【典例1】如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC=120°，AB=BC，E，F分别在AD，CD上，且∠EBF=60°，求证：EF=AE+CF.

证明:延长 DC 至M,
使 CM=AE,连接 BM,

在△ABE 和△CBM 中,$\begin{cases} AB=BC, \\ ∠A=∠BCM, \\ AE=CM, \end{cases}$
∴△ABE≌△CBM(SAS),
∴∠MBC=∠ABE,
∴∠MBF=60°,
在△BMF 和△BEF 中,$\begin{cases} BM=BE, \\ ∠MBF=∠FBE, \\ BF=BF, \end{cases}$
∴△BMF≌△BEF(SAS),
∴FM=EF=AE+CF.

变式.如图，$∠ A=∠ B=90°,CA=CB=4,∠ ACB=120°,∠ ECF=60°,AE=3,BF=2$,则五边形$ACBFE$的面积为.

解:补短法:延长 FB 至G 使 BG=AE,连接 CG,
证△CBG≌△CAE,△CEF≌△CGF,$S_{五边形ACBFE}=20$.

【典例2】如图，正方形ABCD，点E，F分别在直线CB，DC上，∠EAF＝45°，求证：EF＝DF－BE。

证明:(截长法)在 CD 上取 M 点,
使 DM=BE,连接 AM,
在△ADM 和△ABE 中,
$\begin{cases} AD=AB, \\ ∠D=∠ABE=90°, \\ DM=BE, \end{cases}$
∴△ADM≌△ABE(SAS),
∴∠DAM=∠EAB,
∴∠EAM=90°,AM=AE,
∴∠MAF=45°,
在△AEF 和△AMF 中,
$\begin{cases} AE=AM, \\ ∠EAF=∠MAF=45°, \\ AF=AF, \end{cases}$
∴△AEF≌△AMF(SAS),
∴EF=FM=DF-BE.