【典例1】如图，△ABC中，D为BC的中点.AB=5,AC=3,则AD的取值范围为.

解:延长AD至点M,使DM=AD,连接BM,
∴△ADC≌△MDB(SAS),
∴BM=AC=3,
在△ABM中,AB+BM＞AM,
AB-BM＜AM,
∴1＜AD＜4.

变式.如图，D为BC的中点，DE⊥DF交AB于E，交AC于F，连EF，若BE=5，CF=3，则EF的取值范围为。

解:延长FD到点M,使DM=DF,连接EM,BM,
∴△BDM≌△CDF(SAS),
∴BM=CF,
∴△EDF≌△EDM(SAS),
∴EM=EF,在△BEM中,
BE+BM＞EM,BE-BM＜EM,
∴2＜EF＜8.

【典例2】如图，AD是△ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE＝AB，∠BAC＝∠BCA，求证：AE＝2AD.

证明:延长AD到点M,使DM=AD,连接CM,
在△ABD和△MCD中,
$\begin{cases} AD=DM, \\ ∠ ADB=∠ CDM, \\ BD=CD, \end{cases}$
∴△ABD≌△MCD(SAS),
∴AB=CM,
∴CE=CM,∠B=∠DCM,
∴AB//CM,
∴∠MCA+∠BAC=180°,
又
∵∠ACE+∠ACB=180°,
而∠BAC=∠ACB,
∴∠ACE=∠ACM,
在△ACE和△ACM中,
$\begin{cases} CE=CM, \\ ∠ ACE=∠ ACM, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ACE≌△ACM(SAS),
∴AM=AE=2AD.

变式.如图，AD是△ABC的中线，AE⊥AC，AF⊥AB，且AE=AC，AF=AB.求证：EF=2AD.

证明:延长AD至点G,使DG=AD,连接CG,
在△CDG和△BDA中,
$\begin{cases} CD=BD, \\ ∠ CDG=∠ BDA, \\ DG=DA, \end{cases}$
∴△CDG≌△BDA(SAS),
∴CG=AB=AF,CG//AB,
∴∠GCA+∠CAB=180°,
而∠EAF+∠CAB=180°,
∴∠GCA=∠EAF,
在△EAF和△ACG中,
$\begin{cases} AE=AC, \\ ∠ EAF=∠ ACG, \\ AF=CG, \end{cases}$
∴△EAF≌△ACG(SAS),
∴EF=AG=2AD.