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7 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=70°$,$\odot O$与$△ ABC$的三边都相切,设$\odot O$与$AB$,$BC$分别相切于点$D,E$,连接$DE$,延长$AO$,交$DE$于点$F$,则$∠ AFD=$
35
$°$.答案
7. 35
8 [2024 绵阳改编]如图,在$△ ADE$中,$∠ DAE=90^{ \circ }$,某圆与$△ ADE$的三边都相切,其中与$DE$相切于点$G$,当$EG=\sqrt{5}-1$,$DG=\sqrt{5}+1$时,$\dfrac{AE}{AD}$的值为
$\dfrac{1}{2}$
.答案
8. $\dfrac{1}{2}$ 【解析】如图, 设与 $△ ADE$ 三边都相切的圆的圆心为 $O$,
$AD,AE$ 分别与 $\odot O$ 相切于点 $K,H$, 连接 $OG,OK,OH$, 则易得四边
形 $OKAH$ 为正方形. 根据切线长定理可得 $DK=DG=\sqrt{5}+1,EH=$
$EG=\sqrt{5}-1$. 设 $\odot O$ 的半径为 $r$, 则 $OK=OG=OH=r.\therefore AK=AH=$
$r,\therefore AD=DK+AK=\sqrt{5}+1+r,AE=\sqrt{5}-1+r$. 在 $\mathrm{Rt}△ ADE$ 中,
$DE=DG+EG=2\sqrt{5},AD^2+AE^2=DE^2$, 即 $(\sqrt{5}+1+r)^2+(\sqrt{5}-$
$1+r)^2=(2\sqrt{5})^2$. 整理, 得 $r^2+2\sqrt{5}r-4=0$, 解得 $r_1=3-\sqrt{5},$
$r_2=-3-\sqrt{5}$ (不合题意, 舍去), $\therefore AD=4,AE=2,\therefore \dfrac{AE}{AD}=\dfrac{1}{2}.$
9 [2024 通辽]如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$O$为$AC$边上一点,以点$O$为圆心,$OC$长为半径作圆,与$AB$相切于点$D$,连接$CD$.
(1) 求证:$∠ ABC=2∠ ACD$;
(2) 若$AC=8$,$BC=6$,求$\odot O$的半径.
(1) 求证:$∠ ABC=2∠ ACD$;
(2) 若$AC=8$,$BC=6$,求$\odot O$的半径.
答案
9. (1) 连接 $OD.\because AB$ 为 $\odot O$ 的切线, $\therefore OD⊥ AB,\therefore ∠ ODA=$
$90°,\therefore ∠ AOD+∠ A=90°.\because OC=OD,\therefore ∠ ACD=∠ ODC,$
$\therefore ∠ AOD=∠ ACD+∠ ODC=2∠ ACD,\therefore 2∠ ACD+∠ A=90°.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ABC+∠ A=90°,\therefore ∠ ABC=2∠ ACD$
(2) 设 $\odot O$ 的半径为 $r$, 则 $OD=OC=r,OA=8-r.\because ∠ ACB=90°,$
$AC=8,BC=6,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 中, $AB=\sqrt{6^2+8^2}=10.$
$\because ∠ ACB=90°,OC$ 是 $\odot O$ 的半径, $\therefore BC$ 是 $\odot O$ 的切线. $\because AB$ 切
$\odot O$ 于点 $D,\therefore BD=BC=6,\therefore AD=AB-BD=4$. 在 $\mathrm{Rt}△ ODA$
中, 由勾股定理, 得 $OD^2+AD^2=OA^2$, 即 $r^2+4^2=(8-r)^2$, 解得
$r=3,\therefore \odot O$ 的半径为 3
$90°,\therefore ∠ AOD+∠ A=90°.\because OC=OD,\therefore ∠ ACD=∠ ODC,$
$\therefore ∠ AOD=∠ ACD+∠ ODC=2∠ ACD,\therefore 2∠ ACD+∠ A=90°.$
$\because ∠ ACB=90°,\therefore ∠ ABC+∠ A=90°,\therefore ∠ ABC=2∠ ACD$
(2) 设 $\odot O$ 的半径为 $r$, 则 $OD=OC=r,OA=8-r.\because ∠ ACB=90°,$
$AC=8,BC=6,\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 中, $AB=\sqrt{6^2+8^2}=10.$
$\because ∠ ACB=90°,OC$ 是 $\odot O$ 的半径, $\therefore BC$ 是 $\odot O$ 的切线. $\because AB$ 切
$\odot O$ 于点 $D,\therefore BD=BC=6,\therefore AD=AB-BD=4$. 在 $\mathrm{Rt}△ ODA$
中, 由勾股定理, 得 $OD^2+AD^2=OA^2$, 即 $r^2+4^2=(8-r)^2$, 解得
$r=3,\therefore \odot O$ 的半径为 3
10 [2025 广州]已知$\odot O$的半径为6，$\odot O$所在平面内有一动点$P$，过点$P$可以引$\odot O$的两条切线$PA,PB$，切点分别为$A,B$，连接$OP$.
(1) 设点$P$与圆心$O$的距离为$d$，则$d$的取值范围是
(2) 若过点$O$作$OC// PA$，交直线$PB$于点$C$(点$C$不与点$B$重合)，线段$OC$与$\odot O$交于点$D$.设$PA=x,CD=y$，求$y$关于$x$的函数表达式.
(1) 设点$P$与圆心$O$的距离为$d$，则$d$的取值范围是
$d＞6$
.(2) 若过点$O$作$OC// PA$，交直线$PB$于点$C$(点$C$不与点$B$重合)，线段$OC$与$\odot O$交于点$D$.设$PA=x,CD=y$，求$y$关于$x$的函数表达式.
答案
10. (1) $d＞6$ 【解析】$\because$ 过点 $P$ 可以引 $\odot O$ 的两条切线 $PA,$
$PB,\therefore$ 点 $P$ 在 $\odot O$ 外, $\therefore d＞6.$
(2) 连接 $OA,OB.\because PA$ 切 $\odot O$ 于点 $A,PB$ 切 $\odot O$ 于点 $B,\therefore PB=$
$PA=x,OA⊥ PA,OB⊥ PB.\because OA=OB=6,\therefore PO$ 平分 $∠ APB,$
即 $∠ APO=∠ BPO.\because OC// PA,\therefore ∠ POC=∠ APO,\therefore ∠ POC=$
$∠ CPO,\therefore PC=OC=OD+CD=y+6,\therefore BC=PB-PC=x-$
$(y+6)=x-y-6.\because \mathrm{Rt}△ OBC$ 中, $\therefore OC^2=BC^2+OB^2,\therefore (y+$
$6)^2=(x-y-6)^2+6^2$, 化简, 得 $y=\dfrac{(x-6)^2}{2x}$
$PB,\therefore$ 点 $P$ 在 $\odot O$ 外, $\therefore d＞6.$
(2) 连接 $OA,OB.\because PA$ 切 $\odot O$ 于点 $A,PB$ 切 $\odot O$ 于点 $B,\therefore PB=$
$PA=x,OA⊥ PA,OB⊥ PB.\because OA=OB=6,\therefore PO$ 平分 $∠ APB,$
即 $∠ APO=∠ BPO.\because OC// PA,\therefore ∠ POC=∠ APO,\therefore ∠ POC=$
$∠ CPO,\therefore PC=OC=OD+CD=y+6,\therefore BC=PB-PC=x-$
$(y+6)=x-y-6.\because \mathrm{Rt}△ OBC$ 中, $\therefore OC^2=BC^2+OB^2,\therefore (y+$
$6)^2=(x-y-6)^2+6^2$, 化简, 得 $y=\dfrac{(x-6)^2}{2x}$
