9 如图,$AB$,$AC$是$\odot O$的弦,过点$A$的切线交$CB$的延长线于点$D$.若$∠ BAD=35^{ \circ }$,则$∠ C$的度数为.

9. $35°$ 【解析】连接$AO$并延长，交$\odot O$于点$E$，连接$BE$。$\because AD$为$\odot O$的切线，$\therefore ∠ EAD=90°$，$\therefore ∠ BAE=∠ EAD-∠ BAD=55°$。$\because AE$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ABE=90°$，$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，$∠ E=90°-∠ BAE=35°$。$\because \overset{\frown}{AB}=\overset{\frown}{AB}$，$\therefore ∠ C=∠ E=35°$。

10 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90^{ \circ }$,$AC=3$,$AB=5$,$D$为边$BC$的中点,以$AD$上一点$O$为圆心的$\odot O$和$AB$,$BC$均相切,则$\odot O$的半径为.

10. $\dfrac{6}{7}$ 【解析】连接$OB$，过点$O$作$OE⊥ AB$于点$E$，$OF⊥ BC$于点$F$。根据切线的性质，知$OE$，$OF$是$\odot O$的半径。由三角形的面积间的关系（$S_{△ ABO}+S_{△ BOD}=S_{△ ACD}$）列出关于圆的半径的方程，即可求得圆的半径。

11 [2024 内江]如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=60°$,$BC=8$,$E$是$BC$边上一点,且$BE=2$,点$I$是$△ ABC$的内心,$BI$的延长线交$AC$于点$D$,$P$是$BD$上一动点,连接$PE$,$PC$,则$PE+PC$的最小值为.

11. $2\sqrt{13}$

12 [2024 宁夏]如图,在$△ ABC$中,$D$是边$BC$的中点,以$AB$为直径的$\odot O$经过点$D$,$P$是边$AC$上一点(不与点$A$,$C$重合).请仅用无刻度直尺按要求作图,保留作图痕迹,不写作法.
(1) 过点$A$作一条直线,将$△ ABC$分成面积相等的两部分;
(2) 在边$AB$上找一点$Q$,使得$BQ=CP$.

12. (1) 如图，直线$AD$即为所作 (2) 如图，点$Q$即为所作

13 [2025 浙江] 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$O$在边$AB$上,以点$O$为圆心,$OB$长为半径的半圆,交$BC$于点$D$,与$AC$相切于点$E$,连接$OD$,$OE$.
(1) 求证:$OD⊥ OE$;
(2) 若$AB=BC$,$OB=\sqrt{3}$,求四边形$ODCE$的面积.

13. (1) $\because AB=AC$，$\therefore ∠ B=∠ C$。$\because OB=OD$，$\therefore ∠ B=∠ ODB$，$\therefore ∠ ODB=∠ C$，$\therefore OD// AC$，$\therefore ∠ AEO=∠ DOE$。$\because$以点$O$为圆心的半圆与$AC$相切于点$E$，$\therefore OE⊥ AC$，$\therefore ∠ AEO=90°$，$\therefore ∠ DOE=90°$，$\therefore OD⊥ OE$ (2) $\because OB=\sqrt{3}$，$\therefore OE=OD=OB=\sqrt{3}$。$\because AB=AC$，$AB=BC$，$\therefore AB=AC=BC$，$\therefore △ ABC$为等边三角形，$\therefore ∠ A=60°$，$\therefore$在$\mathrm{Rt}△ AEO$中，$∠ AOE=30°$，$\therefore OA=2AE$。$\because OE^2+AE^2=OA^2$，$\therefore (\sqrt{3})^2+AE^2=(2AE)^2$，$\therefore AE=1$，$\therefore OA=2$，$\therefore AC=AB=OA+OB=2+\sqrt{3}$，$\therefore EC=AC-AE=2+\sqrt{3}-1=1+\sqrt{3}$，$\therefore S_{\mathrm{四边形}ODCE}=\dfrac{1}{2}(EC+OD)· OE=\dfrac{1}{2}×(1+\sqrt{3}+\sqrt{3})×\sqrt{3}=3+\dfrac{\sqrt{3}}{2}$