2026年思维新观察八年级数学上册人教版第130页答案
【典例1】求证:$(x-5)(x-1)(x-2)(x+2)+36$是一个完全平方数.

答案

证明:原式$=(x^{2}-3x-10)(x^{2}-3x+2)+36$
$=(x^{2}-3x)^{2}-8(x^{2}-3x)+16$
$=(x^{2}-3x-4)^{2}$
即原式是一个完全平方数.
变式1.若$2024×2025×2026×2027+1=(1+x)^2$,则$x$的值为
4102648
.

答案

解:设$2024=m$,则
$m(m+1)(m+2)(m+3)+1$
$=(m^{2}+3m)(m^{2}+3m+2)+1$
$=(m^{2}+3m)^{2}+2(m^{2}+3m)+1$
$=(m^{2}+3m+1)^{2}$
$\therefore x=m^{2}+3m =m(m+3)$
$=2024×2027=4102648.$
变式2.求证:$2026^2 + 2026^2 × 2027^2 + 2027^2$是一个完全平方数.

答案

证明:设$2026=x,2027=y$,
$y-x=1$,
$\therefore (y-x)^{2}=1$,
$y^{2}+x^{2}-2xy=1$,
$\therefore 原式=x^{2}+x^{2}y^{2}+y^{2}$
$=x^{2}y^{2}+2xy+1$
$=(xy+1)^{2}$
$=(2026×2027+1)^{2}.$
$\therefore$原式是一个完全平方数.
变式3.用科学记数法表示$9999×9999+19999.$

答案

解:原式$=9999^{2}+9999×2+1$
$=(9999+1)^{2}=10^{8}.$
变式4.计算：$101 × 102^2 - 101 × 98^2 = (\quad)$

A.404
B.808
C.40400
D.80800

答案

4.D
解:$101×102^{2}-101×98^{2}$
$=101×(102^{2}-98^{2})$
$=101×200×4$
$=80800$
【典例2】已知$4^{96} -1$可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（
B
）

A.61,63
B.63,65
C.65,67
D.63,64

答案

【典例2】B
解:$4^{96}-1=(4^{48}+1)(4^{48}-1)$
$=(4^{48}+1)(4^{24}+1)(4^{24}-1)$
$=(4^{48}+1)(4^{24}+1)(4^{12}+1)(4^{6}+1)(4^{3}+1)(4^{3}-1)$
$=(4^{48}+1)(4^{24}+1)(4^{12}+1)(4^{6}+1)×65×63.$
变式.求证:$81^{7}-27^{9}-9^{13}$能被45整除.

答案

证明:原式$=(3^{4})^{7}-(3^{3})^{9}-(3^{2})^{13}$
$=3^{28}-3^{27}-3^{26}$
$=3^{26}×(9-3-1)$
$=5×3^{26}$
$=5×3^{2}×3^{24}$
$=45×3^{24}$
故$81^{7}-27^{9}-9^{13}$能被45整除.