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1 [中] 已知 A 地在 B 地的正西方向, 且有一以 A, B 两地为端点的东西向直线道路, 其全长为 400 千米. 今在此道路上距离 A 地 12 千米处设置第一个广告牌, 之后每往东 27 千米就设置一个广告牌, 如图所示. 若某车从此道路上距离 A 地 19 千米处出发, 往东直行 320 千米后才停止, 则此车在停止前经过的最后一个广告牌距离 A 地
336
千米.答案
1. 336 【解析】设此车停止时在车的正西方向有x个广告牌.根据题意,得$12 + 27(x - 1) ≤ 320 + 19$,解得$x ≤ 13\frac{1}{9}$,即此车停止时在车的正西方向有13个广告牌,并且超过第13个广告牌3千米,所以此车在停止前经过的最后一个广告牌距离A地$320 + 19 - 3 = 336$(千米),故答案为336.
2 [2025 山东菏泽质检, 中] 火车站检票口以每分钟 15 人匀速通过, 若开放 2 个检票口 20 分钟可以检票到无人等候检票, 若开放 3 个检票口 14 分钟可以检票到无人等候检票, 则检票口至少有
586
人等候检票.答案
2. 586 【解析】设检票口有x人等候检票.根据题意得$\begin{cases}15×2×(20 - 1) ＜ x ≤ 15×2×20, \\ 15×3×(14 - 1) ＜ x ≤ 15×3×14,\end{cases}$解得$585 ＜ x ≤ 600$.因为x为整数,所以x的最小值为586,故答案为586.
3 [2024 重庆沙坪坝区期末, 较难] 如图, 在$△ ABC$中, AD 是 BC 边上的高, $BD = 8$, $DC = 6$, $AC = 10$, 点 E 在高 AD 上, 且$ED = 4$, 点 P 从点 B 出发, 沿折线$B \to C \to A$方向以每秒 2 个单位长度的速度运动, 到达点 A 时停止, 设点 P 的运动时间为 x 秒.
(1) 求点 P 整个运动过程共需多少秒.
(2) 当点 P 在 BC 边上运动, 且以点 P, D, E 为顶点的三角形是等腰直角三角形时, 求 x 的值.
(3) 当 CP 的长大于点 P 运动路程的$\frac{1}{4}$时, 求 x 的取值范围.
(1) 求点 P 整个运动过程共需多少秒.
(2) 当点 P 在 BC 边上运动, 且以点 P, D, E 为顶点的三角形是等腰直角三角形时, 求 x 的值.
(3) 当 CP 的长大于点 P 运动路程的$\frac{1}{4}$时, 求 x 的取值范围.
答案
3. 【解】(1)$BD + CD + AC = 8 + 6 + 10 = 24$,$24 ÷ 2 = 12$(秒),即点P整个运动过程共需12秒.
(2)因为AD是BC边上的高,所以当点P在BC边上运动,且以点P,D,E为顶点的三角形是等腰直角三角形时,$DP = DE$.当点P在点D左侧时,$DP = BD - BP = DE$,即$8 - 2x = 4$,解得$x = 2$;
当点P在点D右侧时,$DP = BP - BD = DE$,即$2x - 8 = 4$,解得$x = 6$.
综上可知,x的值为2或6.
(3)点P的运动路程为2x.当点P在BC边上运动时,$CP = BC - BP = 8 + 6 - 2x = 14 - 2x$,令$14 - 2x ＞ \frac{1}{4}×2x$,解得$x ＜ \frac{28}{5}$,所以$0 ≤ x ＜ \frac{28}{5}$;
当点P在AC边上运动时,$CP = 2x - BC = 2x - 14$,则$2x - 14 ＞ \frac{1}{4}×2x$,解得$x ＞ \frac{28}{3}$.
因为点P整个运动过程共需12秒,所以$\frac{28}{3} ＜ x ≤ 12$.
综上可知,x的取值范围为$0 ≤ x ＜ \frac{28}{5}$或$\frac{28}{3} ＜ x ≤ 12$.
(2)因为AD是BC边上的高,所以当点P在BC边上运动,且以点P,D,E为顶点的三角形是等腰直角三角形时,$DP = DE$.当点P在点D左侧时,$DP = BD - BP = DE$,即$8 - 2x = 4$,解得$x = 2$;
当点P在点D右侧时,$DP = BP - BD = DE$,即$2x - 8 = 4$,解得$x = 6$.
综上可知,x的值为2或6.
(3)点P的运动路程为2x.当点P在BC边上运动时,$CP = BC - BP = 8 + 6 - 2x = 14 - 2x$,令$14 - 2x ＞ \frac{1}{4}×2x$,解得$x ＜ \frac{28}{5}$,所以$0 ≤ x ＜ \frac{28}{5}$;
当点P在AC边上运动时,$CP = 2x - BC = 2x - 14$,则$2x - 14 ＞ \frac{1}{4}×2x$,解得$x ＞ \frac{28}{3}$.
因为点P整个运动过程共需12秒,所以$\frac{28}{3} ＜ x ≤ 12$.
综上可知,x的取值范围为$0 ≤ x ＜ \frac{28}{5}$或$\frac{28}{3} ＜ x ≤ 12$.
4 [2025 辽宁大连期末, 难] 一家电脑公司有 A 型、B 型、C 型三种型号的电脑, 其中 A 型电脑每台 6000 元, B 型电脑每台 4000 元, C 型电脑每台 2500 元. 某中学计划从这家电脑公司购进电脑.
(1) 若该中学只购买 A 型电脑和 B 型电脑, 且购买 A 型电脑的数量比购买 B 型电脑的数量的一半还少 1 台, 要求购买的总费用不超过 90000 元, 则最多可以购买多少台 A 型电脑?
(2) 若该中学现有专项资金 100500 元, 计划从这家电脑公司购进 36 台两种型号的电脑, 且这笔资金恰好全用完. 请你通过计算设计几种不同的购买方案供这个学校选择.
(3) 这家电脑公司为提高 B 型电脑销量, 设计了旧电脑抵值活动: 购买一台 B 型电脑时, 可以用一台旧电脑抵值 1000 元. 该中学计划只购买 B 型电脑, 拿出的旧电脑和购买的 B 型电脑数量一共是 30 台. 若要使购买 B 型电脑的数量是旧电脑数量的 2 倍, 且购买 B 型电脑的实际总费用不少于 100000 元, 则要在计划的基础上再多买 a 台 B 型电脑, 此时该中学需要再拿出$\frac{1}{3}a$台的旧电脑参加抵值活动, 求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值.
(1) 若该中学只购买 A 型电脑和 B 型电脑, 且购买 A 型电脑的数量比购买 B 型电脑的数量的一半还少 1 台, 要求购买的总费用不超过 90000 元, 则最多可以购买多少台 A 型电脑?
(2) 若该中学现有专项资金 100500 元, 计划从这家电脑公司购进 36 台两种型号的电脑, 且这笔资金恰好全用完. 请你通过计算设计几种不同的购买方案供这个学校选择.
(3) 这家电脑公司为提高 B 型电脑销量, 设计了旧电脑抵值活动: 购买一台 B 型电脑时, 可以用一台旧电脑抵值 1000 元. 该中学计划只购买 B 型电脑, 拿出的旧电脑和购买的 B 型电脑数量一共是 30 台. 若要使购买 B 型电脑的数量是旧电脑数量的 2 倍, 且购买 B 型电脑的实际总费用不少于 100000 元, 则要在计划的基础上再多买 a 台 B 型电脑, 此时该中学需要再拿出$\frac{1}{3}a$台的旧电脑参加抵值活动, 求该中学至少需要再拿出多少台旧电脑进行抵值.
答案
4. 【解】(1)设购买x台B型电脑,则购买$(\frac{1}{2}x - 1)$台A型电脑.
根据题意得$6000(\frac{1}{2}x - 1) + 4000x ≤ 90000$,解得$x ≤ \frac{96}{7}$.因为x,$\frac{1}{2}x - 1$均为正整数,所以x的最大值为12,则$\frac{1}{2}x - 1$的最大值为5.
答:最多可以购买5台A型电脑.
(2)因为$100500 ÷ 36 ≈ 2792$(元/台),$6000 ＞ 4000 ＞ 2792 ＞ 2500$,所以可能有两种情况.
①购买A型电脑和C型电脑,设购买b台A型电脑,c台C型电脑.根据题意得$\begin{cases}b + c = 36, \\ 6000b + 2500c = 100500,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = 3, \\ c = 33,\end{cases}$所以购买3台A型电脑,33台C型电脑.
②购买B型电脑和C型电脑,设购买m台B型电脑,n台C型电脑.根据题意得$\begin{cases}m + n = 36, \\ 4000m + 2500n = 100500,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 7, \\ n = 29,\end{cases}$所以购买7台B型电脑,29台C型电脑.
故共有2种购买方案,方案1:购买3台A型电脑,33台C型电脑;方案2:购买7台B型电脑,29台C型电脑.
(3)设原计划购买y台B型电脑,则原计划拿出$(30 - y)$台旧电脑.根据题意得$y + a = 2(30 - y + \frac{1}{3}a)$,所以$y = 20 - \frac{1}{9}a$.因为购买B型电脑的实际总费用不少于100000元,所以$4000(y + a) - 1000(30 - y + \frac{1}{3}a) ≥ 100000$,即$4000(20 - \frac{1}{9}a + a) - 1000[30 - (20 - \frac{1}{9}a) + \frac{1}{3}a] ≥ 100000$,解得$a ≥ \frac{135}{14}$,所以$\frac{1}{3}a ≥ \frac{45}{14}$.因为$\frac{1}{3}a$为整数,所以$\frac{1}{3}a$的最小值为4.
答:该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值.
根据题意得$6000(\frac{1}{2}x - 1) + 4000x ≤ 90000$,解得$x ≤ \frac{96}{7}$.因为x,$\frac{1}{2}x - 1$均为正整数,所以x的最大值为12,则$\frac{1}{2}x - 1$的最大值为5.
答:最多可以购买5台A型电脑.
(2)因为$100500 ÷ 36 ≈ 2792$(元/台),$6000 ＞ 4000 ＞ 2792 ＞ 2500$,所以可能有两种情况.
①购买A型电脑和C型电脑,设购买b台A型电脑,c台C型电脑.根据题意得$\begin{cases}b + c = 36, \\ 6000b + 2500c = 100500,\end{cases}$解得$\begin{cases}b = 3, \\ c = 33,\end{cases}$所以购买3台A型电脑,33台C型电脑.
②购买B型电脑和C型电脑,设购买m台B型电脑,n台C型电脑.根据题意得$\begin{cases}m + n = 36, \\ 4000m + 2500n = 100500,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 7, \\ n = 29,\end{cases}$所以购买7台B型电脑,29台C型电脑.
故共有2种购买方案,方案1:购买3台A型电脑,33台C型电脑;方案2:购买7台B型电脑,29台C型电脑.
(3)设原计划购买y台B型电脑,则原计划拿出$(30 - y)$台旧电脑.根据题意得$y + a = 2(30 - y + \frac{1}{3}a)$,所以$y = 20 - \frac{1}{9}a$.因为购买B型电脑的实际总费用不少于100000元,所以$4000(y + a) - 1000(30 - y + \frac{1}{3}a) ≥ 100000$,即$4000(20 - \frac{1}{9}a + a) - 1000[30 - (20 - \frac{1}{9}a) + \frac{1}{3}a] ≥ 100000$,解得$a ≥ \frac{135}{14}$,所以$\frac{1}{3}a ≥ \frac{45}{14}$.因为$\frac{1}{3}a$为整数,所以$\frac{1}{3}a$的最小值为4.
答:该中学至少需要再拿出4台旧电脑进行抵值.
