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1.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE,若∠E = 70°且AD ⊥ BC于点F,则∠BAC等于(
A.65°
B.70°
C.75°
D.80°
C
)A.65°
B.70°
C.75°
D.80°
答案
1. C
解析
【分析】
解题时先利用旋转的性质得到对应角相等、旋转角的度数，再结合AD垂直BC的条件，在直角三角形中利用两锐角互余求出∠CAF的度数，最后将∠BAD和∠CAF相加即可得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，
∴∠C=∠E=70°，旋转角∠BAD=55°，
∵AD⊥BC于点F，
∴∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠CAF=90°-∠C=90°-70°=20°，
∴∠BAC=∠BAD + ∠CAF=55°+20°=75°。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；直角三角形的性质；角度和差计算
【点评】
本题是几何角度计算的基础题，解题的核心是熟练掌握旋转前后的对应角、旋转角相等的性质，结合垂直的特征构造直角三角形计算未知角，解题时要注意找准旋转前后的对应元素，避免混淆角的位置。
【难度系数】
0.7
解题时先利用旋转的性质得到对应角相等、旋转角的度数，再结合AD垂直BC的条件，在直角三角形中利用两锐角互余求出∠CAF的度数，最后将∠BAD和∠CAF相加即可得到∠BAC的度数。
【解析】
解：
∵将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE，
∴∠C=∠E=70°，旋转角∠BAD=55°，
∵AD⊥BC于点F，
∴∠AFC=90°，
在Rt△AFC中，根据直角三角形两锐角互余可得：
∠CAF=90°-∠C=90°-70°=20°，
∴∠BAC=∠BAD + ∠CAF=55°+20°=75°。
【答案】
C
【知识点】
旋转的性质；直角三角形的性质；角度和差计算
【点评】
本题是几何角度计算的基础题，解题的核心是熟练掌握旋转前后的对应角、旋转角相等的性质，结合垂直的特征构造直角三角形计算未知角，解题时要注意找准旋转前后的对应元素，避免混淆角的位置。
【难度系数】
0.7
2. (2025·韶关期末) 在平面直角坐标系中，点$A(2,3)$与点$B(2a - b,a - 2b)$关于原点对称，则$a - b$的值为
-5/3
.答案
2. -5/3
解析
【分析】
解决本题首先要明确关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标均互为相反数。根据这个特征可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组得到a、b的值后，代入a-b计算即可得到最终结果。
【解析】
∵ 平面直角坐标系中关于原点对称的两点，横、纵坐标均互为相反数，点$A(2,3)$与点$B(2a - b,a - 2b)$关于原点对称，
∴ 可列方程组：
$\begin{cases}2a - b = -2&①\\a - 2b = -3&②\end{cases}$
将①×2得：$4a - 2b = -4$ ③
用③-②消去b，得：$3a = -1$，解得 $a = -\dfrac{1}{3}$
把$a = -\dfrac{1}{3}$代入①：$2×(-\dfrac{1}{3}) - b = -2$
解得：$b = \dfrac{4}{3}$
则 $a - b = -\dfrac{1}{3} - \dfrac{4}{3} = -\dfrac{5}{3}$
【答案】
$\boldsymbol{-\dfrac{5}{3}}$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握关于原点对称的坐标规律，通过建立方程组求解未知参数，再代入代数式计算即可，解题时注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
解决本题首先要明确关于原点对称的点的坐标特征：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标均互为相反数。根据这个特征可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组得到a、b的值后，代入a-b计算即可得到最终结果。
【解析】
∵ 平面直角坐标系中关于原点对称的两点，横、纵坐标均互为相反数，点$A(2,3)$与点$B(2a - b,a - 2b)$关于原点对称，
∴ 可列方程组：
$\begin{cases}2a - b = -2&①\\a - 2b = -3&②\end{cases}$
将①×2得：$4a - 2b = -4$ ③
用③-②消去b，得：$3a = -1$，解得 $a = -\dfrac{1}{3}$
把$a = -\dfrac{1}{3}$代入①：$2×(-\dfrac{1}{3}) - b = -2$
解得：$b = \dfrac{4}{3}$
则 $a - b = -\dfrac{1}{3} - \dfrac{4}{3} = -\dfrac{5}{3}$
【答案】
$\boldsymbol{-\dfrac{5}{3}}$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；解二元一次方程组
【点评】
本题属于基础题，核心是掌握关于原点对称的坐标规律，通过建立方程组求解未知参数，再代入代数式计算即可，解题时注意计算的准确性。
【难度系数】
0.7
3. (2025·南宁期中)若点A的坐标(1－m,3)在函数$y=2x-3$的图象上,则点A关于原点对称的点的坐标是
(-3,-3)
.答案
3. (-3,-3)
解析
【分析】
要解决这道题，首先利用“一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点A的坐标代入函数表达式，求出参数m的值，确定点A的具体坐标；再根据“关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数”的特征，即可求出对应对称点的坐标。
【解析】
∵ 点A(1－m, 3)在函数$y=2x-3$的图象上
∴ 将$x=1-m$，$y=3$代入函数解析式得：
$3 = 2(1 - m) - 3$
解这个方程：
$3 = 2 - 2m - 3$
$3 = -2m - 1$
移项得：$2m = -1 - 3$
$2m = -4$
解得：$m = -2$
∴ $1 - m = 1 - (-2) = 3$，即点A的坐标为$(3, 3)$
∵ 关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数
∴ 点A关于原点对称的点的坐标是$(-3, -3)$
【答案】
$(-3,-3)$
【知识点】
1.一次函数图象上点的坐标特征
2.关于原点对称的点的坐标性质
3.一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一次函数的性质和中心对称的坐标变化规律，解题的核心是熟练掌握相关性质，计算过程细心即可得分。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先利用“一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点A的坐标代入函数表达式，求出参数m的值，确定点A的具体坐标；再根据“关于原点对称的点的横、纵坐标均互为相反数”的特征，即可求出对应对称点的坐标。
【解析】
∵ 点A(1－m, 3)在函数$y=2x-3$的图象上
∴ 将$x=1-m$，$y=3$代入函数解析式得：
$3 = 2(1 - m) - 3$
解这个方程：
$3 = 2 - 2m - 3$
$3 = -2m - 1$
移项得：$2m = -1 - 3$
$2m = -4$
解得：$m = -2$
∴ $1 - m = 1 - (-2) = 3$，即点A的坐标为$(3, 3)$
∵ 关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数
∴ 点A关于原点对称的点的坐标是$(-3, -3)$
【答案】
$(-3,-3)$
【知识点】
1.一次函数图象上点的坐标特征
2.关于原点对称的点的坐标性质
3.一元一次方程的解法
【点评】
本题属于基础题型，重点考查一次函数的性质和中心对称的坐标变化规律，解题的核心是熟练掌握相关性质，计算过程细心即可得分。
【难度系数】
0.8
1. 如图，$△ ABC$和$△ ADE$均为正三角形，则图中可看作旋转关系的三角形是(
A.$△ ABC$和$△ ADE$
B.$△ ABC$和$△ ABD$
C.$△ ABD$和$△ ACE$
D.$△ ACE$和$△ ADE$
C
)A.$△ ABC$和$△ ADE$
B.$△ ABC$和$△ ABD$
C.$△ ABD$和$△ ACE$
D.$△ ACE$和$△ ADE$
答案
1. C
解析
【分析】
要判断两个三角形是否存在旋转关系，首先需明确旋转的特征：旋转前后两个图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。解题时先结合正三角形的性质推导边、角的相等关系，再逐一验证选项是否符合旋转的特征即可。
【解析】
已知△ABC和△ADE均为正三角形，根据正三角形的性质可得：
$AB=AC$，$AD=AE$，$∠ BAC=∠ DAE=60°$
因此$∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠ BAD=∠ CAE \\AD=AE\end{cases}$
根据SAS全等判定定理，可得$△ ABD ≌ △ ACE$。
同时，$△ ABD$绕点A逆时针旋转$60°$即可与$△ ACE$重合，二者存在旋转关系。
接下来排除其他选项：
A选项：△ABC和△ADE边长未知，不一定全等，不符合旋转前后图形全等的要求，排除；
B选项：△ABC和△ABD明显不全等，排除；
D选项：△ACE和△ADE边长不一定对应相等，不全等，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定；旋转的定义
【点评】
本题属于基础类题型，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和旋转的特征，通过推导角相等证明三角形全等，再结合旋转的性质判断对应关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
要判断两个三角形是否存在旋转关系，首先需明确旋转的特征：旋转前后两个图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角。解题时先结合正三角形的性质推导边、角的相等关系，再逐一验证选项是否符合旋转的特征即可。
【解析】
已知△ABC和△ADE均为正三角形，根据正三角形的性质可得：
$AB=AC$，$AD=AE$，$∠ BAC=∠ DAE=60°$
因此$∠ BAC - ∠ DAC = ∠ DAE - ∠ DAC$，即$∠ BAD=∠ CAE$。
在$△ ABD$和$△ ACE$中：
$\begin{cases}AB=AC \\∠ BAD=∠ CAE \\AD=AE\end{cases}$
根据SAS全等判定定理，可得$△ ABD ≌ △ ACE$。
同时，$△ ABD$绕点A逆时针旋转$60°$即可与$△ ACE$重合，二者存在旋转关系。
接下来排除其他选项：
A选项：△ABC和△ADE边长未知，不一定全等，不符合旋转前后图形全等的要求，排除；
B选项：△ABC和△ABD明显不全等，排除；
D选项：△ACE和△ADE边长不一定对应相等，不全等，排除。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定；旋转的定义
【点评】
本题属于基础类题型，解题的关键是熟练掌握等边三角形的性质和旋转的特征，通过推导角相等证明三角形全等，再结合旋转的性质判断对应关系即可快速得出答案。
【难度系数】
0.7
2. 如图，直线$y=-\dfrac{4}{3}x + 4$与x轴、y轴分别交于A，B两点，把$△ AOB$绕点A顺时针旋转$90°$后得到$△ AO'B'$，则点$B'$的坐标是（
A.$(3,4)$
B.$(4,5)$
C.$(7,4)$
D.$(7,3)$
D
）A.$(3,4)$
B.$(4,5)$
C.$(7,4)$
D.$(7,3)$
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先需要求出直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度；再结合旋转的性质：旋转前后对应边长度相等，对应角相等，旋转角为90°，确定旋转后点O'的坐标，最后根据O'B'的长度和方向推导出点B'的坐标即可。
【解析】
第一步：求A、B两点的坐标
对于直线$y=-\dfrac{4}{3}x + 4$：
当$y=0$时，代入得$0=-\dfrac{4}{3}x + 4$，解得$x=3$，故点A的坐标为$(3,0)$，$OA=3$；
当$x=0$时，代入得$y=4$，故点B的坐标为$(0,4)$，$OB=4$。
第二步：根据旋转性质推导坐标
因为△AOB绕点A顺时针旋转90°得到△AO'B'，根据旋转的性质：
$AO'=OA=3$，$O'B'=OB=4$，$∠ O'AO=90°$，$∠ AO'B'=∠ AOB=90°$。
由于AO原来沿x轴向左，顺时针旋转90°后AO'沿竖直向上方向，因此点O'的横坐标与A相同为3，纵坐标为$0+3=3$，即$O'(3,3)$。
又因为$∠ AO'B'=90°$，AO'竖直向上，所以O'B'沿水平向右方向，因此点B'的纵坐标与O'相同为3，横坐标为$3+4=7$，即点B'的坐标为$(7,3)$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与坐标轴的交点；旋转的性质；坐标与图形变化
【点评】
本题是一次函数与图形旋转结合的基础题，解题的核心是先通过一次函数解析式得到线段长度，再利用旋转的性质确定旋转后各点的位置关系，进而推导目标点的坐标，是平面直角坐标系中图形变换的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先需要求出直线与x轴、y轴的交点A、B的坐标，得到OA、OB的长度；再结合旋转的性质：旋转前后对应边长度相等，对应角相等，旋转角为90°，确定旋转后点O'的坐标，最后根据O'B'的长度和方向推导出点B'的坐标即可。
【解析】
第一步：求A、B两点的坐标
对于直线$y=-\dfrac{4}{3}x + 4$：
当$y=0$时，代入得$0=-\dfrac{4}{3}x + 4$，解得$x=3$，故点A的坐标为$(3,0)$，$OA=3$；
当$x=0$时，代入得$y=4$，故点B的坐标为$(0,4)$，$OB=4$。
第二步：根据旋转性质推导坐标
因为△AOB绕点A顺时针旋转90°得到△AO'B'，根据旋转的性质：
$AO'=OA=3$，$O'B'=OB=4$，$∠ O'AO=90°$，$∠ AO'B'=∠ AOB=90°$。
由于AO原来沿x轴向左，顺时针旋转90°后AO'沿竖直向上方向，因此点O'的横坐标与A相同为3，纵坐标为$0+3=3$，即$O'(3,3)$。
又因为$∠ AO'B'=90°$，AO'竖直向上，所以O'B'沿水平向右方向，因此点B'的纵坐标与O'相同为3，横坐标为$3+4=7$，即点B'的坐标为$(7,3)$。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与坐标轴的交点；旋转的性质；坐标与图形变化
【点评】
本题是一次函数与图形旋转结合的基础题，解题的核心是先通过一次函数解析式得到线段长度，再利用旋转的性质确定旋转后各点的位置关系，进而推导目标点的坐标，是平面直角坐标系中图形变换的典型考法。
【难度系数】
0.7
3. 如图, 在 $Rt△ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°$, 将 $△ ABC$ 绕顶点C逆时针旋转得到 $△ A'B'C$, M是BC的中点, P是A'B'的中点, 连接PM. 若 $BC = 2$, $∠ BAC = 30°$, 则线段PM的最大值是(
A.4
B.3
C.2
D.1
B
)A.4
B.3
C.2
D.1
答案
3. B
解析
【分析】
本题是结合旋转性质的线段最值问题，可按以下思路分析：1. 先利用直角三角形30°角的性质求出原三角形斜边AB的长度；2. 依据旋转前后图形全等的性质，得到旋转后对应边A'B'与AB相等，再结合直角三角形斜边中线的性质，求出定值PC的长度；3. 由M是BC中点求出定值CM的长度；4. 最后根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可知当P、C、M三点共线时，PM取得最大值，最大值为PC与CM的和。
【解析】
解：在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠BAC=30°$，$BC=2$，
∴ $AB=2BC=4$，
∵ $△ABC$绕顶点C逆时针旋转得到$△A'B'C$，
∴ $A'B'=AB=4$，$∠A'CB'=∠ACB=90°$，
∵ P是$A'B'$的中点，
∴ $PC=\frac{1}{2}A'B'=2$，
∵ M是BC的中点，$BC=2$，
∴ $CM=\frac{1}{2}BC=1$，
根据三角形三边关系可得：$PM≤PC+CM$，
当且仅当P、C、M三点共线时，等号成立，
∴ PM的最大值为$2+1=3$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，直角三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是结合旋转性质得到两条定长线段PC和CM，再利用三角形三边关系判断线段取最值的情况，很好地考查了几何基础性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.6
本题是结合旋转性质的线段最值问题，可按以下思路分析：1. 先利用直角三角形30°角的性质求出原三角形斜边AB的长度；2. 依据旋转前后图形全等的性质，得到旋转后对应边A'B'与AB相等，再结合直角三角形斜边中线的性质，求出定值PC的长度；3. 由M是BC中点求出定值CM的长度；4. 最后根据三角形三边关系“两边之和大于第三边”，可知当P、C、M三点共线时，PM取得最大值，最大值为PC与CM的和。
【解析】
解：在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$∠BAC=30°$，$BC=2$，
∴ $AB=2BC=4$，
∵ $△ABC$绕顶点C逆时针旋转得到$△A'B'C$，
∴ $A'B'=AB=4$，$∠A'CB'=∠ACB=90°$，
∵ P是$A'B'$的中点，
∴ $PC=\frac{1}{2}A'B'=2$，
∵ M是BC的中点，$BC=2$，
∴ $CM=\frac{1}{2}BC=1$，
根据三角形三边关系可得：$PM≤PC+CM$，
当且仅当P、C、M三点共线时，等号成立，
∴ PM的最大值为$2+1=3$。
【答案】
B
【知识点】
旋转的性质，直角三角形的性质，三角形三边关系
【点评】
本题属于几何基础综合题，解题核心是结合旋转性质得到两条定长线段PC和CM，再利用三角形三边关系判断线段取最值的情况，很好地考查了几何基础性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.6
4. 如图，点O为直线AB上一点，一副三角尺如图摆放，其中$∠ C = ∠ DOC = 45°$，$∠ M = 30°$，$∠ N = 60°$. 将直角三角尺MON绕点O旋转一周，当$∠ AOM$的度数是
75°或105°
时，直线MN与直线OC互相平行.答案
4. 75°或105°
解析
【分析】
本题需结合旋转的性质和平行线的性质求解，解题时要考虑三角尺MON旋转后MN与OC平行的两种位置情况：MN在直线AB上方平行于OC、MN在直线AB下方平行于OC。首先明确已知角度：等腰直角三角尺CDO中∠AOC=45°，直角三角尺MON中∠MON=90°、∠M=30°、∠N=60°，再根据平行线对应的角度关系分别计算两种情况下∠AOM的度数即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当直线MN在AB上方与OC平行时：
根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ COM=∠ OMN=30°$，
由题意得$∠ AOC=∠ DOC=45°$，
因此$∠ AOM=∠ AOC+∠ COM=45°+30°=75°$；
② 当直线MN在AB下方与OC平行时：
根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠ CON+∠ ONM=180°$，
已知$∠ ONM=60°$，则$∠ CON=180°-60°=120°$，
又$∠ MON=90°$，周角为$360°$，
因此$∠ AOM=360°-∠ AOC-∠ CON-∠ MON=360°-45°-120°-90°=105°$。
【答案】
$75°$或$105°$
【知识点】
平行线的性质；图形的旋转；分类讨论
【点评】
本题是平行线性质与图形旋转的综合题，解题关键是考虑到旋转后MN与OC平行的两种位置，避免漏解，能有效考查学生的分类讨论思维和几何角度计算能力。
【难度系数】
0.6
本题需结合旋转的性质和平行线的性质求解，解题时要考虑三角尺MON旋转后MN与OC平行的两种位置情况：MN在直线AB上方平行于OC、MN在直线AB下方平行于OC。首先明确已知角度：等腰直角三角尺CDO中∠AOC=45°，直角三角尺MON中∠MON=90°、∠M=30°、∠N=60°，再根据平行线对应的角度关系分别计算两种情况下∠AOM的度数即可。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当直线MN在AB上方与OC平行时：
根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ COM=∠ OMN=30°$，
由题意得$∠ AOC=∠ DOC=45°$，
因此$∠ AOM=∠ AOC+∠ COM=45°+30°=75°$；
② 当直线MN在AB下方与OC平行时：
根据两直线平行，同旁内角互补，可得$∠ CON+∠ ONM=180°$，
已知$∠ ONM=60°$，则$∠ CON=180°-60°=120°$，
又$∠ MON=90°$，周角为$360°$，
因此$∠ AOM=360°-∠ AOC-∠ CON-∠ MON=360°-45°-120°-90°=105°$。
【答案】
$75°$或$105°$
【知识点】
平行线的性质；图形的旋转；分类讨论
【点评】
本题是平行线性质与图形旋转的综合题，解题关键是考虑到旋转后MN与OC平行的两种位置，避免漏解，能有效考查学生的分类讨论思维和几何角度计算能力。
【难度系数】
0.6
