM² + FM²)=√(8² + 6²)=√100=10。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理、勾股定理、垂直的性质
【点评】
本题通过构造中位线将分散的线段转化为直角三角形的边，体现了转化思想，关键在于辅助线的合理构造，属于中等难度的几何计算题型。
【难度系数】
0.5
要计算EF的长度，需利用AB⊥CD的垂直关系和E、F为中点的条件，通过构造三角形中位线将线段转化为直角三角形的边，再用勾股定理求解。具体思路：先确定AB与CD的交点，取BD中点构造两条中位线，利用中位线性质得到线段长度和垂直关系，最终用勾股定理计算EF。
【解析】
设AB与CD交于点G，
∵AB⊥CD，
∴∠AGD=∠BGC=90°。
取BD的中点M，连接EM、FM。
∵E是AD中点，M是BD中点，
∴EM是△ABD的中位线，根据三角形中位线定理：EM//AB，且EM=½AB=½×16=8。
同理，F是CB中点，M是BD中点，
∴FM是△BCD的中位线，FM//CD，且FM=½CD=½×12=6。
∵EM//AB，FM//CD，AB⊥CD，
∴EM⊥FM，即∠EMF=90°。
在Rt△EMF中，由勾股定理得：EF=√(EM² + FM²)=√(8² + 6²)=√100=10。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理、勾股定理、垂直的性质
【点评】
本题通过构造中位线将分散的线段转化为直角三角形的边，体现了转化思想，关键在于辅助线的合理构造，属于中等难度的几何计算题型。
【难度系数】
0.5
10.如图,四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形。连结AG,
BG,DE。若点F是线段DE上的一点,且$EF=3DF=3$,则AG
= (
A.5
B.$2\sqrt{5}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$\sqrt{17}$
BG,DE。若点F是线段DE上的一点,且$EF=3DF=3$,则AG
= (
D
)A.5
B.$2\sqrt{5}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$\sqrt{17}$
答案
D 解析:如图,过点G作直线垂直BC于点M,交AD于点N,因为EF=3DF=3,所以EF=3,DF=1,所以DE=EF+DF=4,因为四边形CEFG是正方形,所以CE=EF=FG=CG=3,∠CGF=∠CGB=∠E=90°,在Rt△CDE中,由勾股定理,得CD=$\sqrt{CE^2+DE^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$,在正方形ABCD中,AD=CD=BC=5,∠ADC=∠BCD=90°,在Rt△BCG中,BC=5,CG=3,由勾股定理,得BG=$\sqrt{BC^2-CG^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$,因为MN⊥BC,所以∠NMC=90°,所以由三角形的面积公式,得$S_{△ BGC}=\frac{1}{2}BC· GM=\frac{1}{2}BG· CG$,所以$GM=\frac{BG· CG}{BC}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}$,在Rt△MCG中,由勾股定理,得$CM=\sqrt{CG^2-GM^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{9}{5}$,因为∠NMC=∠ADC=∠BCD=90°,所以四边形CDNM是矩形,所以MN=CD=5,$DN=CM=\frac{9}{5}$,∠MND=∠MNA=90°,所以$AN=AD-DN=5-\frac{9}{5}=\frac{16}{5}$,$GN=MN-GM=5-\frac{12}{5}=\frac{13}{5}$,在Rt△AGN中,由勾股定理,得$AG=\sqrt{AN^2+GN^2}=\sqrt{(\frac{16}{5})^2+(\frac{13}{5})^2}=\sqrt{17}$。
解析
【分析】本题是正方形背景下的线段长度计算问题，解题思路如下：首先根据已知条件EF=3DF=3，求出EF、DF的长度，进而得到DE的长度；利用正方形CEFG的边长相等及直角三角形性质，在Rt△CDE中用勾股定理求出正方形ABCD的边长CD；接着作辅助线GM⊥BC，结合正方形ABCD的性质，通过△BGC的面积两种表示方法求出GM的长度，再用勾股定理算出CM的长度；最后构造Rt△AGN，求出AN和GN的长度，用勾股定理计算AG的长度。
【解析】解：
∵EF=3DF=3，
∴EF=3，DF=1，
∴DE=EF+DF=3+1=4。
∵四边形CEFG是正方形，
∴CE=EF=3，∠E=90°。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD=√(CE²+DE²)=√(3²+4²)=5。
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=5，∠BCD=90°，CG=EF=3，∠CGF=90°，故∠CGB=90°。
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG=√(BC²-CG²)=√(5²-3²)=4。
过点G作GM⊥BC于M，GN⊥AD于N，
∵AD//BC，
∴MN⊥AD，且MN=CD=5，四边形CDNM是矩形，故DN=CM。
∵S△BGC=1/2×BC×GM=1/2×BG×CG，
∴GM=(BG×CG)/BC=(4×3)/5=12/5。
在Rt△CMG中，CM=√(CG²-GM²)=√(3²-(12/5)²)=√(9 - 144/25)=√(81/25)=9/5，故DN=9/5。
∴AN=AD-DN=5 - 9/5=16/5，GN=MN-GM=5 -12/5=13/5。
在Rt△AGN中，由勾股定理得：AG=√(AN²+GN²)=√((16/5)²+(13/5)²)=√((256+169)/25)=√17。
【答案】D
【知识点】正方形的性质、勾股定理、三角形面积公式
【点评】本题综合考查正方形的性质与勾股定理的应用，关键在于通过作辅助线构造直角三角形，利用面积法求高，进而求出相关线段长度，对学生的几何辅助线构造能力有一定要求，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】0.4
【解析】解：
∵EF=3DF=3，
∴EF=3，DF=1，
∴DE=EF+DF=3+1=4。
∵四边形CEFG是正方形，
∴CE=EF=3，∠E=90°。
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD=√(CE²+DE²)=√(3²+4²)=5。
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD=5，∠BCD=90°，CG=EF=3，∠CGF=90°，故∠CGB=90°。
在Rt△BCG中，由勾股定理得：BG=√(BC²-CG²)=√(5²-3²)=4。
过点G作GM⊥BC于M，GN⊥AD于N，
∵AD//BC，
∴MN⊥AD，且MN=CD=5，四边形CDNM是矩形，故DN=CM。
∵S△BGC=1/2×BC×GM=1/2×BG×CG，
∴GM=(BG×CG)/BC=(4×3)/5=12/5。
在Rt△CMG中，CM=√(CG²-GM²)=√(3²-(12/5)²)=√(9 - 144/25)=√(81/25)=9/5，故DN=9/5。
∴AN=AD-DN=5 - 9/5=16/5，GN=MN-GM=5 -12/5=13/5。
在Rt△AGN中，由勾股定理得：AG=√(AN²+GN²)=√((16/5)²+(13/5)²)=√((256+169)/25)=√17。
【答案】D
【知识点】正方形的性质、勾股定理、三角形面积公式
【点评】本题综合考查正方形的性质与勾股定理的应用，关键在于通过作辅助线构造直角三角形，利用面积法求高，进而求出相关线段长度，对学生的几何辅助线构造能力有一定要求，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】0.4
11. 计算：$\sqrt{9}=$
3
。答案
3
解析
【分析】本题考查算术平方根的计算，需明确√a（a≥0）表示a的算术平方根，即一个非负数，其平方等于a。对于√9，就是寻找平方后等于9的非负数，据此可得出结果。
【解析】根据算术平方根的定义，若x²=a（x≥0，a≥0），则x=√a。因为3²=9，所以√9=3。
【答案】3
【知识点】算术平方根
【点评】本题是基础的算术平方根计算题目，主要考查对算术平方根概念的理解，属于初中数学的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.9
【解析】根据算术平方根的定义，若x²=a（x≥0，a≥0），则x=√a。因为3²=9，所以√9=3。
【答案】3
【知识点】算术平方根
【点评】本题是基础的算术平方根计算题目，主要考查对算术平方根概念的理解，属于初中数学的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.9
12.若$x=1$是关于$x$的方程$x^2+bx-6=0$的一个根，则$b=$
5
。答案
5
解析
【分析】要计算b的值，需利用方程根的定义：若一个数是方程的根，将其代入方程后等式成立。因此把x=1代入给定的方程，可得到关于b的一元一次方程，解此方程即可求出b。
【解析】把$x=1$代入方程$x^2 + bx - 6 = 0$，得：
$1^2 + b×1 - 6 = 0$
化简得：$1 + b - 6 = 0$
整理得：$b - 5 = 0$
解得：$b = 5$
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根，代入求值
【点评】本题考查一元二次方程根的基础应用，属于简单题型，只需掌握方程根的定义即可快速求解，适合巩固基础。
【难度系数】0.9
【解析】把$x=1$代入方程$x^2 + bx - 6 = 0$，得：
$1^2 + b×1 - 6 = 0$
化简得：$1 + b - 6 = 0$
整理得：$b - 5 = 0$
解得：$b = 5$
【答案】5
【知识点】一元二次方程的根，代入求值
【点评】本题考查一元二次方程根的基础应用，属于简单题型，只需掌握方程根的定义即可快速求解，适合巩固基础。
【难度系数】0.9
13.某校举行演讲比赛，考核分“主题内容”“语言表达”“现场表现”三项，三个项目在总分中所占比例分别为$30\%$，$40\%$，$30\%$，已知小颖这三项得分依次为90分、80分、90分，则小颖的总分为
86
分。答案
86
解析
【分析】
这道题考查加权平均数的实际应用，解题思路是：由于演讲比赛的总分由三项按不同比例（权重）计算，因此需用各项目得分乘以对应权重，再将结果相加得到总分。先明确各项目的得分和对应权重，再代入加权平均数公式计算即可。
【解析】
根据加权平均数的计算规则，小颖的总分 = 主题内容得分×30% + 语言表达得分×40% + 现场表现得分×30%，代入数据计算：
$90×30\% + 80×40\% + 90×30\%$
$= 90×0.3 + 80×0.4 + 90×0.3$
$= 27 + 32 + 27$
$= 86$（分）
【答案】
86
【知识点】
加权平均数
【点评】
本题结合实际演讲比赛的计分场景，考查加权平均数的计算，属于基础应用题，掌握加权平均数的计算方法即可解答。
【难度系数】
0.9
这道题考查加权平均数的实际应用，解题思路是：由于演讲比赛的总分由三项按不同比例（权重）计算，因此需用各项目得分乘以对应权重，再将结果相加得到总分。先明确各项目的得分和对应权重，再代入加权平均数公式计算即可。
【解析】
根据加权平均数的计算规则，小颖的总分 = 主题内容得分×30% + 语言表达得分×40% + 现场表现得分×30%，代入数据计算：
$90×30\% + 80×40\% + 90×30\%$
$= 90×0.3 + 80×0.4 + 90×0.3$
$= 27 + 32 + 27$
$= 86$（分）
【答案】
86
【知识点】
加权平均数
【点评】
本题结合实际演讲比赛的计分场景，考查加权平均数的计算，属于基础应用题，掌握加权平均数的计算方法即可解答。
【难度系数】
0.9
